65 Dies geschieht der Übersichtlichkeit der Figur wegen.
66 Es gibt auch hier zwei solche Ebenenscharen.
67 Man kann das Sechseck auch so zeichnen, daß man zunächst diejenigen Geraden beliebig annimmt, die irgend zwei von M ausgehenden Strecken entsprechen.
68 Die ursprünglich gezeichneten Würfelkanten sind nachträglich getilgt worden.
69 In der Figur ist diese Konstruktion nur für die obere und untere Grundfläche des Würfels angedeutet worden.
70 Wir konnten daher die Figur 13 (S. 25) als Bild eines drei seitigen Pyramidenstumpfes betrachten.
71 In Fig. 79 fallt C 0 in den unendlich fernen Punkt von s0.
72 Eine andere Konstruktion ist in § 15 angegeben.
73 Vgl. den Anhang, 10.
74 Die Ellipsenbogen selbst enthält z. B. Figur 83.
75 Die Beweisgründe sind im folgenden teilweise der Anschauung entnommen.
76 Ist z. B. Σ ein Polyeder, und geht eine Ebene dieses Polyeders durch S0, so gibt es Kegelkanten, die in diese Ebene fallen, und denen ein ganzes Stück der Oberfläche Φ angehört.
77 Da ein Irrtum nicht entstehen kann, wird auch u als Umrißkurve bezeichnet werden.
78 Man beachte, daß sich der Zylinder unsern Festsetzungen gemäß (§ 10) hinter der Aufrißebene befindet, so daß der Grundriß beim Zurückdrehen hinter die Ebene des Papiers tritt.
79 Das Auge ist durchaus gewöhnt, Bilder, die sich auf die Kugel beziehen, in orthogonaler Projektion dargestellt zu sehen. Wahrscheinlich beruht es darauf, daß die Kugel dem Auge von jedem Punkte aus gleich erscheint, und zwar so, daß ihr wirklicher Umriß u ein Kreis ist. Es wünscht daher auch den scheinbaren Umriß u' als Kreis zu sehen. Dies ist aber nur für die orthogonale Projektion der Fall. Bei schiefer Projektion ist der scheinbare Umriß eine Ellipse, doch projiziert sich auch bei ihr der zur Bildebene parallele größte Kreis in seiner naturlichen Form. Ihn pflegt man deshalb bei schiefer Projektion im Bilde zu zeichnen. Er wird aber von den Bildern der anderen größten Kreise im allgemeinen nicht berührt, sondern gekreuzt. Ein derartiges Bild entsteht z. B., wenn wir in Figur 83 den Kreisbogen AC zum ganzen Kreis und die Ellipsenbogen AB' und CB' zu den ganzen Ellipsen vervollständigen. Die Ellipse, die in diesem Fall den scheinbaren Umriß darstellt, würde diese Kurven wieder berühren. Doch ist ein so gezeichnetes Bild dem Auge trotz setner Richtigkeit aus den genannten Gründen ungewohnt und wird deshalb besser vermieden. Für einzelne Teile der Kugel ist dies, wie die Figuren zeigen, nicht der Fall.
80 Der Index 1 entspricht hier und im folgenden dem inneren, der Index 2 dem äußeren Kreis.
81 Das Bild des Kreises b 2 fehlt in der Figur, da er unsichtbar ist.
82 In der obigen Figur ist ν = 9.
83 Die Figur enthält von der Kugel nur den größten Kreis N A S.
84 Vergleiche den Anhang, 11.
85 Die Figur soll nur die Lage der Geraden und Ebenen erkennen lassen. Die Gerade e ist in ihr nicht gezeichnet.
86 Es gibt zwei solcher Winkel für k, l und k', l'; die obige Relation gilt naturgemäß für jedes Paar entsprechender Winkel.
87 Vgl. den Anhang, 12.
88 Es ist für das Folgende bequemer, die sonst immer durch ε und ε' bezeichneten Ebenen jetzt ε und ε1 zu nennen.
89 Im allgemeinen entpricht also einem Punkt der einen Ebene ein von ihm verschiedener Punkt der anderen, nur S∞ und die Punkte von s machen eine Ausnahme und entsprechen sich selbst.
90 Die Ebene ε entspricht also der Ebene γ und ε' der Bildebene β.
91 Man sieht leicht, daß die beiden Strahlen p und q in Σ und Σ1 ein Ebenenpaar ε und ε1 bestimmen, das sich selbst entspricht, und daßfür dieses Paar vereinigt liegender Ebenen die Perspektive Lage gemäß Satz III vorhanden ist.
92 Die Fluchtebene von Σ, die also in Σ der unendlichfernen Ebene von Σ1 entspricht, heißt auch Verschwindungsebene. Beide Fluchtebenen werden auch Gegenebenen genannt.
93 Vgl. Gesammelte Werke, Bd. 5. S. 245 ff.
94 Die räumliche Wirkung des Stereoskops beruht bekanntlich darauf, daß es zwei Bilder benutzt; eines, das für das linke, und eines, das für das rechte Auge hergestellt ist.
95 Man erkennt dies z. B., wenn man in Fig. 39 (S. 73) das Auge von links nach rechts über die Figur wandern läßt. Dabei ändern sich die scheinbaren Dimensionen des Sockels erheblich. Ebenso ist es mit dem Bild des Kastens in Fig. 33 (S. 65).
96 In den Figuren dieser Schrift ist dies manchmal in zu starkem Maße geschehen.