Wie man in der analytischen Geometrie zuvörderst die Formeln für die Transformation der Koordinaten zu behandeln hat, entsteht hier zunächst die Aufgabe, die Projektionen in den neuen Projektionsebenen aus den alten herzustellen. Wir gehen dazu von Grundriß und Aufriß aus, und denken uns eine Projektionsebene π₃, die auf der Grundrißebene π₁ senkrecht steht, während sie mit π₂ einen beliebigen Winkel bilde. (Fig. 66). Es sind dann auch π₁ und π₃ zwei Ebenen, die als Grundriß- und Aufrißebene benutzt werden können, und wir haben, wenn P₃ die Projektion eines Punktes P in π₃ ist, P₃ aus P₁ und P₂ abzuleiten.

Sei dazu O der Schnitt der drei Ebenen, sei jetzt a₁₂ die Achse für π₁ und π₂, und a₁₃ diejenige für π₁ und π₃ so daß O zugleich Schnitt von a₁₂ und a₁₃ ist. Wir denken uns nun auch die Ebene π₃ in die Ebene π₁ umgelegt (Fig. 67), und zwar durch Drehung um a₁₃, so besteht auch für die Projektionen P₁ und P₃ der Satz I von § 10; und man hat, wenn jetzt die Schnittpunkte von P₁P₂ und P₁P₃ mit den Achsen durch P₁₂ und P₁₃ bezeichnet werden, unmittelbar die Gleichung

Diese einfache Gleichung ist die einzige Tatsache, die hier in Frage kommt59 . Wir schließen aus ihr sofort, daß die Projektion P₃ aus P₁ und P₂ zeichnerisch bestimmbar ist; man hat nur von P₁ auf a₁₃ das Lot P₁P₁₃ zu fällen, und auf ihm P₃ so zu bestimmen, daß P₃P₁₃ = P₂P₁₂ ist. Dies pflegt man so auszuführen, daß man (Fig. 67) in O auf a₁₂ und a₁₃ je ein Lot n₂ und n₃ errichtet, zu a₁₂ durch P₂ eine Parallele bis n₂ zieht, dann den bis n₃ reichenden Kreisbogen schlägt, und durch seinen Endpunkt wieder die Parallele zu a₁₃ zieht60. Wir sprechen das gefundene Resultat folgendermaßen als Satz aus:

I. Wählt man die Projektionsebene π₃ senkrecht auf π₁, so ergibt sich die Projektion P₃ aus P₁ und P₂ in der Weise, daß man von P₁ auf die Achse a₁₃ der Ebenen π₁ und π₃ ein Lot P₁A₁₃ fällt und auf ihm die Strecke A₁₃P₃ gleich A₁₂P₂ abträgt, wenn A₁₂ Schnitt der Achse a₁₂ mit P₁P₂ ist.

Die Einführung einer dritten Projektionsebene π₃ kann zunächst den Zweck haben, zu bewirken, daß die Raumfigur Σ eine vorgegebene Lage zu den Projektionsebenen besitzt. Dies wollen wir zunächst an einigen einfachen Beispielen ausführen.

1. Die Projektion des in Fig. 37 gezeichneten Oktaeders auf einer zur Aufrißebene senkrechten Ebene π₃ herzustellen. Die Ausführung erfolgt unmittelbar nach dem eben gegebenen Konstruktionsschema und bedarf keiner weiteren Erläuterung (Fig. 68).

2. Die zweite oben gegebene Darstellungsart des Dodekaeders so vorzunehmen, daß man die Ebene π₃ auf π₁, senkrecht wählt. Auch diese Aufgabe ist unmittelbar nach dem angegebenen Schema zu behandeln (Fig. 69)61.

Die Einführung neuer Projektionsebenen laßt sich wiederholen; man kann eine Ebene π₄ einführen, die auf einer der Ebenen π₁ oder π₃ senkrecht steht, und kann dies beliebig lange fortsetzen. Man erhält dadurch Grundriß- und Aufriß- projektionen für immer neue Stellungen einer Figur zu den Projektionsebenen. Dabei ist zweierlei zu bemerken. Erstens bedarf es nur zweier Schritte, um eine gegebene Ebene ε zur Projektionsebene zu machen. Ist nämlich E₁ die Spur von ε in π, so wähle man π₃ senkrecht auf E₁, und kann nun, da π₃ auf ε senkrecht steht, ε als Ebene π₄ einführen. Zweitens beachte man, daß bei der Einführung von π₄ ein praktischer Fortschritt nur so entsteht, daß man π₄ senkrecht zu π₃ annimmt, so daß π₃ und π₄ die neue Grundrißebene und Aufrißebene darstellen. Würde man nämlich π₄ senkrecht auf π₁ wählen, so ist π₃ überflüssig; man hätte von vornherein π₄ statt π₃ als neue Ebene benutzen können.

Welche Ebenen man in den einzelnen Fällen einführt, hängt ganz von der Natur der Aufgabe und von dem Zweck ab, den man erreichen will. Ihre Wahl muß getroffen sein, ehe man an die zeichnerische Darstellung geht; die Vorstellung der Figur mit allen ihren Projektionsebenen und die richtige Auswahl dieser Ebenen ist das Problem, das in jedem einzelnen Fall zu lösen ist; die Herstellung der neuen Projektionen ist ein mechanisches Verfahren, das immer in der gleichen Weise erfolgt.

Ich erörtere schließlich noch kurz den Fall, daß man eine neue Projektionsebene einführt, die zu einer vorhandenen parallel ist. An dem Satz I wird dann nichts geändert. Sei z. B. π₃  || π₂ (Fig. 70), so daß a₁₂ und a₁₃ parallel sind, so besteht immer noch die Gleichung 1); die einzige Modifikation die auftritt, ist die, daß P₁P₂ und P₁P₃ in dieselbe Gerade fallen. Man erhält also auch hier P₃ so, daß man P₁₃P₃ = P₁₂P₂ macht (Fig. 71).62

Ich schließe mit folgender Bemerkung. Wie in der analytischen Geometrie können auch hier für die Behandlung der einzelnen Probleme zwei grundverschiedene Gesichtspunkte maßgebend sein. Man kann die Koordinatenebenen und die Projektionsebenen so einfach wie möglich, man kann sie aber auch so allgemein wie möglich wählen. Beides hat seine Berechtigung; das zweite dient mehr den theoretischen, das erste mehr den praktischen Zwecken. An dieser Stelle steht jedoch der praktische Zweck im Vordergrund; die Aufgabe, die sich in so engem Rahmen allein behandeln läßt, kann nur dahin gehen, auf die einfachste Weise zum Entwerfen richtiger Bilder zu gelangen. Demgemäß haben wir die Lage der Gegenstände zu den Projektionsebenen stets so angenommen, daß ihre zeichnerische Herstellung so leicht wie möglich ausfällt, haben uns überdies auf Aufgaben einfacherer Art beschränkt, und die übrigen Probleme nur in aller Kürze gestreift.