# taz.de -- Geschichte der Digitalisierung: Diese 3 Mathekonzepte stecken in jedem Handy
       
       > Binärsystem, Primzahlen, Graphentheorie: Was vor Jahrhunderten als
       > Tüftelei begann, ist aus moderner Technik nicht mehr wegzudenken.
       
 (IMG) Bild: Ohne Mathematik wäre unsere Welt eine andere
       
       Mathematik? Bei vielen weckt schon das Wort schlechte Erinnerungen an die
       Schulzeit. Und ehrlich gesagt: Drehen sich diese abstrakten Spielereien am
       Ende nicht ohnehin nur um sich selbst – im besten Fall unterhaltsam für ein
       paar Nerds?
       
       Tatsächlich aber wäre unsere Welt ohne sie eine andere. Binärcode,
       Primzahlen und Graphen waren für die Mathematiker von damals freudiges
       Experimentieren. Ohne sie gäbe es heute keine [1][Computer], keine Handys,
       keine [2][künstliche Intelligenz].
       
       Drei Streifzüge durch die Mathematikgeschichte – vom Zahlensystem aus
       Nullen und Einsen über Fermats Faktorisierung bis zum Königsberger
       Brückenproblem – zeigen, wie aus reiner Theorie die Grundlage unseres
       digitalen Alltags wurde.
       
       Die binäre Darstellung von Zahlen 
       
       Als Binärsystem bezeichnet man die Darstellung von Zahlen durch nur zwei
       Zeichen – meist handelt es sich dabei um Nullen und Einsen. Den meisten
       Menschen wird eine Aneinanderreihung von Nullen und Einsen am ehesten in
       der Computerwelt begegnet sein.
       
       „Erfunden“ wurde diese Art, Zahlen darzustellen, im 3. Jahrhundert vor
       Christus von dem indischen Mathematiker Pingala. So richtig offiziell wurde
       das Ganze durch den deutschen Mathematiker und Philosophen Gottfried
       Wilhelm Leibniz im Jahr 1697.
       
       Unser gewöhnliches Zahlensystem, das wir im Alltag benutzen, ist das
       Dezimalsystem. Es beruht auf 10 Zeichen – anhand der zehn uns bekannten
       Ziffern können wir alle (ganzen) Zahlen, mit denen wir zählen und rechnen,
       beschreiben.
       
       Leibniz stellte sich die Frage, ob man alle Zahlen nur durch zwei Zeichen
       darstellen könnte. Als Zahlenfolge von Nullen und Einsen zum Beispiel. Im
       Binärsystem steht die 0 für die Null, die 1 für die Eins, die 1 0 für die
       Zwei, die 1 1 für die Drei und immer so weiter. Er sah sein duales
       Zahlensystem sogar im Sinne der Schöpfung: Aus dem Nichts, also der Null,
       und Gottes Wort, der Eins, sei die gesamte Welt entstanden.
       
       Heutzutage könnten wir ohne diese Darstellung keine digitalen Geräte
       benutzen. Unsere Laptops, Handys, Autos, selbst der Fahrkartenschalter
       basieren auf diesem Gedanken. Denn mit dieser einfachen
       Zweizifferdarstellung lassen sich Zahlen „digitalisieren“ – das heißt, man
       kann sie in elektrische Zustände übersetzen. „Strom an“ oder „Strom aus“
       heißt dann in dem Fall Eins oder Null.
       
       Die Faktorisierungsmethode von Fermat 
       
       Mehr als 200 Jahre später bildete die binäre Zahlendarstellung die
       Grundlage der Informatik und Computertechnik. Mit ihnen wuchs auch das
       Bedürfnis und Interesse daran, versendete Informationen und Nachrichten so
       zu verschlüsseln, dass sie nicht schnell und einfach mithilfe einer anderen
       Rechenmaschine wieder geknackt werden können.
       
       Immerhin hatte der britische Mathematiker Alan Turing es im Jahr 1940 schon
       mit seinem rudimentären Computervorgänger geschafft, die als unknackbar
       geltende Enigma der Nazis zu entschlüsseln.
       
       In der Kryptografie spielen Primzahlen – die Suche nach Zahlen, die die
       Grundbausteine aller anderen Zahlen bilden – eine Riesenrolle in der
       Anwendung. Jede ganze Zahl lässt sich eindeutig zerlegen, indem man sie als
       Produkt passender Primzahlen aufdröselt. Darauf beruhen häufig genutzte
       [3][Verschlüsselungsverfahren] wie zum Beispiel die RSA-Verschlüsselung.
       
       Um eine verschlüsselte Nachricht lesen zu können, benötigt man dann einen
       sogenannten Schlüssel. Dieser Schlüssel sind die Primfaktoren einer
       riesigen Zahl. Wer den Schlüssel nicht hat, sieht nur eine sehr lange
       bedeutungslose Zahl.
       
       ## Schlecht gewählte Schlüssel
       
       Manchmal ist der Schlüssel jedoch so schlecht gewählt, dass er sich
       mithilfe eines einfachen Algorithmus knacken lässt. Und dieser führt zurück
       ins 17. Jahrhundert, zum französischen Mathematiker und Juristen Pierre de
       Fermat. Er entwickelte einen Algorithmus, mit dem sich relativ einfach
       berechnen ließ, welche Primzahlen miteinander multipliziert werden müssen,
       um eine jede Anfangszahl zu berechnen.
       
       Bei großen, gut gewählten Zahlen dauert es meistens ewig, bis der
       Algorithmus die Lösung ausspuckt. Aber liefert diese sogenannte
       Faktorisierungsmethode von Fermat schnell eine Lösung, ist die
       Verschlüsselung zu schwach. Deshalb wird Fermats Methode heute vor allem
       dazu genutzt, gewählte Schlüssel auf ihre Stärke zu überprüfen.
       
       Das Königsberger Brückenproblem 
       
       Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler stellte sich im 18. Jahrhundert
       bei einem Spaziergang im damaligen Königsberg die Frage, ob es einen Weg
       gibt, bei dem man alle sieben Brücken der Stadt genau einmal überqueren
       kann. Nach einigen Überlegungen bewies er: Nein. Und er legte damit den
       Grundstein für die sogenannte Graphentheorie.
       
       Ein Graph ist eine Struktur, die Knoten über sogenannte Kanten miteinander
       verbindet. Man kann sich das ein bisschen wie eine Mindmap vorstellen. Oder
       einen U-Bahn-Plan. Die Knoten sind in dem Fall die Haltestationen und diese
       sind über Bahnstrecken miteinander verbunden, oder auch nicht. Beim Graphen
       spielen – wie auch beim U-Bahn-Plan oder der Mindmap – die Abstände
       zwischen den Knoten keine Rolle. Es geht allein um die möglichen
       Verbindungen.
       
       [4][Mathematiker haben die Graphentheorie] in den letzten Jahrzehnten
       ausgearbeitet. Im Bereich der Informatik bilden Graphen unter anderem die
       Grundlage für künstliche neuronale Netzwerke. Schließlich können wir auch
       unser Gehirn als komplexen Graphen betrachten. Synapsen verbinden
       Nervenzellen miteinander und bilden einen riesigen Informationsspeicher.
       
       Künstliche neuronale Netzwerke übernehmen dieses Konzept. Durch sie können
       Computer trainiert werden, das heißt, aus großen Datenmengen lernen und
       Strukturen erkennen, ohne explizit programmiert zu werden. Sie sind ein
       wichtiger Teilbereich der künstlichen Intelligenz und finden zum Beispiel
       bei Bild-, Gesichts- oder Spracherkennung oder bei Frühwarnsystemen ihre
       Anwendung.
       
       22 May 2026
       
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