Um das ebene Bild einer räumlichen Figur Σ zeichnerisch herzustellen, denken wir uns zunächst wieder die Bildebene β durch Drehung um die Achse in die Grundebene γ hineingedreht, in derselben Weise wie in § 3; auch nehmen wir wieder die Grundlinie a, sowie die Distanzpunkte L und R als gegeben an. Alle in § 2 und 3 abgeleiteten Regeln und Sätze bleiben dann unmittelbar für denjenigen Teil der Figur Σ bestehen, der in der Grundebene γ enthalten ist. Also folgt als erstes Resultat:

I. Diejenige Teilfigur von Σ, die in der Grundebene enthalten ist, ist nach den Vorschriften von § 3 zeichnerisch bestimmbar.

Da die Grundebene γ in § 8 beliebig gewählt werden konnte, überträgt sich dies sofort auf jede horizontale Ebene, vorausgesetzt, daß man mit ihr ebenso operiert, wie mit der Grundebene γ. Dazu ist offenbar notwendig und hinreichend, daß die Schnittlinie dieser Ebene mit β (und selbstverständlich die in ihr enthaltene Teilfigur) bekannt ist. Nennen wir sie ihre Spur, so folgt:

II. Jede in einer horizontalen Ebene liegende Teilfigur von Σ kann gemäß § 3 gezeichnet werden, sobald ihre Spur in β bekannt ist.

Beachten wir noch, daß jede Vertikale des Gegenstandes Σ gemäß § 8 im Bilde vertikal bleibt, so können wir bereits einfachere Beispiele erledigen. Ein solches bilden die nebenstehend gezeichneten Würfel (Fig. 26), von denen zwei bis an die Bildebene heranreichen. Die in der Bildebene liegenden Flächen ABCD und BCFE stellen sich daher in ihrer natürlichen Größe dar. Die Ecken S, T, U, V des oberen Würfels sollen in die Mitten der Quadrate fallen, auf denen er steht.

In Anlehnung an § 3 (Fig. 10) können wir die Zeichnung in diesem Fall sogar direkt ausführen, ohne die in der Grundebene und den andern Horizontalebenen vorhandenen Teilfiguren zu benutzen. Wir zeichnen zunächst das der Grundebene entsprechende Bild in der gleichen Weise wie bei Figur 10.36 Gemäß Satz II verfahren wir dann ebenso mit der Ebene, die die Bildebene in der Geraden DCF schneidet. Wir verbinden also die Punkte C, D, F mit L, N und R, ziehen durch die Schnittpunkte die Parallelen zur Achse, und erhalten so das Bild der oberen vier Würfelflächen; übrigens kann man für ihre Zeichnung auch den Umstand benutzen, daß je zwei Punkte der oberen und der unteren Flächen auf einer Vertikalen liegen.37 Da die Mitten S, T, U, V dieser Würfelflächen zugleich vier Ecken des obersten Würfels sind, hat man nur noch dessen obere Fläche WXY Z zu zeichnen. Deren Ecken liegen zunächst wieder auf den durch S, T, U, V gehenden Vertikalen. Wir bestimmen nun noch die Bildgeraden der in dieser Fläche enthaltenen Diagonalen WY und XZ, deren Fluchtpunkte R und L sind. Dazu sind nur ihre Spuren P und Q zu ermitteln; wir erhalten sie unmittelbar, indem wir die Kanten AD und EF um sich selbst bis P und Q verlängern. Die so bestimmten Geraden liefern in ihrem Schnitt mit den eben genannten Vertikalen bereits die Punkte W, X, Z und Y . Eine Überbestimmung liegt darin, daß W, X und Z, Y auf je einer Parallelen zur Achse liegen.

Ähnlich kann man auch eine Reihe von Würfeln zeichnen, die so hinter einander liegen, daß ihre Grundflächen ein Rechteck bilden.

Wir erörtern nun die allgemeine Frage, wie wir das Bild P' eines gegebenen Raumpunktes P in β zu zeichnen haben. Dies kann offenbar auf verschiedene Art geschehen, je nach der Wahl der Geraden, als deren Schnitt wir ihn betrachten. Drei Fälle wollen wir besonders hervorheben:

1. Zunächst betrachten wir ihn als Schnittpunkt einer zu γ senkrechten Geraden v und einer zu β senkrechten Geraden n (Fig. 27). Sei P₁ der Schnitt von v mit γ, P₂ der von n mit β, und P₁P₀ das von P₁ auf die Grundlinie gefällte Lot, so bilden die vier Punkte PP₁P₀P₂ ein Rechteck, und es ist

Diese einfache Tatsache läßt uns leicht erkennen, daß wir die Bildgeraden v' und n' und damit auch den Bildpunkt P' von P zeichnen können, sobald uns seine Projektion P₁ und die Höhe PP₁ gegeben sind (Fig. 28).
Fig 28 Die Bildgerade v' ist nämlich, erstens senkrecht zur Grundlinie a (nach § 8) und zweitens geht sie durch den Bildpunkt P₁' von P₁, der gemäß I bestimmbar ist; sie ist also selbst zeichnerisch bestimmt. Ferner geht die Gerade n' erstens durch den Augenpunkt N und zweitens durch den Punkt P₂, der ihr Durchdringungspunkt mit β ist, und infolge der Relation 1) ebenfalls zeichnerisch bestimmt ist. Damit ist die Behauptung bewiesen. Wir erhalten also folgende Konstruktionsvorschrift.

III. Um das Bild eines Punktes P zu zeichnen, dessen Projektion P₁ in der Grundebene und dessen Höhe PP₁ über der Grundebene bekannt sind, zeichne man gemäß § 3 den Bildpunkt P₁' von P₁ ziehe durch P₁' die Gerade v' senkrecht zur Grundlinie, bestimme auf dem von P₁ auf die Grundlinie gefällten Lot P₁P₀ den Punkt P₂, so daß P₀P₂ = PP₁ ist, und verbinde endlich P₂ mit dem Augenpunkt N, so schneidet diese Verbindungslinie n' die Gerade v' im Bildpunkt P'.

Ein Beispiel einfachster Art ist das folgende. Eine quadratische Säule von gegebener Höhe zu zeichnen, deren Grundfläche in der Grundebene liegt (Fig. 29). Sei ABCD die untere und EFGH die obere Fläche unserer Säule; wir wollen sie so annehmen, daß AB der Achse parallel laufe. Wir zeichnen dann gemäß § 3 das Bild A'B'C'D', errichten in A' eine Vertikale v', fällen von A das Lot AA₀ auf die Achse, verlängern es um die gegebene Höhe bis A₂, verbinden A₂ mit dem Augenpunkt N, und erhalten im Schnitt dieser Verbindungslinie mit v' den Bildpunkt E'. Ebenso kann man die Punkte F', G' und H' zeichnen. Man beachte zugleich, daß E'F' und G'H' zur Achse parallel sind; man kann also G' und H' einfacher als Schnitt dieser Parallelen mit den in C' und D' errichteten Vertikalen finden38 .

2. Enthält die Figur Σ Scharen von parallelen horizontalen Geraden, die nicht auf der Bildebene β senkrecht stehen, so liegt es nahe, sie in der gleichen Weise zu benutzen, wie die Geraden n; analog zu dem, was wir am Schluß von § 2 ausgeführt haben. In der Tat läßt sich die obige Regel ohne weiteres auf alle Richtungen verallgemeinern, die zur Grundebene parallel sind. Man betrachte also jetzt (Fig. 30) den Punkt P als Schnittpunkt einer Geraden v mit einer zur Grundebene parallelen Geraden f; P₁ sei wieder der Schnitt von v mit γ, und F₂ derjenige von f mit β. Zieht man nun in γ durch P₁ eine zu f parallele Gerade f₁ und nennt ihren Schnitt mit der Grundlinie F₀, so ist PP₁F₀F₂ wieder ein Rechteck, also PP₁ = F₂F₀. Alles übrige ergibt sich wie oben. Mithin ergibt sich folgende Regel (Fig. 31).

IV. Ist der Fluchtpunkt F einer zur Grundebene parallelen Geraden f bekannt, so kann man das Bild eines Punktes P, dessen Projektion P₁ in der Grundebene und dessen Höhe PP₁ über der Grundebene bekannt sind, wie folgt konstruieren. Man zeichne gemäß § 3 den Bildpunkt P₁' von P₁ ziehe durch P₁' die Gerade v' senkrecht zur Grundlinie und durch P₁ eine zu f parallele Gerade f₁, errichte in ihrem Schnittpunkt F₀ mit der Grundlinie ein Lot F₀F₃ gleich P₁P, und verbinde F₃ mit dem Fluchtpunkt F von f, so schneidet diese Verbindungslinie die Gerade v' im Bildpunkte P'.

3. Eine dritte oft brauchbare Regel erhalten wir folgendermaßen. Sei e eine zweite horizontale Gerade, deren Fluchtpunkt E bekannt ist, so gilt das vorstehende auch für sie. Die beiden zu f und e zugehörigen Punkte F₂ und E₂ liegen daher auf einer zur Grundlinie parallelen Geraden, und zwar stellt diese Gerade den Durchschnitt von β mit der Ebene dar, die durch P parallel zur Grundebene verläuft. Daraus folgt sofort (Fig. 32):

Diesen Satz wird man besonders dann mit Vorteil anwenden, wenn es sich um die Zeichnung einer in der Ebene δ enthaltenen Teilfigur von Σ handelt. Man sieht leicht, daß die Art, in der wir die Figur 26 herstellten, bereits der in ihm enthaltenen Regel entspricht. Übrigens dienen die verschiedenen Möglichkeiten, die den Sätzen I, II, III entsprechen, der stets notwendigen zeichnerischen Überbestimmung.

In dieser Weise wollen wir folgende Aufgaben behandeln.

1. Einen parallelepipedischen Kasten darzustellen, dessen Grundfläche ABCD in der Grundebene enthalten ist; A₁B₁C₁D₁ sei die obere zu ABCD kongruente Fläche. (Figur 33.)

2. Einen auf der Grundfläche stehenden Tisch zu zeichnen. Auch hier wird am einfachsten mit den Fluchtpunkten der Tischkanten operiert; die Ausführung selbst ist aus der Figur unmittelbar zu entnehmen (Fig. 34).

3. Ähnlich zeichnet man auch einige nebeneinanderstehende sechseckige Säulen gegebener Höhe. Hier können zunächst die Fluchtpunkte zweier Sechseckseiten willkürlich gewählt werden.

Für alle diese Figuren hat man die in § 3 angegebenen Bemerkungen über die Kontrolle der Zeichnung zu beachten.39