Dies geschieht durch Grundriß und Aufriß. Ähnlich wie in der analytischen Geometrie gehen wir von zwei zueinander senkrechten Koordinatenebenen aus, auf die wir alle Punkte des Raumes der Lage nach beziehen. Sind P₁ und P₂ die Projektionen von P in diesen Ebenen (vgl. Fig. 27, S. 59), so ist P eindeutig bestimmt, wenn die Lage von P₁ und P₂ gegeben ist, und zwar als Schnittpunkt der beiden in P₁ und P₂ auf diesen Ebenen errichteten Lote. Die Ebenen sollen Projektionsebenen heißen und durch π₁ und π₂ bezeichnet werden. Die eine denken wir uns wieder horizontal und nennen sie Grundrißebene oder erste Projektionsebene, die andere, die vertikal ist, nennen wir Aufrißebene oder zweite Projektionsebene. Ihre Schnittlinie nennen wir wieder Achse und bezeichnen sie durch a. Wird jeder Punkt und jede Gerade einer Raumfigur Σ auf diese beiden Ebenen orthogonal projiziert, so entsteht in der Grundrißebene der Grundriß oder die Grundrißprojektion, in der Aufrißebene der Aufriß oder die Aufrißprojektion. Die Grundebene γ und die Bildebene β stellen ein Paar solcher Ebenen dar.

Da Grundriß und Aufriß Parallelprojektionen sind, so gelten für sie alle Sätze, die wir am Schluß von § 8 für solche Projektionen abgeleitet haben. Sie können daher auch selbst als geometrische Bilder räumlicher Objekte gelten, und kommen auch vielmals als solche in Betracht. Hier soll jedoch wesentlich nur ihre Verwendung für die zeichnerische Herstellung des perspektivischen Bildes in der Bildebene β erörtert werden.

Wir denken uns dazu in gewohnter Weise die Grundrißebene um. die Achse in die Aufrißebene umgelegt, und leiten zunächst eine elementare, aber grundlegende Eigenschaft für die so entstehende Figur ab. Sie beruht darauf, daß die Ebene der drei Punkte PP₁P₂ auf der Achse a senkrecht steht; ist also P₀ ihr Schnitt mit a, so ist PP₁P₀P₂ ein Rechteck. Bei der Umlegung der Grundrißebene bleibt daher P₀P₂ zur Achse senkrecht, und es fallen deshalb P₁, P₀, P₂ nach erfolgter Umlegung in eine Gerade (Fig. 35); d. h.:

I. Die Verbindungslinie der beiden Projektionen P₁ und P₂ schneidet die Achse a senkrecht.40

Liegt P insbesondere in der Grundrißebene, so ist P mit P₁ identisch, während P₂ auf P₀ fällt; ebenso fällt P₁ in P₀, falls P in der Aufrißebene liegt, also mit P₂ identisch ist.41

In den einfachsten Fällen kann die Herstellung von Grundriß und Aufriß ohne weiteres ausgeführt werden. Dies zeigen folgende Beispiele:

1. Grundriß und Aufriß einer quadratischen Pyramide zu zeichnen, deren Grundfläche in der Grundebene steht. Der Grundriß besteht (Fig. 36) aus dem Quadrat A₁B₁C₁D₁ und seinen sich in O₁ schneidenden Diagonalen, die die ersten Projektionen der Kanten darstellen. Im Aufriß fallen A₂, B₂, C₂, D₂ in die Achse, während die Spitze O₂ auf der durch O₁, gehenden Vertikalen beliebig angenommen werden kann.

2. Grundriß und Aufriß eines regulären Oktaeders so zu zeichnen (Fig. 37), daß eine Hauptdiagonale auf der Grundrißebene senkrecht steht. Sei ABCDEF das Oktaeder und AF diese Hauptdiagonale.

Wir können das Oktaeder als eine Doppelpyraramide mit der Grundfläche BCDE und der Höhe AF betrachten und erkennen sofort, daß der Grundriß aus dem zu BCDE kongruenten Quadrat B₁C₁D₁E₁ und seinen Diagonalen besteht; im Mittelpunkt des Quadrates fallen A₁ und F₁ zusammen. Die Lage von B₁C₁D₁E₁ in der Grundebene wählen wir beliebig.

Um die Aufrißprojektion zu zeichnen, wollen wir zunächst festsetzen, daß der Punkt A in der Grundebene enthalten ist; dann fällt A₂ auf die Achse a. Da die Höhe AF zur Aufrißebene parallel ist, so ist A₂F₂ = AF; damit ist auch der Punkt F₂ bestimmt. Endlich fallen die Projektionen B₂, C₂, D₂, E₂ sämtlich in eine zur Achse a parallele Gerade, die A₂F₂ halbiert.42

3. Ein Parallelepipedon beliebiger Stellung in Grundriß und Aufriß zu zeichnen.

Wir haben zunächst zu überlegen, wie man die räumliche Lage eines Parallelepipedons überhaupt festlegt. Man kann dazu einen Punkt A des Raumes und drei von ihm ausgehende Kanten AB, AC, AD beliebig annehmen; aus ihnen entsteht das Parallelepipedon durch bloßes Ziehen von Parallelen. Handelt es sich also nur darum, irgendein Parallelepipedon zu zeichnen — und dies soll hier der Fall sein — so kann man (Fig. 38) die Projektionen A₁, B₁, C₁, D₁ und A₂, B₂, C₂, D₂ beliebig wählen (naturgemäß in Übereinstimmung mit Satz I); die Projektionen der übrigen Punkte ergeben sich aus ihnen durch Ziehen der noch fehlenden Parallelen, wie die Figur es erkennen läßt.

Um nun aus Grundriß und Aufriß in der Ebene β das Bild Σ' einer Raumfigur Σ zu zeichnen, treffen wir zunächst die naheliegende Festsetzung, daß die Bildebene β zugleich als Aufrißebene und die Grundebene γ als Grundrißebene betrachtet werden sollen. Grundlinie, Horizont und Distanzpunkte betrachten wir wieder als gegeben. Ferner genügt es, die Herstellung des Bildpunktes P' für einen beliebigen Punkt P zu leisten, und zwar naturgemäß wieder unter der Voraussetzung, daß wir die Grundrißebene in die Aufrißebene hineingedreht haben. Die Aufgabe, die zu lösen ist, ist also die, aus dem in der Zeichnungsebene gegebenen Grundrißpunkt P₁ und dem ebenso gegebenen Aufrißpunkt P₂ den Bildpunkt P' zu finden. Hierzu hat man sich aber nur zu vergegenwärtigen, daß die Lote PP₁ und PP₂ eine Gerade v und eine Gerade n im Sinne von § 9 darstellen (Fig. 26), und daß die hier benutzten Punkte P₁ und P₂ mit den dort eingeführten identisch sind. Infolgedessen überträgt sich auch die dort unter III gegebene Regel auf den vorliegenden Fall; sie vereinfacht sich noch dadurch, daß hier der Punkt P₂ bereits bekannt ist. Also folgt (Fig. 27).

II. Um aus der Grundrißprojektion P₁ und der Aufrißprojektion P₂ eines Punktes P den in der Aufrißebene liegenden Bildpunkt P' zu erhalten, zeichne man zunächst gemäß § 3 den Bildpunkt P₁' von P₁ ziehe durch ihn eine Vertikale und verbinde P₂ mit dem Augenpunkt N, so ist der Schnittpunkt beider Geraden der Punkt P'.

Einen zweiten nützlichen Satz erhalten wir, indem wir an den Satz V von § 9 anknüpfen. Er betrifft die Zeichnung einer Figur PQ..., die in einer zur Grundebene parallelen Ebene γ' enthalten ist, und fließt unmittelbar aus der Erwägung, daß die dort benutzte Spur d der Ebene γ' diejenige Gerade ist, auf der die Aufrißprojektionen P₂, Q₂... liegen. Sind also wieder E und F die Fluchtpunkte zweier horizontalen Richtungen e und f, so folgt für die Konstruktion der Bilder solcher Punkte folgende Regel:

III. Durch die Grundrißprojektionen P₁, Q₁... der Punkte P, Q... lege man je eine Gerade e und f, wie in § 9, übertrage deren Schnittpunkte mit der Achse a lotrecht auf die Gerade, die die Aufrißprojektionen P₂, Q₂... enthält, und verbinde die so entstehenden Punkte mit den Fluchtpunkten E und F, so liefern diese Geraden in ihren bezüglichen Schnittpunkten die Bildpunkte P', Q'...

Als Beispiel behandeln wir die Zeichnung einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche und quadratischem Sockel; die Grundfläche falle in die Grundrißebene γ.

Sei ABCD die Grundfläche und EFGH die obere Fläche des Sockels, UV WZ die untere Fläche der Pyramide und O ihre Spitze. Dann besteht der Grundriß (Fig. 39) aus den beiden ineinander liegenden Quadraten A₁B₁C₁D₁ und U₁V ₁W₁Z₁, und den Diagonalen des inneren, und zwar ist A₁B₁C₁D₁ zugleich die Grundrißprojektion des Quadrats EFGH. Die Lage dieser Quadrate in der Grundrißebene haben wir beliebig gewählt; man beachte aber, daß damit die Stellung der Pyramide zur Bildebene festgelegt ist. Der Aufriß ergibt sich unmittelbar auf Grund davon, daß die zweiten Projektionen der Quadrate in je eine zur Achse a parallele Gerade fallen; die Höhe des Sockels und der Pyramide haben wir beliebig angenommen43 .

Um nun das Bild der Pyramide in der Bildebene β zu zeichnen, nehme man den Horizont h und die Fluchtpunkte E und F der Quadratseiten beliebig an44 , und konstruiere zunächst das Bild A'B'C'D' der Grundfläche ABCD gemäß § 3. Dann zeichne man gemäß dem vorstehenden Satz II die Punkte E', F', G', H' und ebenso die Punkte U', V ', W', Z'. Den Punkt O' haben wir jedoch mittels des Augenpunktes N gemäß Satz I konstruiert. Diesen müssen wir aber erst bestimmen. Wir erhalten ihn z. B. als Fluchtpunkt der Geraden B₁B₂, indem wir also B₂B' mit dem Horizont h zum Schnitt bringen. Die von ihm ausgehende Gerade NF₂ liefert für ihn eine überbestimmung.45

Analog hat man zu verfahren, wenn man das perspektivische Bild zu den Figuren 37 und 38 zeichnen will.46 Im Fall des Parallelepipedons kann man die Konstruktion auch dadurch etwas kürzen, daß man zunächst die Bilder zweier parallelen Geraden, z. B. diejenigen von AB und CE, bestimmt; man erhält dann ihren Fluchtpunkt und kann ihn für die Zeichnung der anderen ihnen parallelen Geraden benutzen. Ist z. B. das Bild D' des Punktes D gefunden, und soll der Bildpunkt F' gezeichnet werden, so hat man nur den Bildpunkt F₁' von F₁ gemäß § 3 zu zeichnen, in ihm eine Vertikale zu errichten und dann den Punkt D' mit dem genannten Fluchtpunkt zu verbinden, so stellt der Schnitt der Vertikalen mit dieser Verbindungslinie den Punkt F' dar.47

Ich schließe mit einigen zeichnerischen Bemerkungen.

1. Erstens kann man fragen, welche der obigen Zeichnungsvorschriften in den einzelnen Fällen am besten anzuwenden ist. Hierauf kann, wie auch sonst in der Kunst, eine allgemeine Antwort nicht gegeben werden. Jeder wird so zeichnen, wie es ihm am bequemsten scheint und am geläufigsten ist; auch wird man zweckmäßig mit überbestimmungen operieren.

2. In den Figuren 36, 37 und 38 sind einige Linien stark, einige nur gestrichelt oder überhaupt nicht gezeichnet. Die ersten sollen den Kanten entsprechen, die man sieht, die anderen denen, die durch die Körper selbst verdeckt sind, vorausgesetzt, daß man sie als undurchsichtig betrachtet. Dies geschieht, damit man die räumliche Stellung der dargestellten Gegenstände möglichst leicht und sicher beurteilen kann. Welche Linien stark oder gestrichelt zu zeichnen sind, hängt davon ab, wo sich der Gegenstand Σ und das Auge des Beschauers befinden.

Da sich der Punkt S₀, für den das in der Aufrißebene entstehende perspektivische Bild hergestellt wird, vor der Aufrißebene befindet, und der Gegenstand Σ hinter der Aufrißebene, so wird man von S₀ aus diejenigen Punkte des Gegenstandes Σ sehen können, die der Aufrißebene am nächsten liegen; dies sind diejenigen, deren Grundrißprojektionen von der Achse den kleinsten Abstand haben.48 Sie sollen auch im Aufriß stark gezeichnet werden. Alle Teile des Gegenstandes, die für das perspektivische Bild sichtbar sind, sind daher aus dem Aufriß unmittelbar zu entnehmen.49

Dies ist an den einzelnen Figuren leicht zu erkennen. Beispielsweise ist in Fig. 38 der Punkt A derjenige, dessen Grundrißprojektion den kleinsten Wert hat; er liegt deshalb der Aufrißebene am nächsten, und die von ihm ausgehenden Kanten AB, AC, AD nebst den durch sie bestimmten Flächen sind von S₀ aus sichtbar. Sie sind daher stark gezeichnet. Dagegen ist der Punkt H nebst den von ihm ausgehenden Kanten durch den Körper verdeckt. Ebenso ist in Fig. 37 C die Ecke, die man von S₀ aus sieht, während E verdeckt ist.50

Was den Grundriß betrifft, so zeichnen wir ihn immer so, daß wir den Gegenstand von oben betrachten; es sind also diejenigen Teile des Gegenstandes sichtbar, die am weitesten von der Grundrißebene entfernt sind, deren Aufrißprojektionen also den größten Abstand von der Achse haben. In Fig. 38 sind dies die von dem Punkt F ausgehenden Kanten und die durch sie bestimmten Flächen.