Wir behandeln zunächst die Herstellung der Bilder von ebenen Figuren. Insbesondere wollen wir uns die gegebene Figur Σ in einer horizontalen Ebene γ liegend denken, die wir zur Fixierung der Begriffe mit dem Fußboden zusammenfallen lassen und Grundebene nennen. Die Bildebene, die wir uns, wie bereits erwähnt, vertikal denken, heiße wieder β. Endlich denken wir uns das Auge S0 vor der Bildebene β befindlich; die Figur Σ, von der auf β ein Bild zu zeichnen ist, befindet sich dann naturgemäß hinter der Bildebene.
Die Schnittlinie von γ und β soll Achse oder Grundlinie heißen; wir bezeichnen sie durch a. Da sie eine Gerade von β ist, so fällt sie (§ 1, II) mit ihrer Bildgeraden Punkt für Punkt zusammen.
Wir beweisen nun zunächst den folgenden Satz:
I. Die Fluchtpunkte aller Geraden von γ liegen auf einer zur Grundlinie parallelen Geraden, dem sogenannten Horizont.
Zum Beweise ziehen wir in der Ebene γ irgendeine Gerade g und konstruieren ihren Fluchtpunkt.10 Gemäß § 1 erhalten wir ihn, indem wir durch S0 die Parallele zu g legen und deren Schnitt G mit der Bildebene β bestimmen. (Fig. 5) Diese Parallele liegt, welches auch die Gerade g sein mag, in derjenigen Ebene η0 die durch S0 parallel zur Grundebene γ geht, und die wir Augenebene nennen. Daher liegt G auf der Schnittlinie dieser Ebene η0 mit β, womit der Satz bewiesen ist.
Die so bestimmte Gerade nennen wir den Horizont und bezeichnen ihn durch h. Seiner Definition gemäß ist er Ort der Bildpunkte aller unendlichfernen Punkte von γ. Deren Gesamtheit bezeichnet die Sprache als Horizont; als dessen Bildgerade heißt h ebenfalls Horizont.
Aus der Definition des Fluchtpunktes folgt unmittelbar, daß alle parallelen Geraden g,g1,g2... denselben Fluchtpunkt haben; für jede von ihnen ergibt er sich als Schnittpunkt von β mit dem nämlichen durch S0 gezogenen Strahl. Also folgt:
II. Jeder Schar paralleler Geraden g,g1,g2... der Grundebene entsprechen in der Bildebene Geraden g',g'1,g'2..., die durch einen und denselben Punkt des Horizontes gehen.
Unter den Scharen paralleler Geraden von γ nehmen vier eine bevorzugte Stellung ein; die zur Bildebene normalen Geraden, die beiden Scharen, die mit ihr einen Winkel von 45o einschließen, und die zu ihr parallelen Geraden.
Für die zu β normalen Geraden n erhalten wir den Fluchtpunkt, indem wir von S0 ein Lot auf β fällen. (Fig. 6) Der Fußpunkt N ist der Fluchtpunkt; er heißt Augenpunkt.
Die Fluchtpunkte der gegen β unter 45o geneigten Geraden l und r seien L und R. Sie heißen Distanzpunkte. Ihrer Definition gemäß bilden nämlich S0L und S0R mit β je einen Winkel von 45o, folglich ist
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S0N = NL = NR.
| (1) |
Die beiden Punkte L und R bestimmen daher die Entfernung des Auges von der Bildebene; hierauf beruht es, daß die Richtungen l und r praktisch wie theoretisch als bevorzugte Richtungen aufzufassen sind.
Ist endlich p eine Gerade von γ, die zur Bildebene, also auch zur Grundlinie a parallel ist, so gilt dies auch für die Bildgerade p'. Für diese Geraden besteht deshalb eine einfache metrische Eigenschaft, die sich in folgenden Sätzen ausdrückt (Fig. 7).
1. Ist B der Halbierungspunkt der Strecke AC, so ist auch B' der Halbierungspunkt von A'C'.
2. Sind A, B, C irgend drei Punkte von p, und A', B', C' deren Bildpunkte, so ist
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AB : BC : CA = A'B' : B'C' : C'A'.
| (2) |
Beides folgt unmittelbar aus dem bekannten Satz, daß irgend drei durch denselben Punkt gehende Geraden von zwei sie kreuzenden Parallelen nach demselben Verhältnis geschnitten werden. Der Satz 1. ist übrigens nur ein Spezialfall von 2.
Ist in der Bildebene außer den Distanzpunkten L und R auch die Grundlinie a gegeben, so ist damit nicht allein die Entfernung des Auges von der Bildebene, sondern auch seine Höhe über der Grundebene bestimmt, und zwar können a, L und R beliebig angenommen werden. Damit ist alsdann die Lage des Auges im Raume durch zeichnerische Bestimmungsstücke festgelegt.
Um die Entfernung des Auges von der Bildebene zu bestimmen, kann man übrigens statt L und R die Fluchtpunkte E und F irgend zweier Geraden e und f von bekannter Richtung auf dem Horizont h beliebig annehmen. Zieht man nämlich in der Augenebene η0 durch E die Parallele zu e und durch F die Parallele zu f, so gehen beide Parallelen durch S0 und bestimmen damit wieder die Lage des Auges zur Bildebene.11