CX. Of the Irregularities in the Motion of a Satellite arising from the spheroidical Figure of its Primary Planet: In a Letter to the Rev. James Bradley D. D. Astronomer Royal, F.R.S. and Member of the Royal Academy of Sciences at Paris; by Mr. Charles Walmesley, F.R.S. and Member of the Royal Academy of Sciences at Berlin, and of the Institute of Bologna.

SINCE the time that astronomers have been enabled by the perfection of their instruments to determine with great accuracy the motions of the celestial bodies, they have been solicitous to separate and distinguish the several inequalities discovered in these motions, and to know their cause, quantity, and the laws according to which they are generated. This seems to furnish a sufficient motive to mathematicians, wherever there appears a cause capable of producing an alteration in those motions, to examine by theory what the result may amount to, though it comes out never so small: for as one can seldom depend securely upon mere guess for the quantity of any effect, it must be a blameable neglect entirely to overlook it without being previously certain of its not being worth our notice.

Finding therefore it had not been considered what effect the figure of a planet differing from that of a sphere might produce in the motion of a satellite revolving about it, and as it is the case of the bodies of the Earth and Jupiter which have satellites about them, not to be spherical but spheroidical, I thought it worth while to enter upon the examination of such a problem. When the primary planet is an exact globe, it is well known that the force by which the revolving satellite is retained in its orbit, tends to the center of the planet, and varies in the inverse ratio of the square of the distance from it; but when the primary planet is of a spheroidical figure, the same rule then no longer holds: the gravity of the satellite is no more directed to the center of the planet, nor does it vary in the proportion above-mentioned; and if the plane of the satellite’s orbit be not the same with the plane of the planet’s equator, the protuberant matter about the equator will by a constant effort of its attraction endeavour to make the two planes coincide. Hence the regularity of the satellite’s motion is necessarily disturbed, and though upon examination this effect is found to be but small in the moon, the figure of the earth differing so little from that of a sphere, yet in some cases it may be thought worth notice; if not, it will be at least a satisfaction to see that what is neglected can be of no consequence. But however inconsiderable the change may be with regard to the moon, it becomes very sensible in the motions of the satellites of Jupiter both on account of their nearer distances to that planet when compared with its semidiameter, as also because the figure of Jupiter so far recedes from that of a sphere. This I have shewn and exemplified in the fourth satellite; in which case indeed the computation is more exact than it would be for the other satellites: for as my first design was to examine only how far the moon’s motion could be affected by this cause, I supposed the satellite to revolve at a distance somewhat remote from the primary planet, and the difference of the equatoreal diameter and the axis of the planet not to be very considerable. There likewise arises this other advantage from the present theory, that it furnishes means to settle more accurately the proportion of the different forces which disturb the celestial motions, by assigning the particular share of influence which is to be ascribed to the figure of the central bodies round which those motions are performed.

I have added at the end a proposition concerning the diurnal motion of the earth. This motion has been generally esteemed to be exactly uniform; but as there is a cause that must necessarily somewhat alter it, I was glad to examine what that alteration could amount to. If we first suppose the globe of the earth to be exactly spherical, revolving about its axis in a given time, and afterwards conceive that by the force of the sun or moon raising the waters its figure be changed into that of a spheroid, then according as the axis of revolution becomes a different diameter of the spheroid, the velocity of the revolution must increase or diminish: for, since some parts of the terraqueous globe are removed from the axis of revolution and others depressed towards it, and that in a different proportion as the sun or moon approaches to or recedes from the equator, when the whole quantity of motion which always remains the same is distributed through the spheroid, the velocity of the diurnal rotation cannot be constantly the same. This variation however will scarce be observable, but as it is real, it may not be thought amiss to determine what its precise quantity is.

I am sensible the following theory, as far as it relates to the motion of Jupiter’s satellites, is imperfect and might be prosecuted further; but being hindered at present from such pursuit by want of health and other occupations, I thought I might send it you in the condition it has lain by me for some time. You can best judge how far it may be of use, and what advantage might arise from further improvements in it. I am glad to have this opportunity of giving a fresh testimony of that regard which is due to your distinguished merit, and of professing myself with the highest esteem,

Lemma I.

Invenire gravitatem corporis longinqui ad circumferentiam circuli ex particulis materiæ in duplicatâ ratione distantiarum inversè attrahentibus constantem.

ESto NIK (Vid. Tab. xxxiii. Fig. 1.) circumferentia circuli, in cujus puncta omnia gravitet corpus longinquum S locatum extra planum circuli. In hoc planum agatur linea perpendicularis SH, et per circuli centrum X ducatur recta HXK secans circulum in I et K, et SR parallela ad HX: producatur autem SH ad distantiam datam SD, et agantur rectæ DC, XC, ipsis HX, SD, parallelæ. Tum ductâ chordâ quavis MN ad diametrum IK normali eamque secante in L, ex punctis M, N, demittantur in SR perpendiculares MR, NR, concurrentes in R; junctisque SM, SN, erit SM = SN, MR = NR, SR = HL. Dicantur jam SD, k; HX sive DC, h; XL, x; CX, z; XI, r; eritque HL = h - x, et SH = k - z. Est autem SM ad SH ut attractio 1 ⁄ (SM)² corporis S versus particulam M in directione SM ad ejusdem corporis attractionem in directione SH, quæ proinde erit SH ⁄ (SM)³: sed est SR = HL, et (SM)² = (SR)² + (MR)² = (SR)² + (SH)² + (ML)²; unde sit SH ⁄ (SM)³ = SH ⁄ ((HL)² + (SH)² + (ML)²)³⁄ ², et ductâ mn parallelâ ad MN, vis qua corpus S attrahitur ad arcus quàm minimos Mm, Nn, exponitur per SH × 2Mm ⁄ (SM)³ = SH × 2Mm × ((HL)² + (SH)² + (ML)²) ⁻³⁄ ². Est autem (HL)² + (SH)² + (ML)² = kk - 2kz + zz + hh - 2hx + rr, hincque ponendo kk + hh = ll, ((HL)² + (SH)² = (ML)²)⁻³⁄² = 1 ⁄ l³ + 3kz ⁄ l⁵ + 3hx ⁄ l⁵ - 3rr ⁄ 2l⁵ - 3zz ⁄ 2l⁵ + 15kkzz ⁄ 2l⁷ + 15khzx ⁄ 2l⁷ + 15hhxx ⁄ 2l⁷, neglectis terminis ulterioribus ob longinquitatem quam supponimus corporis S. Quarè, si scribatur d pro circumferentiâ IMKN, gravitas corporis S ad totam illam circumferentiam secundum SH, sive fluens fluxionis SH × 2Mm × ((HL)² + (SH)² + (ML)²) ⁻³⁄ ² evadit (k - z) × d in 1 ⁄ l³ + 3kz ⁄ l⁵ - 3rr ⁄ 2l⁵ - 3zz ⁄ 2l⁵ + 15kkzz ⁄ 2l⁷ + 15hhrr ⁄ 4l⁷. Simili modo obtinebitur gravitas ejusdem corporis S secundum SR. Q. E. I.

Lemma II.

Retentis iis quæ sunt in lemmate superiori demonstrata; esto C centrum sphæroidis, cujus æquatori parallelus sit circulus IMK. Sphæroidis hujus semiaxis major sit a, semiaxis minor b, eorum differentia c, quam exiguam esse suppono; et dicatur D circumferentia æquatoris. Centro C et radio æquali semiaxi minori describi concipiatur circulus qui secet IK in i, eritque gravitas in directione SD, qua urgetur corpus S versus materiam sitam inter circumferentiam IMKN et circumferentiam centro X et radio Xi descriptam, æqualis gravitati in lemmate præcedenti definitæ ductæ in rectam Ii. Sed est Ii. c∷ IX. a, atque d. D∷ IX. a; unde Ii × d. D × c∷ (IX)². aa, hoc est, ex naturâ ellipseos, ob CX = z, et IX = r, Ii × d. D × c∷ bb - zz. bb, adeoque Ii × d = D × c ⁄ bb × (bb - zz), atque rr = aa - aazz ⁄ bb; scribi autem potest in sequenti calculo bb - zz pro rr ob parvitatem differentiæ semiaxium in quam omnes termini ducuntur. Gravitas igitur corporis S in materiam inter circumferentias supradictas consistentem exprimetur per D × c ⁄ bb × (bb - zz) × (k - z) in 1 ⁄ l³ + 3kz ⁄ l⁵ - 3bb ⁄ 2l⁵ - 15zz ⁄ 4l⁵ + 15bbhh ⁄ 4l⁷ + 45kkzz ⁄ 4l⁷. Et si addatur gravitas in similem materiam ex alterâ parte centri C ad æqualem à centro distantiam, quia tunc CX sive z evadit negativa, gravitas corporis S in hanc duplicem materiam erit D × c ⁄ bb × (bb - zz) in 2k ⁄ l³ - 6kzz ⁄ l⁵ - 3kbb ⁄ l⁵ + 15k³zz ⁄ l⁷ + 15hhkbb ⁄ 2l⁷ - 15hhkzz ⁄ 2l⁷. Ducatur jam gravitas hæc in ż, et sumptâ gravitatum omnium summâ, factâ z = b, gravitatio tota corporis S in totam materiam globo interiori superiorem secundum directionem SD æquatori perpendicularem prodit (D × c) × (4kb ⁄ 3l³ - 4kb³ ⁄ 5l⁵ + 2khhb³ ⁄ l⁷). Simili ratiocinio gravitatio corporis S in eamdem materiam secundum directionem SR æquatori parallelam invenitur æqualis D × c × (4hb ⁄ 3l³ + 2hb³ ⁄ 5l⁵ - 2hkkb³ ⁄ l⁷). Tum si addatur gravitatio corporis S in globum interiorem, ex unâ parte scilicet 2b³kD ⁄ 3al³, et ex alterâ 2b³hD ⁄ 3al³, habebitur gravitas corporis S in totum sphæroidem. Q. E. I.

Coroll.

Igitur gravitas corporis S secundum SD est ad ejusdem gravitatem secundum SR sive DC in materiam sphæroidis globo interiori incumbentem ut 2k ⁄ 3 - 2kb² ⁄ 5l² + khhb² ⁄ l⁴ ad 2h ⁄ 3 + hb² ⁄ 5l² - hkkb² ⁄ l⁴, adeoque si gravitas prior exponatur per k, posterior exprimetur per h - 3hb² ⁄ 5l² quamproximè. Unde cum sit DC = h, patet gravitatem corporis S in sphæroidem oblatam non tendere ad centrum C, sed ad punctum c rectæ DC in plano æquatoris jacentis vicinius puncto D.

PROPOSITIO I.

Problema.

Vires determinare quibus perturbatur motus Satellitis circa Primarium suum revolventis.

Exhibeat jam sphærois prædicta planetam quemvis figurâ hac donatum, et corpus S satellitem circa planetam tanquàm primarium gyrantem. Quantitas materiæ globo sphæroidis interiori incumbentis æqualis est 4bbcD ⁄ 3a sive 4bcD ⁄ 3 proximè, et si materia illa locaretur in centro sphæroidis C, attraheret satellitem S secundum SC vi 4bcD ⁄ 3l², quæ reducta ad directionem SD fit 4bckD ⁄ 3l³, et ad directionem DC fit 4bchD ⁄ 3l³. Cum igitur vis 4bcD ⁄ 3l² non turbat motum satellitis, utpote quæ tendat ad centrum motûs et quadrato distantiæ ab eodem centro sit reciprocè proportionalis, vires illæ 4bckD ⁄ 3l³, 4bchD ⁄ 3l³, in quas resolvitur, etiam motum non turbabunt. Itaque ex vi D × c × (4kb ⁄ 3l³ - 4kb³ ⁄ 5l⁵ + 2khhb³ ⁄ l⁷) auferatur vis 4bckD ⁄ 3l³, et ex vi D × c × (4hb ⁄ 3l³ + 2hb³ ⁄ 5l⁵ - 2hkkb³ ⁄ l⁷) auferatur 4bchD ⁄ 3l³, et remanebunt vires D × c × - (4kb³ ⁄ 5l⁵ + 2khhb³ ⁄ l⁷), D × c × (2hb³ ⁄ 5l⁵ - 2hkkb³ ⁄ l⁷), motuum satellitis S perturbatrices. Designetur vis D × c × (2hb³ ⁄ 5l⁵ - 2hhkb³ ⁄ l⁷) per rectam Sr (Fig. 2.) ac resolvatur in vim Sq tendentem ad centrum planetæ primarii C et ob triangula similia Srq, SDC, æqualem D × c × (2b³ ⁄ 5l⁴ - 2kkb³ ⁄ l⁶), existentibus ut priùs, SD = k, DC = h, SC = l; et in vim rq rectæ SD parallelam et æqualem D × c × (2kb³ ⁄ 5l⁵ - 2k³b³ ⁄ l⁷); atque hæc vis posterior subducta ex vi D × c × - (4kb³ ⁄ 5l⁵ + 2khhb³ ⁄ l⁷) relinquet D × c × 4kb³ ⁄ 5l⁵ pro vi perturbatrice in directione SD. Unde cum massa tota planetæ sit 2abD ⁄ 3, gravitas satellitis tota in planetam erit 2abD ⁄ 3l² proximé, vel etiam 2bbD ⁄ 3l², et hæc gravitas est ad vim D × c × 4kb³ ⁄ 5l⁵ ut 1 ad 6kbc ⁄ 5l³.

Deinde vis illius D × c × 4kb³ ⁄5l⁵ secundum SD pars ea quæ agit in directione SC est D × c × 4kkb³ ⁄ 5l⁶, quæ addita vi Sq dat D × c × (2b³ ⁄ 5l⁴ - 6kkb³ ⁄ 5l⁶) vim perturbatricem tendentem ad centrum planetæ primarii, atque hæc vis est ad satellitis gravitatem 2bbD ⁄ 3l² in primarium ut 3bc ⁄ 5l² - 9kkbc ⁄ 5l⁴ ad 1. Q. E. I.

Coroll.

Designet CK (Fig. 3.) lineam intersectionis planorum æquatoris planetæ et orbitæ satellitis, et resolvatur vis SD = 6kbc ⁄ 5l³, quæ agit perpendiculariter ad planum æquatoris, in vim DR perpendicularem ad planum orbitæ satellitis, et in vim SR jacentem in eodem plano. Producatur SR donec occurrat CK in K, eritque SK normalis ad CK, et planum SDK normale ad planum orbis satellitis; ac proptereà ob similia triangula SDK, SRD, si m denotet sinum ad radium 1 et n cosinum anguli SKD, inclinationis scilicet orbitæ satellitis ad æquatorem planetæ, erit DR = SD × n = 6kbcn ⁄ 5l³, et SR = SD × m = 6kbcm ⁄ 5l³, existente 1 gravitate totâ satellitis in primarium suum. Jam quoniam vis SR jacet in plano orbitæ satellitis, hujus plani situm non mutat; accelerat quidem vel retardat motum satellitis revolventis, sed hæc acceleratio vel retardatio ob brevitatem temporis ad quantitatem sensibilem non exurgit: vis DR eidem plano perpendicularis continuò mutat ejus situm, et motum nodi generat, quem sequenti propositione definiemus.

PROPOSITIO II.

Problema.

Per motum nodi in hac propositione intelligo motum intersectionis planorum æquatoris planetæ et orbitæ satellitis; orbitam autem satellitis quamproximé circularem suppono. Esto S locus satellitis in orbe suo SN cujus centrum C, (Fig. 4.) SF arcus centro C descriptus perpendicularis in circulum æquatoris planetæ FN; SB arcus eodem centro descriptus perpendicularis ad orbem SN, atque in SB sumatur lineola Sr æqualis duplo spatio, quod satelles percurrere posset impellente vi DR in Coroll. præced. determinatâ, quo tempore in orbe suo describeret arcum quàm minimum pS: per puncta r, p, describatur centro C circulus rpn secans equatorem in n, qui exhibebit situm orbitæ satellitis post illam particulam temporis, nodo N translato in n. Agantur SC, CN, et SH perpendicularis in lineam nodorum CN, et Nm perpendicularis in rpn. Jam cum sint lineolæ Sr, Nm, ut sinus arcuum Sp, SN, erit Sp. Sr ∷ SH. Nm; deinde in triangulo rectangulo Nmn habetur m. 1 ∷ Nm. Nn; unde per compositionem rationum Sp × m. Sr ∷ SH. Nn = Sr × SH ⁄ Sp × m: dato igitur arcu Sp, est Nn sive motus nodi ut Sr × SH. In triangulo sphærico rectangulo SFN est sinus anguli N, hoc est, anguli inclinationis orbitæ satellitis ad æquatorem planetæ, ad sinum arcûs SF, ut radius ad sinum arcûs SN, id est, m. k ⁄ l ∷ 1. SH, adeoque k ⁄ l = m × SH; est igitur k ⁄ l ut SH. Vis autem Sr per Coroll. Prop. præced. est ut k ⁄ l, adeoque ut SH; quamobrem est Sr × SH, proindeque et Nn, ut (SH)², hoc est, motus horarius nodi vi præfatâ genitus est in duplicatâ ratione distantiæ satellitis à nodo. Et quoniam summa omnium (SH)², quo tempore satelles periodum suam absolvit, est dimidium summæ totidem (SC)², ideò motus periodicus est subduplus ejus qui, si satelles in declinatione suâ maximâ ab æquatore planetæ continuò perstaret, eodem tempore generari posset. Sit igitur satelles in maximâ suâ declinatione sive in quadraturâ cum nodo, eritque SN quadrans circuli, et Nm mensura anguli Npm sive Spr, eritque in hoc casu Nn sive motus horarius nodi ad Nm, hoc est, ad angulum Spr, ut 1 ad m; est autem angulus Spr ad duplum angulum, quem subtendit sinus versus arcûs Sp satellitis gravitate in primarium eodem tempore descripti, id est, ad angulum SCp qui est motus horarius satellitis circa primarium, ut vis Sr ad gravitatem satellitis in primarium, hoc est (per Coroll. Prop. I.), ut 6kbcn ⁄ 5l³ ad 1, sive, quia est in hoc casu k ⁄ l = m, ut 6bcmn ⁄ 5l² ad 1. Unde conjunctis rationibus est motus horarius nodi ad motum horarium satellitis ut 6bcn ⁄ 5l² ad 1; et si S denotet tempus periodicum solis apparens, et L tempus periodicum satellitis circa primarium suum, cum sit motus horarius satellitis ad motum horarium solis ut S ad L, erit motus horarius nodi ad motum horarium solis ut 6bcn ⁄ 5l² × S ⁄ L ad 1, et in eadem ratione erit motus nodi annuus ad motum solis annuum, hoc est, ad 360°. Quarè, si satelles maneret toto anno in maximâ suâ declinatione ab æquatore primarii, vis prædicta ex figurâ sphæroidicâ planetæ primarii proveniens generaret eodem tempore motum nodi æqualem 6bcn ⁄ 5l² × S ⁄ L × 360°, et ex supradictis motus verus nodi annuus erit hujus subduplus, nempe 3bcn ⁄ 5l² × S ⁄ L × 360°. Q. E. I.

Coroll.

Si computatio instituatur pro lunâ, assumendo mediocrem ejus orbitæ inclinationem ad æquatorem terrestrem, erit n cosinus anguli 23° 28´½; et posito semiaxi terræ b = 1, erit distantia lunæ à centro terræ mediocris l = 60 circiter, indeque in hypothesi quod sit differentia semiaxium c = 1 ⁄ 229, erit 3bcn ⁄ 5l² × S ⁄ L × 360° = 11´´ ½; et si fuerit c = 1 ⁄ 177, manente terrâ uniformiter densâ, erit ille motus = 15´´. Hic erit motus nodorum annuus lunæ regressivus in plano æquatoris terrestris, qui reductus ad eclipticam, uti posteà docebitur, pro vario nodorum situ evadet multò velocior.

Notabilis multò magis erit motus intersectionis orbitarum satellitum Jovis in plano æquatoris Jovialis; et computabitur satis accuratè per formulam suprà traditam, modò satelles non sit Jovi nimis vicinus. Sic pro satellite extimo erit L = 16ᵈ 16ʰ 32´, b = 1, l = 25,299 circiter, semiaxium Jovis differentia c = 1 ⁄ 13; et positâ orbis hujus satellitis inclinatione ad æquatorem Jovis æquali 3°, erit n cosinus hujus inclinationis, atque inde prodibit 3bcn ⁄ 5l² × S ⁄ L × 360° = 34´ circiter, motus scilicet nodorum annuus satellitis quarti in plano æquatoris Jovis in antecedentia. Si minùs vel magìs inclinatur orbis ad Jovis æquatorem, augeri vel minui debet hic motus in ratione cosinûs hujus inclinationis.

Cæterùm patet motum hunc nodorum in plano æquatoris planetæ primarii, æstimando distantiam satellitis in semidiametris primarii, generatìm esse, dato tempore, in ratione compositâ, ex ratione directâ differentiæ semiaxium planetæ et cosinûs inclinationis orbis satellitis ad planetæ æquatorem, conjunctìm; et ex ratione inversâ temporis periodici satellitis et quadrati distantiæ satellitis à centro planetæ, item conjunctìm.

PROPOSITIO III.

Problema.

Sunto NAD (Fig. 5.) æquator, AGE ecliptica secans æquatorem in A, E æquinoctium vernum, A autumnale, LGN orbis lunæ secans eclipticam in G et æquatorem in N, LD circulus maximus perpendicularis in æquatorem; et sunto DN, LN, quadrantes circuli. Tempore dato vi prædictâ transferratur intersectio N in n, et describatur circulus Lgn exhibens situm orbis lunaris post illud tempus, secetque eclipticam in g. Ut autem intersectiones N et G sine verborum ambagibus distinguantur, priorem in posterum vocabo Nodum Æquatorium, posteriorem Nodum Eclipticum. Ductis itaque Nm, Gd, perpendicularibus in orbem lunæ, est Nn: Nm ∷ 1: sin. GNA, et Nm : Gd ∷ 1 : sin. LG, itemque Gd: Gg ∷ sin. Ggd: 1; unde conjunctis rationibus provenit Nn: Gg∷ sin. Ggd : sin. GNA × sin. LG, adeoque Gg = Nn × sin. GNA × sin. LG ⁄ sin. Ggd. Scribantur s pro sinu et t pro cosinu anguli Ggd, inclinationis scilicet orbitæ lunaris ad eclipticam, ad radium 1, v pro sinu et u pro cosinu arcûs EG, p pro sinu et q pro cosinu obliquitatis eclipticæ; atque per resolutionem trianguli sphærici GAN, habebitur cos. GNA = n = qt + psu, indeque sin. GNA = √1 - qqtt - 2pqstu - p² s² u²; sed scribi potest 1 pro t, et rejici terminus p² s² u² ob exiguitatem sinûs s anguli 5° 8´ ½, proindeque erit sin. GNA = √pp - 2pqsu; prætereà est sin. GNA: sin. GA sive v ∷ sin. GAN sive p: sin. GN, ideoque sin. GN sive cos. LG = pv ⁄ sin. GNA, et sin. LG = u - qsvv ⁄ p, ac sin GNA × sin. LG = pu - qs quamproximé. Quarè fit Gg = Nn × pu - qs ⁄ s, atque hic est motus nodorum lunarium tempore dato in plano eclipticæ: quod si tempus illud datum sit annus solaris, habetur Nn = 3bcn ⁄ 5l² × S ⁄ L × 360°, unde motus ille eclipticus nodorum annuus, nullâ habitâ ratione mutationis sitûs nodorum ex aliâ causâ per id temporis factæ, fiet 3bc ⁄ 5l² × (qt + psu) × pu - qs ⁄ s × S ⁄ L × 360°, vel etiam 3bcq ⁄ 5l² × pu - qs ⁄ s × S ⁄ L × 360° proximé. Q. E. I.

Quo motum nodi lunaris in hac propositione ad eclipticam reduximus, eodem prorsùs ratiocinio motus nodi satellitis cujusvis ad orbitam planetæ primarii reducetur.

Coroll. I.

Exinde liquet nullum esse hunc motum nodi, ubi sin. LG = 0, vel etiam ubi pu = qs, quod contingit ubi orbitæ lunaris arcus GN eclipticam et æquatorem æqualis est 90°, sive ubi nodi lunares versantur in punctis declinationis lunaris maximæ, sive ubi arcus AG, cujus cosinus est u, evadit æqualis 78° 5´, id est, ubi nodus ascendens lunæ versatur in 11° 55´ Cancri, vel 18° 5´ Sagittarii. Eritque progressivus hic motus, id est, fiet secundum seriem signorum, dum nodus ascendens lunæ transit retrocedendo ab 18° 5´ Sagittarii ad 11° 55´ Cancri, regressivus autem in reliquâ parte revolutionis; et maximus evadit motus regressivus, ubi u = -1, id est, ubi nodus ascendens versatur in principio Arietis; et maximus progressivus, ubi u = 1, id est, ubi idem nodus occupat initium Libræ. Itaque cùm motus ille nodorum annuus, de quo hîc agitur, universaliter sit æqualis 3bcq ⁄ 5l² × pu - qs ⁄ s × S ⁄ L × 360°, hoc est, per Coroll. Prop. 2. æqualis 11´´ ½ × pu - qs ⁄ s vel 15´´ × pu - qs ⁄ s prout differentia semiaxium terræ fuerit 1 ⁄ 229 vel 1 ⁄ 177, existentibus scilicet p sinu et q cosinu anguli 23° 28´ ½, atque s sinu anguli 5° 8´ ½; eo anno, in cujus medio circiter nodus lunæ ascendens tenuerit principium Arietis, motus nodorum regressivus, qui et maximus, erit 1´ 2´´ vel 1´ 20´´; ubi verò idem nodus subierit signum Libræ, motus maximus progressivus erit 41´´ vel 53´´. In aliis nodorum positionibus eodem modo computabitur.

Coroll. II.

Si desideretur excessus regressûs nodi supra progressum in integrâ nodi revolutione, sequenti ratione investigabitur. Jungantur equinoctia diametro EA, in quam demittatur perpendiculum GK, et sumpto arcu Gh quem describit nodus eclipticus G quo tempore nodus equatorius N describit arcum Nn, ducatur hc perpendicularis in GK. Per hanc propositionem est Gg. Nn ∷ pu - qs ⁄ s. 1, sive, quia est 1. u ∷ Gh. Gc, fit Gg. Nn ∷ p × Gc ⁄ s - q × Gh. Gh; adeoque summa omnium Gg erit ad summam omnium Nn, hoc est, motus nodi ecliptici in integrâ sui revolutione erit ad motum nodi æquatorii eodem tempore factum, ut summa omnium in circulo quantitatum p × Gc ⁄ s - q × Gh ad summam totidem arcuum Gh, hoc est, ut - q ad 1. Signum autem—denotat motum fieri in antecedentia sive regressum nodi excedere ejusdem progressum. Unde cum motus nodi æquatorii N fit 11´´ ½ vel 15´´ quo tempore nodus eclipticus describit 19° 20´ ½, motus ille nodi æquatorii tempore nodi ecliptici periodico evadit 11´´ ½ × 360° ⁄ 19° 20´ ½ = 3´ 34´´ vel 15´´ × 360° ⁄ 19° 20´ ½ = 4´ 39´´; quo pacto prodit motus nodi ecliptici præfatus æqualis q × 3´ 34´´ vel q × 4´ 39´´, proindeque est radius ad cosinum obliquitatis eclipticæ ut 3´ 34´´ vel 4´ 39´´ ad motum quæsitum, nempe 3´ 16´´, existente 1 ⁄ 229 differentiâ axium terræ, vel 4´ 16´´ eâ existente 1 ⁄ 177: atque hic est excessus regressûs nodi supra progressum in integrâ nodi revolutione vi prædictâ genitus. Excessu igitur hoc minuatur motus nodi lunaris periodicus 360°, et remanebit motus ille quem generat vis solis.

PROPOSITIO IV.

Problema.

Variationem inclinationis orbis lunaris ad planum eclipticæ ex figurâ terræ spheroidicâ ortam determinare.

Esto ANH (Fig. 6.) æquator, AG ecliptica, et A punctum æquinoctii autumnalis: fit NGRM orbis lunæ secans eclipticam in G et æquatorem in N, in quo sumantur arcus NL, GR, æquales quadrantibus circuli. Jam si nodus æquatorius N per temporis particulam vi prædictâ transferri intelligatur in n, et per punctum L describatur circulus nLr, exhibebit hic situm orbis lunæ post tempus elapsum, et si in eumdem demittantur perpendicula Nm et Rr, posterius Rr designabit variationem inclinationis orbitæ lunaris ad eclipticam eodem tempore genitam. Est autem Nn : Nm ∷ 1: m, itemque Nm: Rr∷ 1: sin. LR; sed ob NL = GR, est NG = LR; unde conjunctis rationibus est Nn: Rr∷ 1: m × sin. NG; ex quo patet variationem inclinationis momentaneam esse proportionalem sinui distantiæ nodi lunaris ecliptici à nodo æquatorio. Ad diametrum NM demittatur perpendiculum GK, et existente Gh decremento arcûs NG facto quo tempore nodus æquatorius N describit arcum Nn, agatur hk parallela ipsi GK, eritque 1: GK sive sin. NG∷ Gh. Kk; proindeque jam erit Nn: Rr ∷ Gh : m × Kk, adeoque summa omnium variationum Rr, quo tempore nodus eclipticus G descripsit arcum MG, genitarum erit ad summam totidem motuum Nn, hoc est, ad motum nodi æquatorii N eodem tempore factum, ut summa omnium Kk ducta in m, ad summam totidem arcuum Gh, id est, ut m × MK ad MG. Sit NH motus nodi N tempore revolutionis nodi G ab uno equinoctio ad alterum, eritque variatio inclinationis eodem tempore genita, hoc est, variatio tota æqualis 2m × NH ⁄ MGN. Unde cùm NH ⁄ MGN exprimat rationem motûs nodi æquatorii ad motum nodi ecliptici, prodit theorema sequens: Est motus nodi lunaris ecliptici ad motum nodi æquatorii, ut sinus duplicatus inclinationis mediocris orbitæ lunaris ad æquatorem, ad sinum variationis totius inclinationis ejusdem orbitæ ad eclipticam.

In hoc computo inclinationem mediocrem orbis lunaris ad æquatorem, nempe 23° 28´ ½, usurpo, cum in revolutione nodi tantum ex unâ parte augetur, quantum ex alterâ minuitur, et omnes minutias hîc expendere supervacaneum foret. Motus autem nodi lunaris ecliptici est ad motum nodi lunaris æquatorii ut 19° 20´ ½ ad 11´´ ½ vel 15´´, sive ut 6055 vel 4642 ad 1, unde per theorema supra traditum prodit variatio inclinationis tota æqualis 27´´ vel 35´´, prout differentia axium terræ statuitur 1 ⁄ 229 vel 1 ⁄ 177. Hac igitur quantitate augetur inclinatio orbis lunaris ad eclipticam in transitu nodi ascendentis lunæ ab æquinoctio vernali ad autumnale, et tantumdem minuitur in alterâ medietate revolutionis nodi. In loco quolibet G inter æquinoctia variatio inclinationis est ad variationem totam ut sinus versus arcûs MG ad diametrum, ut patet; sive differentia inter semissem variationis totius et variationem quæsitam est ad ipsam semissem variationis totius ut cosinus arcûs MG ad radium, hoc est, ut u - qsvv ⁄ p ad 1. Q. E. I.

PROPOSITIO V.

Problema.

Motum apsidum in orbe satellitis quamproximé circulari, quatenùs ex figurâ planetæ primarii sphæroidicâ oritur, investigare.

Per propositionem primam vis perturbatrix, quâ trahitur satelles ad centrum planetæ primarii, est ad satellitis gravitatem in ipsum primarium, ut 3bc ⁄ 5l² - 9kkbc ⁄ 5l⁴ ad 1, sive, quia per Prop. 2. est k ⁄ l = m × SH (Fig. 4.) ponendo scilicet m pro sinu inclinationis orbitæ satellitis ad æquatorem primarii, et scribendo y pro SH, ut 3bc ⁄ 5l² × (1 - 3m²y²) ad 1; et summa harum virium in totâ circumferentiâ cujus radius est 1, est ad gravitatem satellitis toties sumptam ut 3bc ⁄ 5l² × (1 - 3m² ⁄ 2) ad 1. Vis igitur mediocris, quæ uniformiter agere in satellitem supponi potest, dum revolutionem suam in orbitâ propemodùm circulari absolvit, est ad ejus gravitatem in primarium ut 3bc ⁄ 5l² × (1 - 3m² ⁄ 2) ad 1; atque hac vi movebuntur apsides, si nulla habeatur ratio vis alterius quæ orbis radio est perpendicularis et per medietatem revolutionis satellitis in unum sensum tendit, per alteram medietatem in contrarium. Jam quia ex demonstratis in hac et primâ propositione sequitur gravitatem satellitis circa planetam, cujus figura est sphærois oblata, revolventis in distantiâ l generaliter esse ad ejusdem gravitatem in majori distantiâ L, ut 1 ⁄ l² + B ⁄ l⁴ × (1 - 3m² ⁄ 2) ad 1 ⁄ L² + B ⁄ L⁴ × (1 - 3m² ⁄ 2), existente B quantitate datâ exigui valoris, sive ut 1 ⁄ l² ad 1 ⁄ L² - B ⁄ l²L² × (1 - 3m² ⁄ 2) + B ⁄ L⁴ × (1 - 3m² ⁄ 2) quamproximé, ideò gravitas satellitis diminuitur in majori quam duplicatâ ratione distantiæ auctæ quoties m minor est quantitate √⅔ id est, ubi inclinatio orbitæ satellitis ad planetæ æquatorem non attingit 54° 44´; diminuitur autem in minori ratione, quoties est m major quàm √⅔, id est, ubi illa inclinatio superat 54° 44´; adeoque in priore casu progrediuntur apsides orbis satellitis, in posteriori regrediuntur. Quantitas autem hujus progressûs vel regressûs sic innotescet.

Per exemplum tertium prop. 45 lib. 1. Princ. Math. Newt. si vi centripetæ, quæ est ut 1 ⁄ l², addatur vis altera ut e ⁄ l⁴, hoc est, quæ sit ad vim centripetam 1 ⁄ l² ut e ⁄ l² ad 1, angulus revolutionis ab apside unâ ad eamdem erit 360° √1 + e ⁄ 1 - e vel 360° ⁄ 1 - e quamproximé, existente e quantitate valdé minutâ. Porrò cum sit motus satellitis in orbitâ suâ revolventis ad motum apsidis ut 360° ⁄ 1 - e ad 360° ⁄ 1 - e - 360°, hoc est, ut 1 ad e, erit motus apsidis tempore revolutionis satellitis ad fidera æqualis 360° × e, et hic motus apsidis erit ad ejusdem motum tempore alio quovis dato ut tempus periodicum satellitis ad tempus datum. Est autem in hac nostrâ propositione e = 3bc ⁄ 5l² × 1 - 3m² ⁄ 2; unde datur motus apsidum quæsitus. Q. E. I.

Coroll.

Si ad lunam referatur hæc determinatio, habebuntur b = 1, l = 60, m = sinui anguli 23° 28´ ½, et si fuerit c = 1 ⁄ 229, erit e = 1 ⁄ 1803203, atque motus apogæi lunæ spatio centum annorum æqualis 16´ proximé in consequentia; si fuerit c = 1 ⁄ 177, erit e = 1 ⁄ 1393742, et motus apogæi æqualis 20´, 7. Hac igitur quantitate minuendus est motus medius apogæi lunæ prout observationibus determinatur, ut habeatur motus ille quem generat vis solis.

Pro quarto autem Jovis satellite, erunt b = 1, l = 25,299, c = 1 ⁄ 13, m = sinui anguli 3°, e = 1 ⁄ 13924,7; hincque motus apsidis spatio unius anni solaris prodit 33´, 95 vel ferè 34´ in consequentia, qui tempore annorum decem fit 5° 40´. Insuper autem notandum est vi solis perturbari motum satellitis simili modo quo perturbatur motus lunæ; ideoque, quoniam vis solis, quâ perturbatur motus lunæ est ad lunæ gravitatem in terram in duplicatâ ratione temporis periodici lunæ circa terram ad tempus periodicum terræ circa solem, hoc est, ut 1 ad 178,725; pariter vis solis, qua perturbatur motus satellitis Jovialis, est ad ipsius satellitis gravitatem in Jovem in duplicatâ ratione temporum periodicorum satellitis circa Jovem et Jovis circa solem, hoc est, ut 1 ad 67394,6: vires igitur, quibus perturbantur motus lunæ et satellitis, sunt ad se invicem, relativé ad eorum gravitates in planetas suos primarios ut 1 ⁄ 178,725 ad 1 ⁄ 67394,6 sive ut 37,708 ad 1. Unde cum viribus similibus proportionales sunt motus his viribus dato tempore geniti, si vis prior vel ejusdem vis pars quælibet motum apsidis generat æqualem 40° 40´ ½ in orbe lunari annuatìm, vis posterior vel ejusdem pars similis et proportionalis motum apsidis eodem tempore generabit æqualem 6´ ½ in orbe satellitis, atque decem annorum spatio 1° 5´ in consequentia. Addatur 1° 5´ ad 5° 40´, et motus apsidum totus in orbe satellitis extimi Jovialis ex duabus prædictis causis oriundus spatio decem annorum erit 6° 45´ in consequentia. Observationibus Astronomicis collegit Ill. Bradleius hunc motum tempore prædicto esse quasi 6°; differentia illa qualiscumque 45´ inter motum observatum et computatum actionibus satellitum interiorum debebit ascribi.

Scholium.

Ex præcedentibus colligere licet motuum lunarium inæqualitates originem suam omnem non ducere ex vi solis, sed earum partem aliquam deberi actioni Telluris quatenùs induitur figurâ sphæroidicâ. Sufficiat hîc illarum computasse valorem, et legem, quâ generantur, demonstrasse: utrum autem hujusmodi correctiones tales sint ut tabulis Astronomicis inscribi mereantur, dijudicent Astronomi.

Item manifestum est præter inæqualitates eas, quæ in motibus satellitum Jovialium ex vi solis et actionibus satellitum in se invicem nascuntur, oriri alias ex figurâ Jovis sphæroidicâ ita notabiles ut Observationes Astronomicas continuò afficere debeant.

Si terra globus esset omninò sphæricus quicumque foret revolutionis axis, manente eâdem in globo motûs quantitate, eadem maneret rotationis velocitas: secùs autem est, ubi ob vires solis et lunæ terra induit formam sphæroidis oblongæ per aquarum ascensum. Hîc enim non considero figuram telluris oblatam ob materiæ in æquatore redundantiam, sed sphæricam suppono nisi quatenùs per aquarum elevationem et depressionem in sphæroidicam mutatur. Jam verò in sphæroide hujusmodi, quamvis eadem maneat motûs quantitas, mutatâ inclinatione axis transversi ad axem revolutionis, mutabitur revolutionis velocitas, uti satis manifestum est: cùm autem axis transversus transit semper per solem vel lunam, singulis momentis mutabit situm suum respectu axis revolutionis ob motum quo hi duo planetæ recedunt ab æquatore terrestri et ad eum vicissìm accedunt.

Problema.

Exhibeat sphærois oblonga ADCd (Fig. 7.) terram fluidam, cujus centrum T, AC axis transversus jungens centra terræ et solis vel lunæ, Dd axis minor, EO diameter æquatoris, et XZ axis motûs diurni. Centro T et radio TD describatur circulus BDd secans axem transversum AC in B, et agatur BK perpendicularis in TE: tum ex quovis circuli puncto P ductâ PM ad axem XZ normali quæ secet TA in H, sit Ppr circumferentia circuli quam punctum P rotatione suâ diurnâ describit, ad cujus quodvis punctum p ducatur Tp et producatur donec occurrat superficiei sphæroidis in q; deinde demissâ pG perpendiculari in PM, et GF perpendiculari in TA, si per puncta AqC transire intelligatur ellipsis ellipsi ADC similis et æqualis, erit ex naturâ curvæ, quia sphærois nostra parùm admodùm differt à sphærâ, pq = AB × (TF)² ⁄ (TP)² quamproximé. Jam designet U velocitatem particulæ in terræ æquatore revolventis motu diurno circum axem XZ ad distantiam semidiametri TP, eritque U × PM ⁄ TP velocitas particulæ P circulum Ppr describentis, et cum sit TF =(GM - HM) × TK ⁄ TP + TH, erit motus totius lineolæ pq æqualis pq × U × PM ⁄ TP = U × AB × PM ⁄ (TP)³ × ((GM - HM) × (TK)²) ⁄ TP + TH, adeoque summa horum motuum in circuitu circuli Ppr, hoc est, motus superficiei inter circulum Ppr et sphæroidem in directione Tp contentæ, æquabitur circumferentiæ hujus circuli ductæ in U × AB × PM ⁄ (TP)³ × ((TK)² × (PM)² ⁄ 2(TP)² + (TK)² × (HM)² ⁄ (TP)² - 2TK × HM × TH ⁄ TP + (TH)²) sive quia est HM. TM ∷ TK. BK, et TH. HM∷ TP. TK, scribendo D pro circumferentiâ circuli BDd, æquabitur ille motus quantitati U × AB × D ⁄ 2(TP)⁶ × ((TK)² × (PM)⁴ + 2(BK)² × (TM)² × (PM)²). Deinde horum motuum summa in toto circuitu globi collecta, hoc est, motus totius materiæ globo BDd incumbentis prodibit æqualis U × AB × DD ⁄ 32 x 3(TP)² - (BK)² ⁄ (TP)². Ubi planeta in plano æquatoris consistit, fit BK = 0, et motus prædictus æqualis U × 3AB × DD ⁄ 32. Motus autem globi QPR circa eumdem axem est (uti facilé demonstratur) U × TP × DD ⁄ 16, adeoque motus terræ totius fit U × TP × DD ⁄ 16 + U × AB × DD ⁄ 32 × 3(TP)² - (BK)² ⁄ (TP)², qui cum idem semper manere debeat, denotet V velocitatem in superficie æquatoris terrestris ubi planeta versatur in plano æquatoris, eritque U × TP × DD ⁄ 16 + U × 3AB × DD ⁄ 32 = U × TP × DD ⁄ 16 + U × AB × DD ⁄ 32 × 3(TP)² - (BK)² ⁄ (TP)²; unde scribendo 1 pro TP quatenùs est radius ad sinum BK anguli BTK, habetur V. U∷ TP + 3AB ⁄ 2 - AB × (BK)² ⁄ 2. TP + 3AB ⁄ 2, indeque, quia minima est altitudo AB respectu semidiametri TP, U - V. V∷ AB × (BK)². 2TP, et U - V = V × AB × (BK)² ⁄ 2TP: pro V autem patet scribi posse velocitatem angularem terræ mediocrem quia ab eâ differt quam minimé et ducitur in quantitatem perexiguam AB × (BK)² ⁄ 2TP, et quia tempora revolutionum terræ circa centrum suum sint reciprocé ut motus angulares U, V, fiet differentia revolutionum terræ ubi planeta æquatorem tenet et ubi ab æquatore distat angulo BTK, æqualis 23ʰ 56´ × AB × (BK)² ⁄ 2TP. Quoniam igitur est acceleratio horaria ad motum terræ horarium mediocrem circa centrum suum ut AB × (BK)² ad 2 TP sive (quia est sinus p inclinationis eclipticæ ad æquatorem ad radium 1 ut sinus BK ad sinum distantiæ planetæ ab æquinoctio, quem sinum dico K) ut AB × p² × K² ad 2 TP; adeoque acceleratio horaria rotationis terræ crescit in ratione duplicatâ sinûs distantiæ planetæ à puncto æquinoctii, et summa omnium illarum accelerationum, quo tempore transit planeta ab æquinoctio ad solstitium, est ad summam totidem motuum horariorum mediocrium, hoc est, acceleratio tota eo tempore genita est ad tempus illud ut summa quantitatum omnium AB × p² × K² in circuli quadrante ad summam totidem 2TP, id est, quia summa omnium K² in circuli quadrante dimidium est summæ totidem quadratorum radii, ut AB × p² ad 4 TP. Quamobrèm, si denotet P quartam partem temporis planetæ periodici circa terram, erit acceleratio tota motûs terræ circum axem suum in transitu planetæ ab æquinoctio ad solstitium genita æqualis AB × P × p² ⁄ 4TP, atque eadem erit retardatio in transitu planetæ à solstitio ad æquinoctium. Unde sponte nascitur hoc Theorema: Est quadratum diametri ad quadratum sinûs obliquitatis eclipticæ ut quarta pars temporis periodici solis vel lunæ ad tempus aliud; deinde, est semidiameter terræ ad differentiam semiaxium ut tempus mox inventum ad accelerationem quæsitam.

Ascensus aquæ AB vi solis debitus est duorum pedum circiter, existente semidiametro terræ mediocri TP = 19615800, unde prodit per theorema acceleratio terræ circa centrum suum gyrantis facta quo tempore incedit sol ab æquinoctio ad solstitium, æqualis 1´´´ 55ⁱᵛ in partibus temporis; et si vi lunæ ascendunt aquæ ad altitudinem octo pedum, acceleratio revolutionis terræ inde orta, quo tempore luna transit ab æquatore ad declinationem suam maximam, erit 34ⁱᵛ: et summa harum accelerationum, quæ obtinet ubi hi duo planetæ in punctis solstitialibus versantur, cum non superet duo minuta tertia temporis cum semisse sive 37 minuta tertia gradûs, vix observabilis erit. Q. E. I.

Cùm igitur tantilla fit hujusmodi variatio in hypothesi sphæricitatis terræ; qualis evaderet, terrâ existente sphæroide oblatâ, frustrà quis inquireret.