Ich beginne mit Punkt, Gerade und Ebene und ihren gegenseitigen Beziehungen. Zweierlei kommt hier in Betracht. Erstens sind die Eigenschaften der einzelnen Figuren zu entwickeln; zweitens kann es sich darum handeln, Zeichnungen und Konstruktionen für gegebene geometrische Gebilde herzustellen.

1. Die Gerade. Das erste unmittelbar ersichtliche Resultat lautet, daß zwei beliebig in den Projektionsebenen π₁ und π₂ angenommene Geraden g₁ und g₂ stets die Projektionen einer eindeutig bestimmten Raumgeraden g darstellen (Fig. 40). Sie ist Schnittlinie der beiden Ebenen, die man durch g₁ und g₂ senkrecht zu π₁ und π₂ konstruiert. Diese beiden Ebenen heißen auch projizierende Ebenen der Geraden g; wir werden sie durch γ₁ und γ₂ bezeichnen.

Jede Gerade g ist durch zwei Punkte bestimmt; man kann hierzu insbesondere ihre Schnitte mit den Projektionsebenen wählen, die wir wieder ihre Spuren nennen und jetzt durch G₁ und G₂ bezeichnen wollen (Fig. 41). Da G₁ in π₁ liegt, so fällt die zweite Projektion von G₁ auf die Achse a; sie möge G₁₀ heißen.51 Ebenso fällt die erste Projektion von G₂ auf die Achse (Fig. 42); sie heiße G₂₀. Daher sind G₁G₂₀ und G₂G₁₀ die Projektionen der Geraden.

Hieraus ergibt sich unmittelbar die Lösung der Aufgabe, die Spuren einer gegebenen Geraden zu zeichnen, deren Projektionen g₁ und g₂ gegeben sind. Man hat nur ihre Schnittpunkte mit der Achse zu konstruieren und in ihnen die Lote zu errichten; sie schneiden g₁ und g₂ in den Spurpunkten.

Wir betrachten endlich die Projektionen einiger Geraden ausgezeichneter Lage. Man erkennt unmittelbar die Richtigkeit folgender Tatsachen:

Ist g zur Achse parallel, so sind auch g₁ und g₂ zur Achse parallel.

Ist g zur Grundrißebene π₁ parallel, so ist g₁ zu g parallel, während g₂ zur Achse parallel ist; analog ist es, wenn g zu π₂ parallel ist.

Die Grundrißprojektion einer Vertikalen v reduziert sich auf einen Punkt, nämlich auf ihre Spur in π₁, während v₂ zur Achse senkrecht ist. Analog steht die erste Projektion einer auf π₂ senkrechten Geraden n auf der Achse senkrecht, während sich n₂ auf die Spur von n in π₂ reduziert.

2. Die Ebene. Eine Ebene kann entweder als begrenztes Flächenstück oder aber als unbegrenztes Raumgebilde in Frage kommen. Im ersten Fall sind die Projektionen des Flächenstücks durch die Projektionen seiner Begrenzung unmittelbar gegeben.

Um im zweiten Fall die Ebene ε zeichnerisch zu bestimmen, genügt es, ihre Schnittlinien mit den Projektionsebenen zu kennen (Fig. 43 und 44). Wir nennen sie ihre Spuren und bezeichnen sie durch E₁ und E₂52 . Es ist klar, daß sie sich auf der Achse schneiden, und zwar in dem Punkt, der zugleich Schnittpunkt der drei Ebenen π₁, π₂, und ε ist. Wir bezeichnen ihn durch E₀. Auch ist ersichtlich, daß zwei beliebige, sich auf der Achse schneidende Geraden E₁ und E₂ stets Spuren einer eindeutig durch sie bestimmten Ebene sind.

Als ausgezeichnete Lagen einer Ebene haben wir solche zu betrachten, die zu einer Projektionsebene oder zur Achse parallel oder senkrecht liegen; über sie ergibt sich leicht das Folgende:

Ist die Ebene ε zur Grundrißebene γ parallel, so verschwindet E₁ ins Unendliche, und E₂ ist zur Achse a parallel. Analog ist es, wenn ε zur Ebene β parallel ist.

Steht ε auf der Grundrißebene senkrecht, so ist E₂ auf der Achse senkrecht, und die Gerade E₁ liefert mit der Achse den Neigungswinkel von ε und β (Fig. 45 und 46).

Ist ε zur Aufrißebene senkrecht, so ist E₁ auf a senkrecht, während E₂ mit a den Neigungswinkel von ε und β bestimmt.

Steht ε auf der Achse a senkrecht, so sind E₁ und E₂ auf a senkrecht, beide Schnittlinien liegen also in einer Geraden.

Ist endlich ε zur Achse parallel, so sind auch E₁ und E₂ zur Achse a parallel.

3. Punkt und Gerade. Liegt ein Punkt P auf der Geraden g, so liegt die Projektion P₁ auf g₁ und ebenso P₂ auf g₂ was der Vollständigkeit halber erwähnt werden möge.

Wird P₁ auf g₁, aber P₂ nicht auf g₂ angenommen, so heißt dies nur, daß P in der projizierenden Ebene γ₁ enthalten ist, die durch g₁ geht und auf der ersten Projektionsebene π₁ senkrecht steht (Fig. 40). Analog ist es, wenn P₂ auf g₂, aber P₁ nicht auf g₁ liegt.

4. Zwei sich schneidende Geraden. Ist P Schnittpunkt zweier Geraden g und f, so müssen sich (Fig. 47) die ersten Projektionen g₁ und f₁ in P₁ schneiden, ebenso g₂ und f₂ in P₂. Die Verbindungslinie der Schnittpunkte (g₁,f₁) und (g₂,f₂) kreuzt daher die Achse senkrecht. Hierauf ist Bedacht zu nehmen, wenn die Projektionen zweier sich schneidender Geraden gezeichnet werden sollen. Beispielsweise können g₁,f₁ und g₂ beliebig gewählt werden; damit ist P₁ = (g₁,f₁) bestimmt, also auch der Punkt P₂ auf g₂ und durch ihn kann f₂ noch beliebig gezeichnet werden53 .

Ein besonderer Fall ist der, daß die beiden Geraden in eine Ebene fallen, die auf einer Projektionsebene senkrecht steht. Ist dies z. B. die Grundrißebene, so sind g₁ und f₁ identisch. Die Projektionen g₂ und f₂ liefern dann in ihrem Schnittpunkt (g₂, f₂) die Projektion P₂, woraus sich weiter P₁ auf g₁ = f₁ ergibt.

Sei endlich ε die durch g und f bestimmte Ebene. Ein sie darstellendes Flächenstück (Viereck) ergibt sich unmittelbar, indem man auf g und f die Punkte G', G'' und F', F'' beliebig annimmt. Um ferner die Spur von ε zu zeichnen, beachte man, daß wenn eine Gerade g in einer Ebene ε liegt, die Spuren von g auf den Spuren von ε (Fig. 48) liegen.

Man erhält daher in den Geraden F₁G₁ und F₂G₂ die gesuchten Spuren E₁ und E₂.

5. Zwei sich schneidende Ebenen. Schneiden sich die Ebenen ε und δ in der Geraden g, so sind (Fig. 49) die Spuren G₁ und G₂ von g mit den Punkten identisch, in denen die Spuren E₁, D₁ und die Spuren E₂, D₂ einander schneiden. Sind also ε und δ durch ihre Spuren gegeben, so können die Projektionen ihrer Schnittlinie g gemäß § 8 unmittelbar gezeichnet werden. Man hat von den Schnittpunkten (E₁, D₁) und (E₂, D₂) die Lote auf die Achse zu fällen und deren Fußpunkte mit den Spuren zu verbinden.

6. Eine Gerade in einer Ebene. Um die Projektionen einer Geraden g zu zeichnen, die in einer Ebene ε liegt, kann eine dieser beiden Projektionen beliebig angenommen werden; die andere ist bestimmt. Wird nämlich g₁ beliebig gewählt, so wird damit festgesetzt, daß g in der durch g₁ gehenden projizierenden Ebene γ₁ liegt (Fig. 40), also Schnitt von γ₁ und ε ist. Durch g₁ ist also g und damit auch g₂ bestimmt. Analog ist es, wenn man g₂ beliebig wählt.

Um die zweite Projektion g₂ zu zeichnen, haben wir wieder zu unterscheiden, ob die Ebene ε durch ihre Spuren oder als begrenztes Flächenstück gegeben ist. Im ersten Fall kann man folgendermaßen verfahren (Fig. 50). Da, wie oben erwähnt, die Spuren von g auf den Spuren von ε liegen, erhält man im Schnitt von g₁ mit E₁ die Spur G₁ von g; errichtet man dann im Schnitt von g₁ mit der Achse das Lot, so erhält man in seinem Schnitt mit der Spur E₂ die Spur G₂ von g und damit auch g₂. Wenn dagegen die Ebene als begrenztes Flächenstück Φ gegeben ist, und Φ₁ und Φ₂ dessen Projektionen sind, so zeichne man wieder (Fig. 51) g₁ in π₁ beliebig, und hat sofort in den Schnittpunkten A₁ und B₁ von g₁ mit Φ₁ die ersten Projektionen der Schnittpunkte von g mit Φ und daraus in bekannter Weise die zweiten Projektionen, also auch die Gerade g₂.54

7. Ein Punkt in einer Ebene. Soll ein in einer Ebene ε liegender Punkt gezeichnet werden, so kann wieder eine Projektion beliebig angenommen werden; es sei P₁. Um P₂ zu zeichnen, benutzt man am besten eine in ε liegende Gerade g, die durch P geht. Man nehme also (Fig. 52) die Projektion g₁ so an, daß sie durch P₁ geht, konstruiere gemäß 6. die Projektion g₂ und erhält auf ihr gemäß 3. die Projektion P₂.55

8. Kreuzungspunkt einer Geraden mit einer Ebene. Die Bestimmung des Kreuzungspunktes K einer gegebenen Geraden g mit einer gegebenen Ebene ε ist die wichtigste Aufgabe, die hier zu erörtern ist. Wir lösen sie, indem wir sie auf die Aufgabe 4. zurückführen, also eine zweite durch den Punkt K gehende Gerade zu Hilfe nehmen. Wir wählen dazu am besten die Schnittlinie f von ε mit der projizierenden Ebene γ₁; die auf π₁ längs g₁ senkrecht steht. Für sie ist gemäß 4. f₁ = g₁; es handelt sich also nur noch darum, die zweiten Projektionen dieser Geraden f zu konstruieren.

Wir betrachten zunächst den Fall, daß ε als begrenztes Flächenstück Φ gegeben ist. Da f₁ = g₁ ist, hat man in den Schnittpunkten von g₁ mit Φ₁ zugleich die ersten Projektionen der Schnittpunkte von f mit Φ, und da ihre zweiten Projektionen auf Φ₂ liegen, so ist damit auch f₂ zeichnerisch bestimmt.

Ist z. B. Φ ein Parallelogramm ABCD, so hat man (Fig. 53) die Schnittpunkte P₁ und Q₁ von g₁ mit A₁B₁C₁D₁ zu zeichnen, sodann auf A₂B₂C₂D₂ die zweiten Projektionen P₂ und Q₂, und dann den Schnittpunkt K₂ von g₂ mit P₂Q₂ = f₂. Aus ihm erhält man endlich gemäß 3. auch den Punkt K₁ auf g₁.

Ist dagegen die Ebene ε durch ihre Spuren gegeben, so konstruiere man (Fig. 54) zunächst die Spuren von γ₁; ihre erste Spur C₁ ist gemäß 4. ebenfalls mit g₁ identisch, ihre zweite C₂ ist zur Achse a senkrecht. Die Projektion f₂ ergibt sich nunmehr gemäß 5., indem man f als Schnitt von ε und γ₁ ansieht; es ist also F₁ = (C₁,E₁) und F₂ = (C₂,E₂).

Übrigens wird man es meist nur mit dem ersten Fall zu tun haben. Um z. B. ein Parallelepipedon zu zeichnen, das von einer Geraden gekreuzt wird, können wir folgendermaßen verfahren. Die beiden Flächen, in denen die Kreuzung erfolgen soll, wählen wir beliebig aus, es seien (Fig. 55) ABCE und ABDF. Wir zeichnen dann am einfachsten in A₁B₁D₁F₁ irgendeine Gerade, z. B. die Diagonale B₁D₁, nehmen auf ihr K₁ beliebig an und zeichnen K₂ auf B₂D₂. Ebenso verfährt man mit den Projektionen A₁B₁C₁E₁ und A₂B₂C₂E₂. Damit hat man auch g₁ und g₂ als Verbindungslinien der Kreuzungspunkte.