1 Die folgende Darstellung enthält nur eine Annäherung an die wirklichen Verhältnisse. Das Genauere findet man im Anhang, 1.
2 Die Figur ist nur schematised gezeichnet.
3 Als Strahlenbündel bezeichnet man die Gesamtheit aller durch einen Punkt des Raumes gehenden geraden Linien oder Strahlen; der Punkt selbst heißt sein Scheitel oder sein Mittelpunkt.
4 Vgl. Anhang, 2.
5 Eine ausführliche Würdigung dieser Verhältnisse findet man bei Helmholtz, in dem Aufsatze: „Das Auge und das Sehen“, Populäre wissenschaftliche Vorträge, Heft 2.
6 Als Projektion bezeichnet die Sprache zwar auch den Prozess des Projizierens, zumeist aber sein Ergebnis.
7 Eine ausführlichere Erörterung der unendlichfernen Punkte kann erst in § 6 gegeben werden.
8 Es ist also G der Fluchtpunkt und G' die Spur von g.
9 Vgl. den Anhang, 3.
10 Bei unserer Festsetzung über die Lage des Auges zur Bildebene kommt hier nur derjenige Teil der Geraden g in Betracht, der hinter der Bildebene liegt. Näheres in § 6.
11 Man vgl. Fig. 5, in der man außer dem Fluchtpunkt G der Geraden g nur noch den Fluchtpunkt einer Geraden anderer Richtung anzunehmen braucht.
12 Man beachte die richtige Lage der in γ enthaltenen Stücke von l und r in der Zeichnungsebene. Es muß l nach links unten und r nach rechts unten gehen, damit beide Geraden beim Zurückdrehen in die Ebene γ in ihre richtige Lage kommen.
13 Hier wird immei vorausgesetzt, daß wir die Lage des Auges beliebig annehmen dürfen.
14 Freilich konnte dies bei den Figuren dieser Schrift mit Rücksicht auf den Platz nicht immer geschehen.
15 In Fig. 8 gehen N P' und das von P auf a gefällte Lot durch denselben Punkt der Achse.
16 In neuerer Zeit hat man sich auch der Frage zugewandt, wie man eine Figur durch ein Minimum zeichnerischer Schritte (Anlegen des Lineals, Schlagen eines Kreises usw.) erhalten kann. Diese Untersuchungen, die wesentlich von E. Lemoine ausgehen, können ebenfalls zur Vereinfachung der Ausführung beitragen; vgl. seine Schrift: Géométrographie ou art des constructions géométriques Paris 1902. Allerdings steht hier auch die Genauigkeit der Zeichnung in vorderster Linie.
17 Die Figur stellt zugleich die Durchdringung eines dreiseitigen Prismas und einer dreiseitigen Pyramide dar.
18 Vgl. den Anhang, 4.
19 Auf weitere durch S0 gehende Gerade und Ebenen besonderer Art kommen wir in § 6 ausführlicher zurück.
20 Die Ebenen, die zwei parallele Geraden von ε mit S0 verbinden, sind nämlich in diesem Fall parallel und schneiden daher auch ε' in parallelen Geraden.
21 Die Figur enthält zugleich die Durchdringung eines dreiseitigen und eines vierseitigen Prismas. Diese ist also so zu zeichnen, daß Satz III von § 4 für jedes Paar entsprechender Geraden erfüllt ist. Vgl. auch § 14, Beispiel 4.
22 Die Geraden, die durch P und P' parallel zu s laufen, sind übrigens stets entsprechende Geraden.
23 Fällt P auf P', so sind je zwei entsprechende Winkel beider Strahlenbüschel einander gleich.
24 Man kann offenbar irgend zwei entsprechende Seiten der Dreiecke ABC und A'B'C' zu diesem Zweck benutzen.
25 Vgl. den Anhang, 5.
26 Die Bezeichnung weicht in diesem Paragraph von der früheren ab.
27 Vgl. den Anhang, 6.
28 Vgl. den Anhang, 7.
29 Die zueinander parallelen Geraden g, g1, g2... von ε bezeichnet man deshalb auch als Parallelstrahlenbüschel und nennt G∞ seinen Scheitel. Die ihnen entsprechenden Geraden bilden in ε' einen gewöhnlichen Strahlenbüschel mit dem Seheitel G.
30 Ich setze als bekannt voraus, daß jeder Kegel, der durch Projektion eines Kreises vom Punkte S0 aus entsteht, durch eine Ebene in einer Kurve zweiter Ordnung geschnitten wird.
31 Die Hilfslinien sind in den Figuren nachträglich wieder getilgt worden. Übrigens sind auch die nicht sichtbaren Punkte A für die Zeichnung benutzt worden.
32 Es ist sehr zu empfehlen, die Zeichnung von Parabel und Hyperbel selbst auszuführen, sowohl nach der ersten, wie nach der zweiten Methode. Man kann übrigens auch beide Methoden verbinden.
33 Man vergleiche die Figuren 5 bis 8.
34 Die Geraden p, v, n stellen drei zueinander senkrechte Richtungen dar, was ebenfalls ihre bevorzugte Benutzung erklärt.
35 Für Darstellungen, die nur die Bedeutung konstruktiver Hilfsmittel besitzen, geschieht dies allerdings doch. Vgl. § 12.
36 Die nicht sichtbaren Linien sind nachträglich getilgt worden.
37 Zur Kontrolle der Zeichnung wird man dies immer benutzen; vgl. § 3, 5.
38 Man kann auch F' selbst so zeichnen; der Genauigkeit halber wird man aber auch mit B'N operieren.
39 Die Reihenfolge, in der man die einzelnen Punkte und Geraden des Bildes erhält, ist stets Sache des Zeichners, bedarf also, um die Zeichnung möglichst zu kürzen, in jedem Fall besonderer Erwägung.
40 Diese Verbindungslinie pflegt meist punktiert gezeichnet zu werden. Vgl. die Anm. 52 auf S. 84.
41 Für unsere Zwecke kommen nur solche Raumfiguren Σ in Betracht, die sich vom Auge aus hinter der Bildebene und über der Grundebene befinden; die Lage von P1 und P2, ist alsdann immer so, daß P1 unter und P2 über der Achse liegt. Läßt man allgemeinere Lagen von Σ zu, so können auch P1 und P2 andere Lagen in der Zeichnungsebene annehmen. Dies bleibt aber hier außer Betracht; für die dadurch bedingten Verhältnisse muß ich auf die ausführlicheren Lehrbücher verweisen. Dort pflegt man sich den Gegenstand im allgemeinen vor der Aufrißebene stehend zu denken, nimmt die Grundrißebene als Zeichnungsebene und legt die Aufrißebene in die Grundrißebene um. Alsdann sind diejenigen Teile des Gegenstandes im Aufriß stark zu zeichnen, die von der Aufrißebene den größten Abstand haben; vgl. den Schluß von § 10.
42 Die von E ausgehenden Kanten sind nicht gezeichnet, sie sind unsichtbar. Dies wirkt stärker räumlich als die Figur 36.
43 Sind sie gegeben, so beachte man, daß sie sich in der Aufrißebene gemäß § 5 in ihrer natürlichen Größe darstellen.
44 Erst nachträglich bemerke ich, daß die Buchstaben E und F doppelt vorkommen. Auch steht die Pyramide wegen Platzmangel der Bildebene zu nahe, um einen guten Eindruck hervorzubringen.
45 Die Figur würde besser sein, wenn die Pyramide nicht — aus Platzmangel — der Bildebene zu nahe stände.
46 Es empfiehlt sich, die Bilder zu den Figuren 35 und 36 selbst zu zeichnen.
47 Vgl. den Anhang, 8.
48 Man beachte, daß die Figuren durch Hineindrehen der Grundrißebene in die Aufrißebene entstehen.
49 Da sich der Zeichner ebenfalls vor resp. über der Aufrißebene befindet, sind dies zugleich diejenigen, die er selbst sieht.
50 Um Grundriß und Aufriß als gute körperliche Bilder aufzufassen, hat man das Auge auf unendliche Sehweite einzustellen. Vgl. S. 125 Anm. 64.
51 Diese Bezeichnung weicht zwar von dem allgemeinen Schema etwas ab, sie wird aber nur an dieser Stelle vorübergehend benutzt.
52 Diese Spuren pflegt man vielfach so zu zeichnen, wie es oben geschehen ist, nämlich aus Strichen und Punkten. Es ist ein Haupterfordernis einer guten Figur, daß man aus der Art, in der die einzelnen Linien gezeichnet sind, ihre Bedeutung und damit die Gestalt der bezüglichen Raumfigur leicht zu entnehmen vermag. Ich habe deshalb die früher ziemlich allgemein gebräuchliche Zeichnungsart benutzt.
53 Sind g und f windschief, so ist der Schnittpunkt (g1,f1) die erste Projektion desjenigen Punktes, in dem f die projizierende Ebene γ1 kreuzt. Die analoge Bedeutung hat der Punkt (g2,f2).
54 Mittels des obenerwähnten Satzes löst man auch leicht die Aufgabe, die Spuren einer Ebene zu zeichnen, die durch drei Punkte A, B, C geht, wenn die Projektionen dieser Punkte gegeben sind. Mit den Projektionen von A, B, C sind nämlich auch die Projektionen ihrer Verbindungelinien gegeben, man braucht also nur deren Spuren in π1 und in π2 zu konstruieren und zu verbinden, um die Spuren der Ebene zu erhalten. Übrigens genügt es, die Spuren von zwei Geraden zu konstruieren. Der Kontrolle wegen wird man es aber auch für die dritte tun.
Ähnlich konstruiert man auch die Spuren einer durch eine Gerade und einen Punkt bestimmten Ebene.
55 Die Figur betrifft nur den Fall eines Flachenstücks Φ.
56 Dies folgt zunächst für die Kanten durch A und H, und damit auch für die andern, die diesen parallel sind.
57 Dies Verfahren ist nichts anderes als eine Anwendung der allgemeinen Methode, alle Ebenen in die Zeichnungsebene hineinzudrehen.
58 Um den Grundriß nicht zu stören, ist die Ebene durch AB selbst gelegt worden.
59 Dies ist identisch mit der obenerwähnten Tatsache, daß die Aufrißprojektionen ihrer Länge nach ungeändert bleiben, wenn man den Gegenstand Σ um eine zur Grundrißebene vertikale Achse dreht. Seine so entstehende Lage zur Aufrißebene kann man nämlich auch dadurch herstellen, daß man ihn festhält und die Aufrißebene dreht, und dies bedeutet wiederum die Einführung einer neuen Projektionsebene.
60 Die Zeichnung soll auch hier durch besondere Wahl und Art der Linien ihre Bedeutung erkennen lassen; vgl. S. 84 Anm. 52 .
61 Vgl. den Anhang, 9.
62 Eine praktische Folge hiervon ist, daß das Zeichnen der Achse a entbehrlich ist. Bei Festhaltung der Aufrißebene bedeutet dies die Zulassung einer variablen Lage für die Grundrißebene.
63 Der Satz gilt auch dann noch, wenn zwei Seiten des Dreiecks A'B'C' zusammenfallen.
64 Bei Bildern, die mittels einer Parallelprojektion gezeichnet werden, müssen wir uns gemäß § 1 vorstellen, daß sich das betrachtende Auge in unendlicher Entfernung befindet, und zwar in der Richtung, die durch die projizierenden Strahlen angegeben wird. Um einen möglichst guten optischen Eindruck eines axonometrisch gezeichneten Bildes zu erhalten, haben wir daher das Auge auf Unendlich einzustellen und ihm überdies die Lage zur Bildebene zu geben, die durch die projizierenden Strahlen gefordert wird. Bei einer Orthogonalprojektion muß es also senkrecht über dem Bilde stehen. Der optische Eindruck wird um so besser werden, je weiter man das Auge von der Zeichnungsebene entfernt.