# taz.de -- Suche nach Primzahlen: Die Nächste, bitte!
       
       > Primzahlen sind sind essenziell für die Zahlentheorie und sind nützlich
       > zur Verschlüsselung. Nun wurde eine neue größte Primzahl gefunden.
       
 (IMG) Bild: Die längste Primzahl, 41 Millionen Zahlen, passt leider nicht auf diesen Zettel
       
       Luke Durant aus Kalifornien ist zurzeit der Held unter den Primzahlnerds.
       Denn der Hardware-Ingenieur und „Hobbymathematiker“ – wie er von den
       meisten Medien bezeichnet wird – hat vor wenigen Wochen, am 12. Oktober,
       nicht nur eine neue, sondern die bislang größte bekannte Primzahl entdeckt.
       Sie lautet: 2136.279.841–1. Heißt, man multipliziert 136.279.841-mal die 2
       mit sich selbst und zieht 1 ab. Das Ergebnis ist eine Zahl, die über 41
       Millionen Ziffern lang ist. Wollte man die Zahl etwa in einer taz
       abdrucken, wäre die Zeitung dick wie ein Buch und hätte über 2.000 Seiten.
       
       Primzahlen spielen in der Mathematik, vor allem in der Zahlentheorie, schon
       seit Jahrtausenden eine ganz besondere Rolle. Denn sie haben nur zwei
       Teiler, sind also nur durch sich selbst und eins teilbar. Teilbar bedeutet,
       dass beim Dividieren kein Rest übrigbleibt. Die bekanntesten Primzahlen,
       die viele noch aus der Schulzeit kennen, lauten wohl 2, 3, 5, 7 oder 11.
       
       Größenmäßig liegen zwischen ihnen und Durants Zahl Welten. „Seine“ Primzahl
       hat der 36-Jährige im Rahmen des Primzahlprojekts Gimps entdeckt, bei dem
       er sich vergangenes Jahr anmeldete. Das Projekt glaubt, Primzahlen finden,
       das ist Gemeinschaftssache. Vor allem, weil große Primzahlen zu berechnen
       unglaublich viel Rechenleistung erfordert. Die Idee von Gimps ist es,
       Privatpersonen und Organisationen zusammenzubringen, die ihre Rechenpower
       zur Verfügung stellen.
       
       Mit diesem Ansatz hat seit 1996 das Projekt insgesamt 18 neue Primzahlen
       berechnet. Die letzte Primzahlentdeckung vor der Durants war schon sechs
       Jahre her. Dass er eine weitere, so große Primzahl gefunden hat, hat vor
       allem mit einem Durchbruch zu tun, der die Rechenleistung zur Berechnung
       nochmals extrem erhöht hat. Dazu später mehr. Wer – wie Durant – fündig
       wird bei der Primzahlsuche erhält vom Gimps 3.000 US-Dollar Belohnung.
       
       Doch, neben der kleinen Prämie, was macht die Faszination Primzahl aus?
       Warum geben Privatpersonen ihre Rechenleistung dafür her und was ist der
       Reiz an der nerdigen Suche nach der nächsten großen Primzahl?
       
       Besonders interessant sind Primzahlen für die Zahlentheorie. Jede ganze
       Zahl lässt sich als ein Produkt von Primzahlen darstellen und damit auf
       eine einzige Art und Weise in Primzahlen zerlegen. Das ist die sogenannte
       Primfaktorzerlegung. Zum Beispiel ist 99 = 32 x 11. Primzahlen bilden also
       die kleinsten Grundbausteine der ganzen Zahlen, fast wie Zellen einen
       Körper aufbauen oder Atome Moleküle bilden.
       
       ## Primzahlen sind der Schlüssel
       
       Noch interessanter wurden die Primzahlen in der zweiten Hälfte des 20.
       Jahrhunderts innerhalb der Kryptografie, also in der Wissenschaft der
       Verschlüsselung, des „geheimen Schreibens“. Besonders gebräuchlich ist
       heute etwa das RSA-Verschlüsselungsverfahren. Dieses nutzt zwei
       unterschiedliche Schlüssel, einen öffentlichen zum Verschlüsseln von Daten
       und einen privaten zum Entschlüsseln von Daten, wie Nachrichten oder
       Signaturen. Verschlüsselt wird bei dem Verfahren mithilfe von Primzahlen
       und einem Trick.
       
       Die Rechnung funktioniert nämlich wie eine Falltür, heißt, in die eine
       Richtung sehr leicht zu lösen, in die andere extrem schwer. Um die
       jeweiligen Schlüssel zu berechnen, werden zwei eher große Primzahlen zu
       einem Produkt multipliziert. Das ist einfach. Nur zum Entschlüsseln – ohne
       Zugang zu dem privaten Schlüssel – müsste man wieder die einzelnen
       Primfaktoren zurückrechnen. Um den Schlüssel zu knacken, müsste man dafür
       alle Primzahlen durchgehen, die kleiner als die Hälfte des bekannten
       Produkts sind. Der Rechenaufwand, um dies zu tun, ist heutzutage noch zu
       hoch, was solche Verschlüsselungen auf herkömmlichen Computern meist
       unknackbar macht.
       
       Die Beschäftigung mit Primzahlen hat in der Mathematik eine lange
       Tradition. Schon in der Antike, im dritten Jahrhundert vor Christus, bewies
       der Mathematiker Euklid von Alexandria, dass es unendlich viele Primzahlen
       gibt. Interessanterweise kannte man zu dieser Zeit das Konzept der
       Unendlichkeit noch nicht. Euklid bewies vielmehr, dass man aus endlich
       vielen Primzahlen immer eine weitere, größere Primzahl konstruieren kann.
       Somit gibt es – in unseren heutigen Worten – unendlich viele. Formal gibt
       es also kein Problem, immer weiterzusuchen nach der nächsten Primzahl. Doch
       die Primzahlen wirklich zu berechnen ist ab einer gewissen Größe gar nicht
       so einfach. Schnell kann es an der Rechenleistung des Computers scheitern.
       
       Deshalb widmet sich Gimps einer besonderen Art der Primzahlen, den
       sogenannten Mersenne-Primzahlen. Dafür steht auch ihre Abkürzung,
       ausgeschrieben heißt das Projekt Great Internet Mersenne Prime Search.
       Mersenne-Primzahlen haben eine besonders einfache Darstellungsform, als
       Mp=2p–1. Dabei ist p eine Primzahl. Damit sind sie vergleichbar einfach zu
       berechnen. Der Name geht auf den französischen Mathematiker und Mönch Marin
       Mersenne zurück, der sich Anfang des 17. Jahrhunderts mit dieser
       Darstellungsart von Primzahlen beschäftigte. Und eine Liste solcher Zahlen
       erstellte.
       
       Die einfachste so zu beschreibende Primzahl ist wohl die 3 als 22–1. Bis
       heute sind 52 Mersenne-Primzahlen bekannt. Denn ganz so einfach ist es
       nicht. Nicht alle Zahlen, die bei der Formel von Mp rauskommen, sind auch
       Primzahlen. So ist zum Beispiel M11=2047 nicht prim, da sie unter anderem
       durch 23 teilbar ist. Und andersherum sind auf keinen Fall alle Primzahlen
       als 2p –1 darstellbar. Man versuche das zum Beispiel mal mit der 5.
       Unmöglich.
       
       Die Berechnung von möglichen Mersenne-Primzahlen ist somit eine mögliche
       strukturierte Herangehensweise, um bei der Primzahlsuche nicht völlig im
       Dunkeln zu stochern. Es muss aber immer überprüft werden, ob eine
       berechnete Mersenne-Zahl auch wirklich prim ist.
       
       Trotz des Nutzens von Primzahlen in der Verschlüsselung bleibt laut dem
       Mathematiker Kevin Buzzard vom Imperial College London die Entdeckung der
       bislang größten Primzahl durch Luke Durant vor allem eine Spielerei.
       Praktische Anwendung habe sie im Moment keine. Um sie in der Kryptografie
       zu nutzen, ist sie (noch) zu groß.
       
       ## Mehr Rechenpower
       
       Luke Durants Fund hat aber vor allem gezeigt, dass auch in der Rechenpower
       noch einiges geht. In seiner Entdeckung hat er einen riesigen Fortschritt
       vollbracht. Ehemals hat Luke Durant beim Hardwareunternehmen Nvidia
       gearbeitet, das unter anderem Grafikkarten herstellt. Die waren sein Kniff.
       Sie verhalfen ihm zu noch mehr Leistungsfähigkeit bei der Berechnung und
       Prüfung seiner möglichen Primzahlen.
       
       Indem er mit Grafikprozessoren arbeitete und eine Infrastruktur
       entwickelte, um die von Gimps zur Verfügung gestellte Software auf vielen
       Servern auszuführen und zu warten. Damit baute er eine Art
       „Cloud-Supercomputer“. Zum Zeitpunkt der Entdeckung bestand dieser aus
       Tausenden von Server-Grafikprozessoren, verteilt über 24
       Rechenzentrumsregionen in 17 Ländern.
       
       Für Zahlentheoretiker und Hobbymathematiker bleiben aber weiterhin viele
       Fragen offen. Gibt es zwischen der letzten und der neuen entdeckten
       Mersenne-Primzahl noch weitere (Mersenne-)Primzahlen? Und gibt es überhaupt
       unendlich viele solcher speziell darstellbaren Primzahlen? Und wie verhält
       es sich mit ihrer Verteilung und Häufigkeit?
       
       Letzteres ist die zentrale Frage hinter der weltbekannten „Riemannsche
       Vermutung“. Bernhard Riemanns Aussage von 1859 über die zufällige
       Verteilung und Häufigkeit von Primzahlen ist bis heute unbewiesen. Die
       Annahme des deutschen Mathematikers gilt als bedeutendstes ungelöstes
       Problem der reinen Mathematik. Wer einen schlüssigen Beweis liefert,
       bekommt vom Mathematikinstitut der Universität Cambridge ein Preisgeld von
       einer Million US-Dollar.
       
       7 Nov 2024
       
       ## AUTOREN
       
 (DIR) Ruth Lang Fuentes
       
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