Antw. 32 Bunders 52 vierk. roeden 91 vierk. ellen 50 vierk. palmen.
5. Iemand heeft een stuk weiland, in de gedaante als figuur 13, waarvan de grondlijn AB eene lengte heeft van 60 roeden; de lijn EF, welke met de grondlijn evenwijdig loopt, is 42 roeden lang; uit C heeft men eene loodlijn op AB neêrgelaten, snijdende EF in G. Als nu het stuk CG van de loodlijn 18 roeden en het stuk GD 24 roeden is, hoe veel bunders is dan dit weiland groot?
Antw. 16 Bunders 2 vierk. roeden.
6. Een landmeter moet een stuk bosch meten, in de gedaante van eenen vijfhoek ABCDE (fig. 14). Dewijl hij het van binnen niet doen kan, verlengt hij AE en DC, totdat zij in het punt F zamenkomen; insgelijks verlengt hij AB en DC, ontmoetende elkander in G. Nu meet hij de lijn AE = 13, EF = 3, ED = 5, FD = 4, DC = 10, CG = 6, BC = 8, BG = 5 en AB = 11 roeden. Bereken hieruit hoe groot het bosch is.
Antw. 1 Bunder 4 vierk. roeden.
7. Een moerassig stuk grond, dat van binnen niet begaanbaar is, moet gemeten worden. Het heeft de gedaante van eenen zeshoek ABCDEF (fig. 15) en is regthoekig in B. De landmeter wil hetzelve in eenen regthoek insluiten, en trekt, om dit te doen, door het punt F eene lijn KL, evenwijdig met BC, ontmoetende de verlengde AB in L; daarna trekt hij ook door het punt E eene lijn KI, evenwijdig met AB, totdat zij KL raakt; vervolgens verlengt hij BC totdat zij KI ontmoet; dit doet hij ook ED tot het punt G in de verlengde BC; eindelijk bepaalt hij de loodlijn GH, die uit G op BC valt. Nu bevindt hij AB = 30, AL = 10, LF = 17,5, FK = 12,5, KE = 8,5, EI = 31,5, IG = 15, CD = 20 en HG = 7 ellen lang te zijn. Hoe groot is dat stuk grond?
Antw. 7,531250 Vierk. roeden.
§ 1. Een cirkel is een plat vlak, omgeven door eene kromme lijn, welke in zich zelve terugkeert, en waarvan alle punten even ver van een en hetzelfde punt afstaan, hetwelk het middelpunt genoemd wordt. Zie figuur 16. De kromme lijn zelve wordt cirkelomtrek genoemd.
§ 2. De lijnen, die uit het middelpunt tot aan de punten A, B, C en D van den omtrek getrokken worden, noemt men stralen van den cirkel.
§ 3. Elke lijn (AB), die door het middelpunt getrokken wordt, en ter wederzijden door den omtrek bepaald is, noemt men eene middellijn van den cirkel.
§ 4. Een gedeelte AD van den omtrek heet cirkelboog, en de regte lijn AD, die de uiterste punten van dien cirkelboog vereenigt, koorde of pees van dien boog.
§ 5. Alle stralen en middellijnen van denzelfden cirkel zijn even lang.
§ 6. De loodlijn, welke uit het middelpunt van den cirkel of uit het midden van eenen boog op de koorde valt, die tot dien boog behoort, deelt deze koorde midden door.
§ 7. Wanneer in eenen cirkel twee koorden getrokken worden, die elkander snijden, dan zijn de deelen dezer koorden wederkeerig evenredig, dat is, de producten der deelen van elke koorde zijn even groot.
§ 8. Een cirkelsegment is een gedeelte van eenen cirkel, besloten tusschen eene koorde en den boog, die door de koorde onderspannen wordt.
§ 9. Het gedeelte van eenen cirkel, begrepen tusschen twee stralen en eenen cirkelboog, wordt cirkelsector genoemd.
§ 10. Elke lijn, die den cirkel doorsnijdt, wordt secans of snijlijn van den cirkel genoemd. De regte lijn, welke slechts één punt met den cirkel gemeen heeft, en dus denzelven alleen aanraakt, wordt tangens of raaklijn van den cirkel genoemd. De lijn, welke door eenig punt van den omtrek loodregt op den straal van dit punt getrokken wordt, is raaklijn aan den cirkel. Omgekeerd staat de raaklijn van eenig punt des omtreks loodregt op den straal, die door dit punt gaat.
§ 11. Wanneer, uit eenig punt van den omtrek des cirkels, eene loodlijn op de middellijn wordt nedergelaten, dan is dezelve middenevenredig tusschen de deelen, waarin zij die middellijn verdeelt.
§ 12. Indien in eenen cirkel twee koorden getrokken worden, die elkander regthoekig snijden, dan is de som der vierkanten van de deelen dier koorden gelijk aan het vierkant op de middellijn.
§ 13. Wanneer uit eenig punt buiten eenen cirkel twee lijnen getrokken worden, welke elk den omtrek in twee punten doorsnijden, dan zijn de stukken dezer snijlijnen, begrepen tusschen het gegeven punt en de vierpunten, waarin de cirkel gesneden wordt, wederkeerig evenredig. De producten der voorschrevene stukken zijn voor al de snijlijnen, die uit een zelfde punt buiten den cirkel voortkomen, even groot.
§ 14. Wanneer uit een punt buiten den cirkel twee regte lijnen getrokken worden, waarvan de eene den cirkel in eenig punt raakt en de andere denzelven snijdt, dan zal het kwadraat der raaklijn gelijk zijn aan den regthoek, die de lengte der geheele snijdende lijn heeft, en de breedte van het deel, hetwelk tusschen den cirkel en het genoemde punt bevat is.
§ 15. De middellijn van eenen cirkel staat tot zijnen omtrek als 100 : 314, volgens LUDOLF VAN KEULEN; als 113 : 355 volgens METIUS; als 7 : 22 volgens ARCHIMEDES. Doorgaans maakt men van deze laatste verhouding gebruik, omdat de getallen gemakkelijk in de bewerking zijn; wij geven echter de voorkeur aan de proportie van onzen beroemden landgenoot LUDOLF VAN KEULEN, welke dan ook in dit werkje gebezigd is.
§ 16. De inhoud van eenen cirkel is gelijk, aan den omtrek, vermenigvuldigd met den halven straal of als de straal tot de 2de magt, vermenigvuldigd met 3,14.
§ 17. De inhoud van eenen cirkel staat tot het kwadraat van deszelfs middelen als 157 : 200, volgens de verhouding van LUDOLF VAN KEULEN.
§ 18. De inhouden der cirkels zijn tot elkander in reden als de vierkanten der stralen of als de vierkanten der middellijnen.
§ 19. De inhoud van eenen cirkelsector is gelijk aan de lengte van den boog, vermenigvuldigd met den halven straal.
§ 20. De inhoud van een cirkelsegment wordt gevonden door van den inhoud des sectors, welke op denzelfden boog staat, den inhoud van den overeenkomstigen driehoek af te trekken.
§ 21. De hoek, welke in eenen halven cirkel staat, is regt. De hoeken, die op eenen boog, grooter of kleiner dan eenen halven cirkel, rusten, zijn scherp of stomp.
1. Als de middellijn eens cirkels 50 ellen is, hoe veel ellen heeft dan de cirkel in omtrek?
Antw. 157 Ellen.
2. Van eenen waterput, welke de gedaante heeft van eenen cirkel, bedraagt de omtrek 15 roeden 7 ellen; bereken hoe veel ellen de grootste breedte van dezen put bedraagt.
Antw. 50 Ellen.
3. Als de omtrek van eenen cirkel 6 roeden 2 ellen 8 palmen is, hoe lang is dan de straal?
Antw. 10 Ellen.
4. Als de straal van eenen cirkel 2 roeden 5 ellen is, hoe veel bedraagt dan de omtrek van denzelven?
Antw. 15 Roeden 7 ellen.
5. Hoe veel is de inhoud van den cirkel, als deszelfs middellijn 4 roeden is?
Antw. 12 Vierk. roeden 56 vierk. ellen.
6. Van eene cirkelvormige figuur heeft men den omtrek gemeten op 1 roede 8 ellen 8 palmen 4 duimen; men vraagt naar den inhoud?
Antw. 28 Vierk. ellen 26 vierk. palmen.
7. Van eenen cirkel is de inhoud 7 vierk. roeden 6 vierk. ellen 50 vierk. palmen; hoe lang is de radius?
Antw. 1 Roede 5 ellen.
8. Als de omtrek der Aarde bedraagt 5400 geographische of duitsche mijlen, hoe veel zulke mijlen zal dan derzelver dikte of middellijn bedragen?
Antw. 1719117/157 Mijl.
9. Men rekent ook den omtrek der Aarde op 7200 uren gaans; hoe veel uren zijn wij op de oppervlakte van het middelpunt verwijderd?
Antw. 114678/157 Uur.
10. Het rad van eenen kruiwagen heeft 5 palmen 2 duimen 5 strepen middellijn; hoe veel maal moet hetzelve omdraaijen om eenen afstand van 49 roeden 4 ellen 5 palmen 5 duimen af te leggen?
Antw. 300 Maal.
11. Twee plaatsen zijn zoo ver van elkander verwijderd, dat het wiel van eenen kruiwagen, welks diameter 5 palmen 2 duimen 5 strepen is, 3000 maal moet omdraaijen om den afstand af te leggen; men vraagt naar den afstand van die twee plaatsen.
Antw. 494 Roeden 5 ellen 5 palmen.
12. Als twee mannen elk met eenen kruiwagen, welks wielen 5 palmen en 7 palmen 5 duimen diameter hebben, eenen afstand van 369 roeden 7 ellen 3 palmen 5 duimen afleggen, hoe dikwijls moet dan elk wiel ronddraaijen?
Antw. Het grootste wiel 1570 maal en het kleinste 2355 maal.
13. Om den afstand tusschen twee plaatsen af te leggen, moeten de voorwielen van eenen wagen 2355 maal omloopen; hoe veel maal zullen de achterste wielen ronddraaijen, als de diameter van de voorste wielen 1 el en die van de achterste 1 el 5 palmen is?
Antw. 1570 Maal.
14. Van eenen wagen loopen de voorwielen 9 maal om tegen de achterwielen 6 maal; zoo nu de omtrek van de grootste wielen 4 ellen 7 palmen 1 duim is, hoe groot is dan de diameter van de kleinste?
Antw. 1 El.
15. Van twee raderen staan de middellijnen tot elkander als 6 tot 13; indien nu het eene rad door het andere bewogen wordt, hoe veel maal zal dan elk rad moeten rondloopen, eer dezelfde punten, welke elkander vóór het loopen ontmoeten, weder te zamen komen?
Antw. Het kleinste rad 13 en het grootste 6 maal.
16. Van eenen cirkel is de inhoud 63 vierkante ellen 58 vierkante palmen 50 vierkante duimen; men vraagt naar den omtrek.
Antw. 2 Roeden 8 ellen 2 palmen 6 duimen.
17. Een schaap is aan een touw geplaatst om te grazen. Na verloop van éénen dag het gras in de rondte afgegeten zijnde, maakt men het touw 3 ellen lang, zoodat het dier 11/4 maal zoo veel gronds ter beweiding heeft als den vorigen dag. Hoe lang is het touw den eersten dag geweest?
Antw. 2 Ellen.
18. Een boer wil een karnmolen laten maken, welks rad 3 ellen diameter moet hebben; op welke wijdte moet de timmerman de verdeeling maken, wanneer hij er 157 kammen in plaatsen wil?
Antw. Op 6 duimen.
19. Een kuiper heeft twee vaten gemaakt uit dezelfde soort van duigen, te weten: het eene vat uit 16 duigen, en het andere uit 12 duigen; als nu het grootste vat 5 vaten 76 kannen inhoud heeft, hoe veel vaten en kannen zal dan het kleinste kunnen bevatten?
Antw. 3 Vaten 24 kannen.
20. Als men in een koord van 4 duimen 12 ronde potlooden kan binden, hoe veel potlooden zal men dan kunnen binden in een koord, hetwelk eene lengte heeft van 6 duimen?
Antw. 27 Potlooden.
21. Er is een cirkel, welke zoo groot is als drie andere cirkels, wier middellijnen 6 palmen, 8 palmen en 1 el 2 palmen lang zijn; men vraagt naar den omtrek van dien grooten cirkel.
Antw. 4,90468 El.
22. Uit een punt van den omtrek eens cirkels is eene loodlijn, die 1 el lang is, op den straal getrokken, waar zij denzelven ontmoet op 7 palmen 5 duimen afstands van het middelpunt; hoe lang is de diameter van dezen cirkel?
Antw. 2 Ellen 5 palmen.
23. Binnen den omtrek eens cirkels is eene koord van 1 roede 3 ellen 8 palmen regthoekig door de middellijn getrokken; het kleinste gedeelte, dat door deze koord van de middellijn wordt afgesneden, is 1 el 8 palmen; hoe lang is de middellijn?
Antw. 2 Roeden 8 ellen 2 palmen 5 duimen.
24. Wanneer van de middellijn eens cirkels, door eene koord van 1 el 8 palmen, een stuk van 4 palmen wordt afgesneden, hoe lang is dan die middellijn, wetende dat de koorde de middellijn regthoekig snijdt, en dat het onbekende deel van den diameter het grootste is?
Antw. 2 Ellen.
25. Van eenen cirkel is de middellijn 2 palmen en de koord, welke dezelve regthoekig doorsnijdt, 1 palm 6 duimen; hoe lang is het kleinste stuk, dat door de koord van de middellijn wordt afgesneden?
Antw. 4 Duimen.
26. In eenen cirkel zijn twee koorden getrokken, welke elkander zoodanig snijden, dat de deelen van de eene 1 el 7 palmen en 9 palmen zijn; zoo nu het kleinste deel van de andere koorde 6 palmen is, hoe lang is dan derzelver grootste deel?
Antw. 2 Palmen 5 duimen 5 strepen.
27. Men heeft uit het middelpunt van eenen cirkel op eene koord, welke 6 ellen 4 palmen lengte heeft, eene loodlijn getrokken, welke 2 ellen 4 palmen lang is. Men vraagt naar den radius van dezen cirkel.
Antw. 4 Ellen.
28. De middellijn van eenen cirkel wordt door eene koord in twee deelen gedeeld, waarvan het eene deel 6 palmen en het andere deel 5 ellen 4 palmen is. Bereken hieruit de lengte van de koord.
Antw. 3 Ellen 6 palmen.
29. In eenen cirkel is eene koord getrokken, welke de middellijn in twee deelen deelt, waarvan het eene deel 3 ellen 2 palmen en het andere 2 roeden 2 ellen 4 palmen lang is. Indien men uit het eene uiteinde van de koord eene loodlijn op de middellijn neêrlaat, dan valt dezelve juist in het middelpunt van den cirkel. Men vraagt in welke deelen de koord is gedeeld?
Antw. Het kleinste deel is 4 ellen 4 palmen 8 duimen en het grootste 16 ellen.
30. Uit een punt buiten eenen cirkel heeft men twee lijnen getrokken, waarvan de eene den omtrek raakt en de andere in het middelpunt eindigt. Indien nu de lengte van de raaklijn 2 ellen 4 palmen en die van de andere lijn 4 ellen is, hoe lang is dan de middellijn van den cirkel?
Antw. 6 Ellen 4 palmen.
31. Uit een punt buiten den cirkel, welke 5 ellen 2 palmen middellijn heeft, is eene raaklijn getrokken, hebbende eene lengte van 1 el 9 palmen 5 duimen; men vraagt naar de lengte van de snijlijn, welke uit het genoemde punt tot aan het middelpunt van den cirkel kan getrokken worden.
Antw. 3 Ellen 2 palmen 5 duimen.
32. Er zijn twee cirkels, welke elkander in één punt raken; de middellijn van den grootsten cirkel is 2 roeden 4 ellen en die van den kleinsten 1 roede 6 ellen. Indien men nu eene lijn trekt, die beide cirkels aanraakt, vraagt men naar den afstand dezer raakpunten.
Antw. 1 Roede 9 ellen 5 palmen 9 duimen 6 strepen nagenoeg.
33. Men heeft uit een punt buiten den cirkel twee lijnen getrokken, waarvan de eene raaklijn aan den cirkel is, en de andere, door het middelpunt gaande, in den omtrek eindigt. Indien nu de raaklijn 1 roede 4 ellen 4 palmen lang is, en het stuk der snijdende lijn tusschen het punt en den omtrek des cirkels eene lengte heeft van 8 ellen 1 palm, hoe lang is dan de middellijn?
Antw. 1 Roede 7 ellen 5 palmen.
34. Indien men uit het middelpunt van eenen cirkel op eene koord, die in denzelven getrokken is, en eene lengte heeft van 3 ellen 2 palmen 4 duimen eene loodlijn trekt van 2 ellen 1 palm 6 duimen, hoe lang is dan de diameter van den cirkel?
Antw. 5 Ellen 4 palmen.
35. Uit een punt buiten den omtrek eens cirkels zijn twee lijnen getrokken, die elk den omtrek in twee punten doorsnijden. Van de eene lijn is het stuk, hetwelk binnen den cirkel ligt, 7 ellen en het andere, dat tusschen het punt en den omtrek van den cirkel begrepen is, 5 ellen; zoo nu het stuk van de andere lijn, dat tusschen het punt en den omtrek ligt, 4 ellen is, hoe lang is dan het stuk van deze lijn, dat binnen den cirkel valt?
Antw. 11 Ellen.
36. Een punt buiten eenen cirkel is 3 ellen 4 palmen van het middelpunt verwijderd. Zoo nu de middellijn van dezen cirkel 3 ellen 2 palmen lang is, welke is dan de lengte van de raaklijn, die uit dit punt tot aan den omtrek kan getrokken worden?
Antw. 3 Ellen.
37. De middellijn van eenen cirkel wordt door eene koord, die dezelve regthoekig snijdt, in twee deelen gedeeld, waarvan het eene deel 1 palm 5 duimen en het andere 1 el 3 palmen 5 duimen is; men vraagt naar de lengte van de koord?
Antw. 9 Palmen.
38. Men heeft uit een punt buiten eenen cirkel, welks middellijn 2 ellen 5 palmen 6 duimen lang is, twee lijnen getrokken, waarvan de eene in het middelpunt des cirkels eindigt en de andere deszelfs omtrek raakt; zoo nu de snijlijn 5 ellen 2 palmen is, welke is dan de lengte van de raaklijn?
Antw. 5 Ellen 4 duimen.
39. Iemand bevindt zich op eenen toren, welks hoogte gemeten is op 14 roeden 3 ellen. Men vraagt hoe ver hij op de oppervlakte der aarde kan zien.
Antw. 42670 Ellen ruim of bijna 8 uren.
40. Uit het middelpunt van eenen cirkel heeft men tot een willekeurig punt buiten denzelven eene lijn getrokken, die 1 el 3 palmen lang is; zoo nu de raaklijn, die men uit dit punt kan trekken, 1 el 2 palmen lengte heeft, hoe lang is dan de middellijn des cirkels?
Antw. 1 El.
41. Zoo van eenen cirkel de middellijn 3 ellen 6 palmen en de raaklijn 8 ellen lang is, hoe lang zal dan de secans of snijlijn zijn, die uit het middelpunt gaande, de raaklijn buiten den cirkel snijdt?
Antw. 8 Ellen 2 palmen.
42. Van eene snijlijn is het deel buiten den cirkel 1 el 6 palmen en het deel, hetwelk binnen den cirkel valt, 2 ellen. Men vraagt naar de raaklijn, die uit hetzelfde punt kan getrokken worden.
Antw. 2 Ellen 4 palmen.
43. In eenen cirkel zijn twee koorden getrokken, die elkander in een punt zoodanig snijden, dat het kleinste deel van de grootste koorde 2 ellen 4 palmen is. Zoo nu de deelen van de andere koorde eene lengte hebben van 3 ellen 6 palmen en 9 ellen 6 palmen, hoe lang is dan het grootste deel van de langste koorde?
Antw. 14 Ellen 4 palmen.
44. Men heeft de diameter van eenen cirkel, welke 6 ellen lang is, verlengd tot een punt, dat 2 ellen buiten den omtrek ligt, en uit den omtrek eene loodlijn van 2 ellen 4 palmen op de middellijn laten vallen. Bereken hieruit hoe ver het boveneinde der perpendiculair verwijderd is van het uiteinde der verlengde middellijn.
Antw. 4 Ellen.
45. Van eenen cirkel is de middellijn 4 ellen 5 palmen; deze wordt regthoekig gesneden door eene koord van 3 ellen 6 palmen. Men vraagt naar de deelen, waarin de diameter door de koord gesneden is.
Antw. Het kleinste deel 9 palmen en het grootste deel 3 ellen 6 palmen.
46. Uit een zelfde punt van den omtrek eens cirkels worden 2 koorden naar de uiteinden van de middellijn getrokken. Als nu de eene koord 2 roeden 3 ellen en de andere 1 roede 7 ellen lang is, hoe veel vierkante roeden, vierkante ellen enz. bedraagt dan de inhoud van dezen cirkel?
Antw. 6 Vierk. roeden 42 vierk. ellen 10 vierk. palmen nagenoeg.
47. Van een cirkelsegment is de grootste hoogte 3 duimen en de bazis of koorde van hetzelve 1 palm 8 duimen; men vraagt naar de middellijn des cirkels, waarvan het segment genomen is.
Antw. 3 Palmen.
48. Van een cirkelsegment is de grootste hoogte 3 palmen 5 duimen, de koord of bazis 2 ellen 1 palm en de boog 2 ellen 2 palmen 5 duimen; men vraagt naar den inhoud van dit segment.
Antw. 49 Vierk. palmen 87 vierk. duimen 50 vierk. strepen.
49. Als de hoogte van een cirkelsegment 3 palmen en de middellijn des cirkels, welke dit segment in twee gelijke deelen deelt, 3 ellen lang is, hoe lang is dan de bazis of koord van dit segment?
Antw. 1 El 8 palmen.
50. Men wil in eenen cirkel, welks middellijn 2 ellen 8 duimen lang is, uit eenig punt van dezelve eene loodlijn oprigten, die tot aan den omtrek reikt en 9 palmen 6 duimen lang is. Waar moet dit punt op de middellijn genomen worden.
Antw. Op 4 palmen van het middelpunt.
51. De bazis of koorde van een cirkelsegment is 8 duimen en de middellijn van den cirkel, waarvan het segment genomen is, 1 palm 8 duimen. Men vraagt naar de grootste hoogte van het genoemde segment.
Antw. Één duim nagenoeg.
52. Hoe veel is de inhoud van eenen sector, staande op eenen boog van 2 palmen 5 duimen, als de omtrek des cirkels 1 el 3 palmen is?
Antw. 2 Vierk. palmen 58 vierk. duimen 75 vierk. strepen.
53. Zeg mij nu ook eens den inhoud van eenen anderen sector, staande op eenen boog van 25 graden, indien de omtrek van den cirkel 1 el 3 palmen is.
Antw. 93 Vierk. duimen 53,05 vierk. strepen.
54. Een cirkel, welke eenen omtrek heeft van 6 ellen 2 palmen 8 duimen, moet in 5 gelijke sectors verdeeld worden. Men vraagt naar den inhoud van elken sector.
Antw. 62 Vierk. palmen 80 vierk. duimen.
55. Men heeft eenen cirkel door stralen in vijf gelijke deelen of sectors verdeeld; indien de omtrek van elken sector 3 ellen 2 palmen 5 duimen 6 strepen bedraagt, hoe lang is dan de omtrek van den cirkel?
Antw. 6 Ellen 2 palmen 8 duimen.
56. Uit hetzelfde middelpunt zijn twee cirkels met verschillende stralen beschreven: zoo nu de eene straal 5 palmen en de andere 2 ellen lang is, welke is dan de inhoud van den ring, die tusschen de twee cirkels ligt?
Antw. 2 Vierk. ellen 94 vierk. palmen 37 vierk. duimen 50 vierk. strepen.
57. Als drie onderscheidene cirkels, wier omtrekken 1 el 5 palmen 7 duimen, 3 ellen 1 palm 4 duimen en 6 ellen 2 palmen 8 duimen lang zijn, te zamen zoo veel inhoud hebben als één grootere cirkel, hoe lang is dan de middellijn van dezen grooten cirkel?
Antw. 7 Ellen 2 palmen 4 duimen ruim.
58. De inhoud van een kwadraat, welks omtrek 100 roeden is, en de inhoud van eenen cirkel bedragen te samen 14 bunders 95 vierkante roeden; men vraagt naar den omtrek van den cirkel.
Antw. 104 Roeden 5 ellen nagenoeg.
59. Van eenen cirkel wordt een segment afgesneden, welks boog 19 graden 2 minuten 40 seconden bevat. Zoo nu de grootste hoogte van dit segment 5 duimen is, en de lengte van de middellijn des cirkels 7 ellen 2 palmen 5 duimen bedraagt, hoe veel is dan de inhoud van dit segment?
Antw. 3 Vierk. palmen 78 vierk. duimen.
60. In eenen cirkelronden tuin, waarvan de middellijn 4 roeden 8 ellen 5 palmen 7 duimen 8 strepen lang is, wil men eenen ronden vijver laten graven, zoodanig dat het overblijvende land juist zoo veel oppervlakte behoudt, als er voor den vijver moet weggegraven worden. Men vraagt naar de middellijn van dezen vijver.
Antw. 3 Roeden 4 ellen 3 palmen 5 duimen.
61. Gegeven twee cirkels, waarvan de diameter des eenen = 13 en die des anderen = 5 is. Deze worden van elkander afgetrokken, en er rest een cirkel, naar welks diameter men vraagt.
Antw. 12.
62. Van vier stukken weiland heeft het eerste de gedaante van eenen regthoekigen driehoek, waarvan de zijden tot elkander staan als 3, 4 en 5; het tweede is een regthoek, viermaal zoo lang als breed; het derde is een kwadraat en het vierde een cirkel. Hoe veel vierkante roeden is de inhoud van elk dezer stukken, wanneer de omtrek van ieder stuk 100 roeden is?
Antw. Inhoud regthoekige driehoek = 4165/6 vierk. roede, inhoud regthoek = 400 vierk. roeden, inhoud kwadraat 625 roeden en inhoud cirkel = 796,17 vierk. roeden.
63. Hoe groot is de middellijn eens cirkels, welke viermaal zoo veel inhoud heeft als eene andere, van welken de omtrek en de inhoud even groot zijn?
Antw. 8.
64. Er wordt opgegeven eenen cirkel in drie even groote ronden te verdeelen; men vraagt naar de breedte der strooken en de middellijn des overblijvenden cirkels, zoo de middellijn van den geheelen cirkel 21 duimen is.
Antw. De kleinste strook is breed 1,407 duimen, de daaraanvolgende 1,6685 duimen en de derde 2,1745 duimen.
65. Men wenscht het verschil van inhoud te weten tusschen een geschoven vierkant, welks diagonalen 24 en 32 ellen lang zijn, en een kwadraat en eenen cirkel, die gelijken omtrek hebben als dit geschoven vierkant.
Antw. Tusschen het geschoven vierkant en het kwadraat 16 vierk. ellen, tusschen den cirkel en het geschoven vierkant 125,554 vierk. ellen en tusschen den cirkel en het kwadraat 109.554 vierk. ellen.
66. Wanneer eene geit aan een touw geplaatst wordt van 628 nederl. duimen lengte, zoo heeft zij voor vier dagen genoeg ter beweiding. Hoe veel malen zal de touw om eenen ronden paal, van 1 duim diameter, moeten gewonden worden, opdat het dier voor éénen dag genoeg hebbe?
Antw. 100 Maal.
§ 1. Gelijkvormige figuren zijn dezulke, waarvan de overeenkomstige hoeken gelijk en de zijden om deze hoeken evenredig zijn.
§ 2. De zijden, over gelijke hoeken staande, worden gelijkstandige of even eens geplaatste zijden genoemd.
§ 3. Twee driehoeken zijn gelijkvormig, wanneer de hoeken van den eenen driehoek, elk in het bijzonder, gelijk zijn aan de hoeken des anderen driehoeks, alsmede, dat de zijden, welke in de beide driehoeken over gelijke hoeken slaan, met elkander evenredig zijn.
§ 4. Alle gelijkzijdige driehoeken zijn gelijkvormig.
§ 5. Driehoeken zijn gelijkvormig, wanneer de zijden van den eenen driehoek evenwijdig zijn aan die van den anderen.
§ 6. De lijn, welke eenen der hoeken van eenen driehoek midden door deelt, verdeelt de overstaande zijden in stukken, welke evenredig zijn met de opstaande zijden, waaraan zij grenzen.
§ 7. Twee veelhoeken worden gelijkvormig genoemd, wanneer zij gelijke hoeken hebben, welke in dezelfde orde op elkander volgen, en de gelijkstandige zijden, welke tusschen de gelijke hoeken liggen, evenredig zijn.
§ 8. Twee veelhoeken, welke uit een zelfde aantal gelijkvormige driehoeken zijn zamengesteld, die op dezelfde wijze aan elkander sluiten, zijn gelijkvormig.
§ 9. De inhouden van gelijkvormige veelhoeken zijn tot elkander in reden als de vierkanten van de even eens geplaatste zijden. De inhouden van gelijkvormige veelhoeken zijn ook in reden, als het product van twee zijden in den eenen veelhoek tot het product der gelijkstandige zijden in den anderen driehoek.
§ 10. Driehoeken, die gelijke bazis hebben, staan tot elkander als de hoogten.
§ 11. Driehoeken, die gelijke hoogte hebben, staan tot elkander als de grondlijnen.
§ 12. Parallelogrammen, die gelijke hoogte hebben, staan in reden als de grondlijnen.
§ 13. Parallelogrammen, die gelijke grondlijnen hebben, staan in reden als de hoogten.
1. Van eenen regthoekigen driehoek is de opstaande regthoekszijde 2 ellen 4 palmen en de bazis of grondlijn 1 el 8 palmen; evenwijdig aan de genoemde opstaande zijde is eene lijn getrokken van 2 ellen. Men vraagt, in welke deelen de bazis door deze evenwijdige lijn gedeeld wordt.
Antw. Het eene deel is 3 palmen en het andere 1 el 5 palmen.
2. Van eenen anderen regthoekigen driehoek is de opstaande regthoekszijde 4 ellen 8 palmen en de bazis 3 ellen 6 palmen; evenwijdig aan deze zijde loopt eene lijn, die 1 el 2 palmen lang is. Men vraagt in welke deelen de hypothenusa door deze evenwijdige lijn gedeeld wordt.
Antw. Het grootste deel is 4 ellen en het kleinste 2 ellen.
3. Een boer heeft een stuk land gekocht, hetwelk den vorm heeft van eenen regthoekigen driehoek. Dit land wil hij door eene sloot in twee deelen gedeeld hebben, zoodanig dat dezelve evenwijdig loopt met de langste regthoekszijde. en eenen aanvang neemt op 3 roeden 5 ellen van den kleinsten hoek. Hoe lang zal deze sloot zijn, als de regthoekszijden 4 roeden 2 ellen en 5 roeden 6 ellen lang zijn?
Antw. 2 Roeden 8 ellen.
4. Iemand, wiens oog 1 el 5 palmen van den grond verwijderd is, bevindt zich in eene regte lijn met de torens van Kapelle en Biezelinge, en kan juist over den top des laatsten dien des eersten zien. Indien men nu aanneemt, dat de toren van Biezelinge 41,5 el en die van Kapelle 91,5 el hoog is, alsmede dat deze torens 1100 ellen van elkander afstaan en de grond waterpas is, hoe ver is dan de bedoelde persoon van den hoogsten toren verwijderd?
Antw. 1980 Ellen.
5. Op eenen oogenblik, waarin de zon scheen, was de schaduw van een knaapje 7 palmen 2 duimen, terwijl op denzelfden oogenblik die van zijnen broeder op 8 palmen 4 duimen gemeten werd. Als nu deze laatste 1 el 4 palmen lang was, zeg mij dan de lengte van het knaapje.
Antw. 1 El 2 palmen.
6. Om de hoogte van eenen toren te berekenen, plaatst men twee stokken regtstandig in den grond, de eerste, die 3 ellen 2 palmen lang is, op eenen afstand van 400 ellen en de tweede, welke eene lengte heeft van 2 ellen, op eenen afstand van 410 ellen, beide van den voet des torens afgerekend. Indien nu de uiteinden der stokken en de spits des torens in eene regte lijn liggen, hoe hoog is dan de toren?
Antw. 51 Ellen 2 palmen.
7. Van eenen regthoekigen driehoek is de eene regthoekszijde 2 ellen 4 palmen en de andere 3 ellen 2 palmen; uit den regten hoek heeft men eene loodlijn op de schuinsche zijde nedergelaten. Men vraagt naar de stukken, waarin de schuinsche zijde door deze loodlijn gedeeld wordt en naar de lengte van de loodlijn zelve.
Antw. Het langste stuk 2 ellen 5 palmen 8 duimen, het kortste 1 el 4 palmen 4 duimen en de loodlijn 1 el 9 palmen 2 duimen.
8. Iemand heeft een stuk land, in de gedaante van eenen regthoekigen driehoek; als de opstaande regthoekszijde 8 roeden 4 ellen, de bazis 3 roeden 5 ellen en eene sloot, welke evenwijdig met de bazis loopt, 7 ellen lang is, hoe ver is dan het uiteinde van de sloot, hetwelk in de opstaande regthoekszijde valt, van den tophoek verwijderd?
Antw. 1 Roede 6 ellen 8 palmen.
9. In eenen driehoek is de grondlijn 1 el 4 palmen, de eene opstaande zijde 3 ellen 4 palmen en de andere 2 ellen 5 palmen: zoo nu van eenen anderen gelijkvormigen driehoek de grondlijn 4 ellen 2 palmen is, hoe lang zijn dan deszelfs opstaande zijden?
Antw. De langste 10 ellen 2 palmen en de kortste 7 ellen 5 palmen.
10. Men heeft in eenen driehoek eene lijn evenwijdig aan de bazis getrokken, welke door eene loodlijn, uit den tophoek van de bazis vallende, in de deelen 5 ellen 6 palmen en 4 ellen gedeeld wordt. Zoo nu de geheele loodlijn 1 roede 8 ellen en het stuk, begrepen tusschen de bazis en de evenwijdige lijn, 1 roede 5 ellen is, hoe groot is dan de inhoud van den driehoek?
Antw. 5 Vierkante roeden 18 vierkante ellen 40 vierkante palmen.
11. Van eenen driehoek doet de kortste opstaande zijde 4 ellen en de langste 7 ellen 2 palmen; uit een punt in de kortste zijde, hetwelk 2 ellen 5 palmen van den tophoek afstaat, is eene lijn evenwijdig aan de bazis getrokken, die 2 ellen 2 palmen 5 duimen lang is. Men vraagt naar de deelen van de langste opstaande zijde en naar de bazis.
Antw. Het kortste deel 2 ellen 7 palmen, het langste 4 ellen 5 palmen en de bazis 3 ellen 6 palmen.
12. Daar zijn twee gelijkvormige driehoeken; van den eenen driehoek zijn de opstaande zijden 2 ellen 5 palmen en 3 ellen 7 palmen, en van den anderen is de kortste opstaande 7 ellen 5 palmen. Hoe lang is de andere opstaande zijde van dezen laatsten driehoek?
Antw. 11 Ellen 1 palm.
13. Daar zijn twee gelijkvormige regthoekige driehoeken; van den eenen driehoek is de opstaande regthoekszijde 6 ellen 3 palmen en de schuinsche zijde 10 ellen 5 palmen; van den anderen is de eene regthoekszijde 7 ellen langer dan de andere. Men vraagt naar de zijden van dezen laatsten driehoek.
Antw. 2 Ellen 1 palm, 2 ellen 8 palmen en 3 ellen 5 palmen.
14. Daar zijn twee gelijkbeenige driehoeken; van den eenen driehoek is een der beenen 4 ellen 8 palmen en de bazis 3 ellen 6 palmen; zoo nu de bazis van den anderen 5 ellen 4 palmen is, hoe lang zijn dan deszelfs beenen?
Antw. 7 Ellen 2 palmen.
15. Van eenen regthoekigen driehoek is de bazis 9 duimen en de schuinsche zijde 1 palm 5 duimen; van eenen anderen driehoek, die met den eersten gelijkvormig is, doet de opstaande regthoekszijde 1 el 4 palmen 4 duimen. Men vraagt naar de andere zijden van dezen laatsten driehoek.
Antw. De bazis 1 el 8 duimen en de hypothenusa 1 el 8 palmen.
16. Men heeft in eenen driehoek, waarvan de bazis 7 roeden is, en welks opstaande zijden 6 roeden 5 ellen en 7 roeden 5 ellen lang zijn, eene lijn van 5 roeden 6 ellen evenwijdig aan de bazis getrokken, Men vraagt in welke deelen de opstaande zijden door deze lijn gedeeld worden.
Antw. De deelen van de kortste zijde zijn 1 roede 3 ellen en 5 roeden 2 ellen, en die van de langste 1 roede 5 ellen en 6 roeden.
17. Van twee gelijkvormige driehoeken doen de grondlijnen 2 ellen 5 palmen en 3 ellen; zoo nu de inhoud van den eersten driehoek 3 vierkante ellen 75 vierkante palmen bedraagt, welken inhoud heeft dan de andere?
Antw. 5 Vierk. ellen 40 vierk. palmen.
18. Men heeft twee gelijkvormige driehoeken; van den eenen doen de zijden 1 el 4 palmen, 3 ellen en 8 ellen 4 palmen, en van den anderen is de kleinste zijde 11 ellen 2 palmen. Men vraagt naar de twee andere zijden van dezen driehoek.
Antw. 24 Ellen en 67 ellen 2 palmen.
19. Iemand heeft twee stukken land, welke beide de gedaante hebben van een kwadraat; van het eene stuk is elke zijde 1 el 6 palmen. Men vraagt naar de zijden van het andere stuk, wetende dat deszelfs inhoud 15 maal grooter is dan die van het kleinste.
Antw. 6 Ellen 4 palmen.
20. Het schoollokaal te Kapelle, dat den vorm van eenen regthoek heeft, is 16 ellen lang en 8 breed. Als hetzelve nu 4 maal grooter is dan een ander schoolgebouw, welke lengte en breedte heeft dan dit laatste?
Antw. Lang 8 ellen en breed 4 ellen.
21. Daar zijn twee gelijkvormige onregelmatige vijfhoeken, waarvan de eerste vijfmaal zoo groot is als de tweede; zoo nu de zijden van den laatsten 7, 8, 9, 10 en 11 ellen lang zijn, hoe lang zijn dan de zijden van den eersten?
Antw. 7 ²√5 , 8 ²√5 , 9 ²√5 , 10 ²√5 , 11 ²√5 Ellen.
22. Van eenen onregelmatigen zeshoek zijn de zijden 4, 5, 6, 7, 8 en 9 ellen; hoe lang zijn de zijden van eenen anderen zeshoek, welke met den eersten gelijkvormig is en 8 maal meer inhoud heeft?
Antw. 12, 15, 18, 21, 24 en 27 Ellen.
23. Van eenen scherphoekigen driehoek is de bazis 8 ellen 4 palmen, de langste opstaande zijde 9 ellen en de andere 7 ellen 8 palmen; binnen denzelven is eene lijn evenwijdig aan de bazis getrokken, welke den driehoek in twee gelijke deelen deelt. Men vraagt naar de lengte dezer lijn, alsmede naar de deelen die door dezelve van de opstaande zijden worden afgesneden, van den tophoek afgerekend.
Antw. De lijn is 5 ellen 9 palmen 4 duimen nagenoeg; de stukken zijn 6 ellen 3 palmen 6 duimen ruim en 5 ellen 5 palmen 2 duimen nagenoeg.
24. Een landman heeft een stuk land, hetwelk de gedaante heeft van eenen scherphoekigen driehoek, en welks inhoud 5 bunders 4 vierkante roeden is, terwijl de deelen der bazis, waarin deze door de loodlijn, die uit den tophoek op dezelve getrokken wordt, 32 en 10 roeden lang zijn. Onderstellen wij nu eens, dat er een ander gelijkvormig stuk land bestaat, hetwelk 9 maal zoo groot is, hoe lang zouden dan de zijden van hetzelve zijn?
Antw. 78, 120 en 126 Roeden.
25. Van eenen, gelijkbeenigen driehoek is elk der beenen 7 roeden 5 ellen lang en de inhoud 15 vierkante roeden 12 vierkante ellen. Hoe groot is een andere gelijkvormige driehoek, welks beenen eene lengte hebben van 2 roeden 5 ellen?
Antw. 1 Vierk. roede 68 vierk. ellen.
26. Van eenen gelijkzijdigen driehoek is elke zijde 2 ellen 5 palmen; men vraagt hoe lang de zijden van eenen anderen gelijkzijdigen driehoek zijn, welke 3 maal meer inhoud heeft.
Antw. 5 Ellen.
27. Van eenen scherphoekigen driehoek is de bazis 7 palmen, de eene opstaande zijde 7 palmen 5 duimen en de andere 6 palmen 5 duimen; de inhoud van eenen anderen driehoek, welke met denzelven gelijkvormig is, bedraagt 84 vierkante palmen. Men vraagt naar de zijden van dezen driehoek.
Antw. De bazis 1 el 4 palmen, de eene opstaande zijde 1 el 5 palmen en de andere 1 el 3 palmen.
28. Zekere tuin, die de gedaante van eenen regthoek heeft, is 2 roeden 4 ellen lang en 1 roede 8 ellen breed; nu wil men denzelven 5 maal zoo groot maken, in dier voege, dat de vorm onveranderd blijft. Hoe veel moet elke zijde verlengd worden?
Antw. In de lengte 2 roeden 9 ellen 6 palmen 6 duimen en in de breedte 2 roeden 2 ellen 2 palmen 4 duimen.
29. Er is een stomphoekige driehoek, waarvan de bazis 8 palmen is, en de opstaande zijden 2 ellen 6 palmen en 3 ellen doen; hoe lang zijn de zijden van eenen anderen gelijkvormigen driehoek, waarvan de hoogte 3 ellen 6 palmen is?
Antw. De bazis 1 el 2 palmen, de kortste opstaande zijde 3 ellen 9 palmen en de langste 4 ellen 5 palmen.
30. Een boer heeft een stuk land in de gedaante van eenen regthoekigen driehoek, waarvan de opstaande zijden 3 roeden 6 ellen en 4 roeden 5 ellen lang zijn. Van dit land wordt een gedeelte verkocht, hetwelk met het geheele stuk gelijkvormig is, en 54 vierkante ellen inhoud heeft; als nu de sloot, die men tot scheiding graven wil, evenwijdig moet loopen met de grondlijn, hoe lang zijn dan de zijden van het verkochte gedeelte?
Antw. 9 Ellen, 1 roede 2 ellen en 1 roede 5 ellen.
31. Van eenen regthoekigen driehoek is de bazis 3 ellen 9 palmen en de opstaande regthoekszijde 5 ellen 2 palmen; van denzelven wordt door eene lijn, welke evenwijdig loopt met de opstaande regthoekszijde, een gelijkvormig deel afgenomen, hetwelk 1 vierkante el 50 vierkante palmen groot is. Men vraagt naar de zijden van dit afgesneden stuk.
Antw. 1 El 5 palmen, 2 ellen en 2 ellen 5 palmen.
32. Iemand heeft een stuk land, in de gedaante van eenen regthoekigen driehoek, waarvan de grondlijn 6 roeden en de schuinsche zijde 10 roeden lang is; hiervan verkoopt hij een gelijkvormig stuk van 6 vierkante roeden. Zoo men nu weet, dat het overblijvende gedeelte geenen regten hoek heeft, hoe lang zal dan de scheidesloot zijn?
Antw. 5 Roeden.
33. Elke zijde van eenen regelmatigen zevenhoek doet 1 el 2 palmen; hoe lang zal elke zijde van eenen anderen regelmatigen zevenhoek zijn, die 8 maal meer inhoud heeft?
Antw. 3 Ellen 6 palmen.
34. Een stuk land, hetwelk de gedaante heeft van eenen driehoek, en 28 vierkante roeden groot is, moet in twee gelijke deelen gedeeld worden door eene sloot, welke parallel loopt met de kortste opstaande zijde. Men vraagt in welk punt van de bazis de sloot moet beginnen of eindigen, als dezelve 8 roeden lang is?
Antw. Op 5 roeden 6 ellen 5 palmen 6 duimen ruim van den kleinsten hoek.
35. Van eenen regthoekigen driehoek is de bazis 3 roeden 6 ellen en de opstaande regtshoekszijde 4 roeden 8 ellen; men wil denzelven in drie gelijke deelen verdeelen door lijnen, welke evenwijdig met de schuinsche zijde loopen. Men vraagt in welke punten van de bazis en de opstaande regthoekszijde deze lijnen zullen beginnen en eindigen.
Antw. In de bazis op 2 roeden 7 palmen 8 duimen 4 strepen en op 2 roeden 9 ellen 3 palmen 9 duimen 3 strepen van den regten hoek, in de opstaande zijde op 2 roeden 7 ellen 7 palmen 1 duim 2 strepen en op 3 roeden 9 ellen 1 palm 9 duimen 1 streep, mede van den regten hoek.
36. Een regthoekige driehoek, waarvan de bazis 6 palmen 7 duimen en de opstaande regthoekszijde 7 palmen 6 duimen lang zijn, zal door lijnen in vier gelijke deelen gedeeld worden. Als nu bepaald is, dat deze lijnen evenwijdig aan de schuinsche zijde moeten loopen, in welke punten van de bazis zullen dan derzelver uiteinden vallen?
Antw. Op 3 palmen 3 duimen 5 strepen, op 4 palmen 7 duimen 4 strepen nagenoeg en op 5 palmen 8 duimen ruim, allen van den regten hoek.
37. Iemand heeft een stuk land, in de gedaante van eenen driehoek, waarvan de grondlijn 3 roeden, de kortste opstaande zijde 2 roeden 6 ellen en de langste 2 roeden 8 ellen lang zijn. Van dit land moet een gelijkvormig derde gedeelte afgescheiden worden door eene sloot, welke evenwijdig moet loopen met de kortste zijde. Men vraagt in welk punt van de bazis, te rekenen van de kortste zijde, de graving moet begonnen worden, en op welken afstand van den tophoek dezelve zal eindigen.
Antw. Beginnen op 1 roede 2 ellen 6 palmen 8 duimen van de kortste zijde, en eindigen op 1 roede 1 el 8 palmen 4 duimen van den tophoek.
38. Iemand heeft een regthoekig stuk land, waarvan de eene regthoekszijde 21 roeden 6 ellen en de andere 16 roeden 2 ellen lang is. Uit een punt in de schuinsche zijde, hetwelk 18 roeden van den kleinsten scherpen hoek verwijderd is, laat hij twee slooten graven, evenwijdig aan de beide regthoekszijden. Men vraagt naar de lengte van deze slooten.
Antw. De langste 10 roeden 8 ellen en de kortste 7 roeden 2 ellen.
39. Een stuk land, hetwelk den vorm heeft van eenen regthoek, is 1 bunder 34 vierkante roeden 40 vierkante ellen groot; zoo de lengte van dit land staat tot deszelfs breedte als 40 tot 21, hoe lang en breed is dan dit stuk?
Antw. 16 Roeden lang en 8 roeden 4 ellen breed.
40. Van een stuk land, in de gedaante van eenen regthoekigen driehoek, is de inhoud 10 vierkante roeden 20 vierkante ellen 60 vierkante palmen, en deszelfs regthoekszijden staan tot elkander als 9 : 70. Men vraagt naar de zijden.
Antw. 1 Roede 6 ellen 2 palmen en 12 roeden 6 ellen.
41. Van eenen driehoek is de bazis 6 roeden 3 ellen, de kortste oploopende zijde 3 roeden en de langste 5 roeden 1 el; deze driehoek moet door eene lijn, welke uit den tophoek op de grondlijn valt, in twee deelen gedeeld worden; als nu het eene deel 4 vierkante roeden 32 vierkante ellen groot is, in welke deelen zal dan de bazis gedeeld worden?
Antw. Het eene deel 3 roeden 6 ellen en het andere 2 roeden 7 ellen.
42. Een landman heeft een stuk land, hetwelk den vorm heeft van eenen scherphoekigen driehoek, waarvan de zijden lang zijn: de bazis 2 roeden 9 ellen, de kortste opstaande zijde 5 roeden 6 ellen en de langste 6 roeden 8 ellen. Dit stuk is door eene sloot, welke den tophoek midden door deelt, en in de bazis eindigt, in twee deelen gedeeld. Men vraagt naar de lengte der stukken, waarin de bazis gedeeld is.
Antw. Het langste stuk 1 roede 5 ellen 9 palmen ruim en het kortste 1 roede 3 ellen 1 palm nagenoeg.
43. Van een stuk land, in de gedaante van eenen scherphoekigen driehoek, is de bazis 2 roeden 8 ellen, de kortste opstaande zijde 2 roeden 6 ellen en de langste 3 roeden; zoo men dit land door eene sloot in twee gelijke deelen wil deelen, zoodanig dat deze sloot loodregt op de bazis is, en in de langste opstaande zijde eindigt, hoe lang zullen dan de stukken van de bazis zijn?
Antw. Het eene stuk 1 roede 5 ellen 8 palmen ruim en het andere 1 roede 2 ellen 2 palmen nagenoeg.
44. Een scherphoekige driehoek, waarvan de kortste opstaande zijde 1 el 6 palmen is, zal door eene lijn, welke den tophoek midden door deelt, in twee gelijke deelen gescheiden worden. Als nu die lijn de bazis verdeelt in de stukken 1 el 2 palmen en 1 el 5 palmen, hoe lang is dan de langste opstaande zijde?
Antw. 2 Ellen.
45. Een landbouwer heeft twee even lange stukken land gekocht voor 2488 gulden 50 cents. Zoo de prijzen, per vierkante roede gerekend, tot elkander zijn als 3 : 2 en de breedte van het eene stuk 4 roeden 5 ellen en die van het andere 5 roeden 4 ellen is, hoe veel kost dan elk stuk afzonderlijk?
Antw. Voor het eene 1382 gulden 50 cents en voor het andere 1106 gulden.
46. Iemand heeft een stuk weiland, in de gedaante van eenen scherphoekigen driehoek, waarvan de grondlijn 13 roeden en de opstaande zijden 20 en 21 roeden lang zijn. Deszelfs uitgang bevindt zich in de langste zijde op 14 roeden van den tophoek. Zoo men dit weiland door eene sloot in twee gelijke deelen wil scheiden, zoodanig, dat beide stukken denzelfden uitgang behouden, in welk punt van de kortste opstaande zijde, te rekenen van den tophoek, zal dan de sloot moeten beginnen?
Antw. Op 15 roeden van den tophoek.
47. Een stuk land, dat de gedaante heeft van eenen scherphoekigen driehoek, en waarvan de bazis 28 roeden en de opstaande zijden 26 en 30 roeden lang zijn, zal in drie perceelen verkocht worden. Uit dien hoofde graaft men in hetzelve twee greppels, die in den tophoek beginnen en in de bazis eindigen; men bevindt, dat het perceel naast de kortste opstaande zijde 1 bunder 8 vierkante roeden en het daaraan volgende 1 bunder 12 vierkante roeden bevat. Men vraagt naar de grondlijn van elk stuk.
Antw. Die van het kleinste perceel 9 roeden, die van het middelste 9,3... en die van het grootste 9,6... roede.
48. Van een stuk land, in de gedaante van eenen scherphoekigen driehoek, is de bazis 7 roeden, de kortste opstaande zijde 6 roeden 5 ellen en de langste 7 roeden 5 ellen. Dit land zal men door twee slooten, die loodregt op de bazis loopen, in drie stukken verdeelen, in dier voege, dat het stuk met den kleinsten scherpen hoek 6 vierkante roeden en dat met den grootsten 7 vierkante roeden groot zal zijn. Hoe lang zullen deze slooten zijn?
Antw. De eene 4 roeden 2 ellen en de andere 5 roeden 4 ellen ruim.
49. Uit eenen hoek van eenen driehoek wordt eene loodlijn van 2 roeden 4 ellen op de langste zijde nedergelaten, welke daardoor in twee stukken gedeeld wordt van 1 roede 8 ellen en 1 roede lang. Hoe lang is elke zijde van eenen anderen gelijkvormigen driehoek, welks hoogte 11 roede 4 ellen is?
Antw. 13 Roeden 3 ellen, 14 roeden 2 ellen 5 palmen en 12 roeden 3 ellen 5 palmen.
50. Van eenen scherphoekigen driehoek, welks opstaande zijden 5 roeden 5 ellen en 4 roeden 5 ellen lang zijn, wordt de tophoek door eene lijn midden door gedeeld, welke van de tegenoverstaande zijde een stuk van 1 roede 7 ellen 6 palmen afsnijdt. Men vraagt naar het andere stuk, wetende dat het onbekende deel het kleinste is.
Antw. 1 Roede 4 ellen 4 palmen.
51. Een landman heeft een stuk land, in den vorm van eenen regthoek, waarvan de voorzijde 19 roeden 2 ellen lang is; hij wil in hetzelve twee greppels graven, evenwijdig aan de breedte van het land. Zoo nu de grootten der stukken tot elkander in reden staan als de getallen 4, 5 en 7, hoe breed moet dan elk stuk zijn?
Antw. 4 Roeden 8 ellen, 6 roeden en 8 roeden 4 ellen.
52. Men heeft twee gelijkvormige trapeziums, waarvan de grondlijnen 3 roeden 2 ellen en 1 roede 6 ellen lang zijn; als nu de inhoud van het grootste trapezium 6 vierkante roeden 40 vierkante ellen is, welken inhoud heeft dan het kleinste?
Antw. 1 Vierk. roede 60 vierk. ellen.
53. Iemand heeft eenen tuin, in den vorm van een parallelogram, waarvan de bazis 7 ellen 2 palmen lang is; van dezen tuin wil hij een derde gedeelte tot bleek maken, en door eene haag van het overige gedeelte des tuins afscheiden. Zoo deze haag evenwijdig aan de opstaande zijde moet geplaatst worden, hoe lang zal dan de bleek zijn?
Antw. 2 Ellen 4 palmen.
54. Van eenen gelijkzijdigen achthoek is elke zijde 20 en de inhoud 1931,36; men vraagt naar den inhoud van eenen gelijkzijdigen achthoek, waarvan elke zijde 10 is.
Antw. 482,84.
55. Een stuk land, in de gedaante van eenen regthoekigen driehoek, waarvan de regthoekszijden lang zijn 100 en 40 ellen, wordt gekocht voor 840 gulden; hiervan wordt een gedeelte aan een ander verkocht voor 120 gulden, waardoor men 15 gulden wint. Nu vraagt men waar de scheidesloot in de schuinsche zijde zal beginnen, die van daar tot den regten hoek loopt, als het verkochte stuk aan den kant der kortste regthoekszijde genomen is.
Antw. Op 13,463 ellen van den scherpen hoek.
56. Van eenen driehoek ABC, waarvan AB = 20, BC = 30 en AC = 21 palmen is, wordt een stuk ADB afgesneden, dat 60 vierk. palmen inhoud heeft, Men vraagt naar de lengte van AD.
Antw. AD = 10 palmen.
57. Een boer heeft een driehoekig stuk land, waarvan de bazis 84 en de opstaande zijden 90 en 78 roeden lang zijn. Hiervan wil hij de helft verkoopen, onder voorwaarde, dat de kooper zijn gedeelte door eene scheidesloot, evenwijdig met de langste opstaande zijde, afzondert. Daar de boer nu een driehoekig stuk land overhoudt, verlangt men hiervan de zijden te weten.
Antw. 59,397 Roeden, 63,64 roeden en 55,154 roeden.
58. Men heeft een regthoekig stuk land ABCD, dat 30 roeden lang en 25 roeden breed is. Dit land moet in drie gelijke deelen gescheiden worden door twee slooten, welke evenwijdig loopen met den diagonaal BD. Men vraagt op welken afstand van den hoek B deze lijnen uitkomen.
Antw. 5,5 Roeden.
§ 1. Een veelhoek wordt gezegd in den cirkel beschreven te zijn, wanneer al de hoekpunten in den omtrek van den cirkel liggen. De cirkel heet alsdan de omgeschreven cirkel van den veelhoek.
§ 2. Een veelhoek wordt gezegd om den cirkel beschreven te zijn, wanneer al deszelfs zijden raaklijnen aan den cirkel zijn. De cirkel heet alsdan de ingeschreven cirkel van den veelhoek.
§ 3. De cirkel, die in een kwadraat kan beschreven worden, staat tot dit kwadraat als 157 : 200.
§ 4. Van eenen driehoek, in eenen cirkel beschreven, is het product der opstaande zijden gelijk aan het product der loodlijn des driehoeks en de middellijn van den cirkel.
§ 5. Van eenen driehoek, om eenen cirkel beschreven, staat de som der drie zijden tot de bazis, als de loodlijn, die uit den tophoek op de bazis valt, tot den straal van den cirkel.
§ 6. De loodlijn, welke in eenen gelijkzijdigen driehoek, in eenen cirkel beschreven, kan getrokken worden, is gelijk drie vierde deelen van de middellijn des cirkels.
§ 7. De middellijn eens cirkels, welke in eenen gelijkzijdigen driehoek beschreven kan worden, is gelijk aan twee derde deelen der loodlijn van dezen driehoek.
§ 8. De som der zijden van eenen regthoekigen driehoek, die om een cirkel beschreven is, vermenigvuldigd met den straal, is gelijk aan tweemaal den inhoud van den driehoek.
§ 9. De zijde van eenen gelijkzijdigen driehoek, in eenen cirkel beschreven, is gelijk aan den wortel uit het verschil van het vierkant der middellijn en dat van den straal des omgeschreven cirkels.
§ 10. Van eenen driehoek, in eenen cirkel beschreven, is het product der diagonalen gelijk aan de som der twee producten van de twee tegen elkander overstaande zijden.
§ 11. De zijde des vierkants is gelijk aan den vierkantswortel uit het dubbele kwadraat van den straal des omgeschreven cirkels.
§ 12. De regelmatige veelhoeken van hetzelfde aantal zijden zijn gelijkvormige figuren, en hunne omtrekken staan tot elkander in reden als de stralen van de om- en ingeschreven cirkels.
§ 13. De inhoud eens regelmatigen veelhoeks is in reden tot dien van den ingeschreven cirkel, als de som der zijden van den veelhoek tot den omtrek des cirkels.
§ 14. Elke zijde van den regelmatigen zeshoek is gelijk aan den straal van den omgeschreven cirkel.
§ 15. De zijde van eenen veelhoek, om den cirkel beschreven, is gelijk aan het vermenigvuldigde van den straal met de zijde des ingeschreven veelhoeks van hetzelfde aantal zijden, en dit product, gedeeld door de loodlijn, die uit het middelpunt op laatstgenoemde zijde valt.
1. Van eenen cirkel doet de diameter 4 ellen 8 palmen; men vraagt naar de zijden van den gelijkzijdigen driehoek, die in denzelven kan beschreven worden.
Antw. 4 Ellen 1 palm 5 duimen 6 strepen.
2. Men heeft om eenen gelijkzijdigen driehoek, waarvan elke zijde 2 ellen 4 palmen lang is, eenen cirkel beschreven. Hoe lang is deszelfs diameter?
Antw. 2 Ellen 7 palmen 7 duimen 1 streep nagenoeg.
3. Hoe lang is de diameter van eenen cirkel, die in eenen gelijkzijdigen driehoek kan beschreven worden, waarvan elke zijde 1 el 8 palmen lang is?
Antw. 1 El 3 duimen 6 strepen.
4. Van eenen regthoekigen driehoek is de inhoud 96 vierkante palmen en de bazis 1 el 2 palmen; men vraagt naar de middellijn van den cirkel, die in dezen driehoek kan beschreven worden.
Antw. 8 Palmen.
5. Van eenen regthoekigen driehoek is de bazis 4 ellen 2 palmen en de opstaande regthoekszijde 5 ellen 6 palmen; men vraagt naar de middellijn van den cirkel, waarin deze driehoek kan beschreven worden.
Antw. 7 Ellen.
6. Hoe lang is de radius van eenen cirkel, welke in eenen regthoekigen driehoek kan beschreven worden, waarvan de opstaande regthoekszijde 5 palmen 2 duimen en de schuinsche zijde 6 palmen 5 duimen is.
Antw. 1 Palm 3 duimen.
7. Men heeft in eenen cirkel, welks diameter 50 palmen lang is, eenen gelijkbeenigen driehoek beschreven, waarvan elke zijde eene lengte heeft van 40 palmen; hoe lang is de bazis?
Antw. 48 Palmen.
8. Van eenen gelijkbeenigen driehoek doet de bazis 2 ellen 4 palmen; als nu elk been 2 ellen lang is, welke lengte heeft dan de middellijn van den cirkel, die om dezen driehoek kan beschreven worden?
Antw. 2 Ellen 5 palmen.
9. In eenen halven cirkel heeft men eenen driehoek beschreven, waarvan de loodregte hoogte 1 el 2 palmen is; hoe lang zijn de zijden van dezen driehoek, als de middellijn des cirkels 3 ellen doet?
Antw. 2 Ellen 6 palmen 8 duimen 3 strepen ruim en 1 el 3 palmen 4 duimen 1 streep ruim.
10. Van eenen driehoek is de eene opstaande zijde 1 el 3 palmen en de andere 2 ellen; als nu de diameter van den cirkel, die om denzelven kan beschreven worden, 2,16... el is, hoe lang is dan de bazis van dezen driehoek?
Antw. 21 Palmen.
11. In eenen cirkel, welks diameter 2 ellen 4 palmen is, heeft men het grootst mogelijke kwadraat beschreven; hoe lang is elke zijde van dit kwadraat?
Antw. 1 El 6 palmen 9 duimen 7 strepen.
12. Van eenen driehoek doet de basis 6 ellen 3 palmen, de eene opstaande zijde 5 ellen 1 palm en de andere 3 ellen. Hoe groot is de middellijn van den cirkel, die om denzelven kan beschreven worden?
Antw. 6 Ellen 3 palmen 7 duimen 5 strepen.
13. In eenen halven cirkel heeft men eenen driehoek beschreven, welks loodregte hoogte 2 ellen 4 palmen is; als de diameter des cirkels 6 ellen lang is, hoe lang zijn dan de opstaande zijden van dezen driehoek?
Antw. 5 Ellen 3 palmen 6 duimen 6 strepen ruim en 2 ellen 6 palmen 8 duimen 3 strepen ruim.
14. De inhoud van een kwadraat is 25 vierkante ellen; hoe groot zal de inhoud wezen van den cirkel, die in dit kwadraat kan beschreven worden?
Antw. 19 Vierk. ellen 62 vierk. palmen 50 vierk. duimen.
15. Van eenen driehoek is de bazis 1 el 1 palm en de opstaande zijden zijn 2 ellen 5 palmen en 3 ellen; hoe lang is de middellijn van den cirkel, die om denzelven kan beschreven worden?
Antw. 1 Palm 2 duimen 5 strepen.
16. De bazis van eenen driehoek is 1 el 1 palm 2 duimen, en deszelfs loodregte hoogte 9 palmen 6 duimen; als de omtrek des cirkels, welke om dezen driehoek kan beschreven worden, 1 el 3 palmen is, hoe lang zijn dan de opstaande zijden?
Antw. 1 El 4 duimen en 1 el 2 palmen.
17. In eenen cirkel van 2 palmen 5 duimen middellijn, is een gelijkbeenige driehoek beschreven, welks bazis 2 palmen is, hoe lang zijn de beenen dezes driehoeks?
Antw. 2 Palmen 2 duimen 3 strepen ruim.
18. In eenen cirkel is een ongelijkzijdige driehoek beschreven. De middellijn des cirkels is 1 el 6 palmen, de bazis des driehoeks 1 el 4 palmen en deszelfs loodregte hoogte 1 el 2 palmen. Men vraagt naar de beide opstaande zijden.
Antw. 1 El 3 palmen en 1 el 5 palmen.
19. Men heeft in en om een’ cirkel eenen regelmatigen vierhoek beschreven: hoe lang zijn deszelfs zijden, als de straal des cirkels 2 palmen 5 duimen is?
Antw. 3 Palmen 5 duimen 4 strepen nagenoeg de zijde des ingeschreven en 5 palmen die des omgeschreven vierhoeks.
20. In eenen cirkel is een vierhoek beschreven, waarvan twee van deszelfs tegenoverstaande zijden 3 ellen 6 palmen en 4 ellen 2 palmen en de twee andere 2 ellen 7 palmen en 3 ellen 2 palmen lang zijn; zoo nu de eene diagonaal 7 ellen 2 palmen is, hoe lang is dan de andere diagonaal?
Antw. 3 Ellen 3 palmen.
21. Van eenen cirkel is de middellijn 2 palmen. Men vraagt naar de zijden van de om- en ingeschreven gelijkzijdige driehoeken.
Antw. De zijde des eersten 1,732 palm en die des laatsten 3,464.
22. Om eenen cirkel, waarvan de inhoud 5 vierkante ellen 71 vierkante palmen is, is een vierkant beschreven; men vraagt naar den inhoud van dit kwadraat.
Antw. 6 Vierkante ellen.
23. Van eenen cirkel is de omtrek 6 ellen 2 palmen 8 duimen; men vraagt naar de zijden van het grootste kwadraat, dat in denzelven kan beschreven worden.
Antw. 1 El 4 palmen 1 duim ruim.
24. Van eenen scherphoekigen driehoek doen de opstaande zijden 3 ellen en 2 ellen 6 palmen, en de loodregte hoogte is 2 ellen 4 palmen; men vraagt naar den omtrek van den cirkel, die in denzelven kan beschreven worden.
Antw. 5 Ellen 2 duimen 4 strepen.
25. In eenen cirkel is een regelmatige vijfhoek beschreven, waarvan elke zijde 4 ellen 8 palmen lang is; zoo nu de loodlijn, die uit het middelpunt op eene der zijden valt, 3 ellen 2 palmen is, hoe veel bedraagt dan de inhoud van dezen vijfhoek?
Antw. 38 Vierk. ellen 40 vierk. palmen.
26. Zoo de inhoud van eenen regelmatigen vijfhoek, in eenen cirkel beschreven, 9 vierkante ellen 60 vierkante palmen is, hoe lang is dan elke zijde?
Antw. 2 Ellen 4 palmen.
27. In eenen gelijkbeenigen driehoek zijn twee cirkels boven elkander beschreven, die elkander en de zijden van den driehoek aanraken; als nu de middellijn van den grootsten cirkel 6 palmen 3 duimen en van den kleinsten 2 palmen 8 duimen is, vraagt men naar de zijden des driehoeks.
Antw. De bazis 9 palmen 4 duimen 5 strepen en elk been 1 el 2 palmen 2 duimen 8,5 streep.
28. Van eenen cirkel doet de diameter 80 duimen; men vraagt naar den inhoud van den regelmatigen zeshoek, die in denzelven kan beschreven worden.
Antw. 2400 wortel 3 Vierkante duimen.
29. In eenen cirkel, welks middellijn 9 palmen 6 duimen doet, is een regelmatige veelhoek beschreven, waarvan elke zijde 5 palmen 6 duimen 4 strepen lang is; hoe groot zal de omtrek van eenen cirkel zijn, waarin een gelijkvormige veelhoek geschreven is, welks zijde 1 palm 4 duimen 1 streep bedraagt?
Antw. 7 Palmen 5 duimen 3,6 streep.
30. Als de omtrek eens cirkels 3 ellen 1 palm 4 duimen en de zijde van eenen regelmatigen negenhoek, in den cirkel beschreven, 3 palmen 4 duimen 2,02 streep lang is, hoe lang is dan de zijde van eenen gelijkvormigen veelhoek, zoo de straal van den omgeschreven cirkel op 5 ellen wordt gemeten?
Antw. 3 Ellen 4 palmen 2 duimen 0,2 streep.
31. In eenen regthoekigen driehoek, welks regthoekszijden AB en AC de lengte hebben van 24 en 32 palmen, is een cirkel beschreven en door het middelpunt F uit den regten hoek eene regte lijn getrokken, snijdende de hypothenusa in K. Men vraagt naar de lengte van de beide deelen, waarin de hypothenusa door deze lijn gedeeld is.
Antw. Het eene deel 111/7 en het andere 226/7 palm.
32. Op een cirkelvormig stuk land, dat door eene gracht omringd en 1256 vierkante ellen groot is, staat een gebouw, welks hoeken 5,858 el van den kant des waters verwijderd zijn. Men vraagt naar de lengte en breedte van dit gebouw.
Antw. 14,142 ²√2 El.
33. Van eenen regthoekigen driehoek is de inhoud = 60 en de omtrek = 40; men vraagt naar den inhoud des ingeschreven cirkels.
Antw. 282/7.
34. Van eenen gelijkzijdigen driehoek is iedere zijde = 6. Vrage naar den diameter des cirkels, die om den driehoek kan beschreven worden.
Antw. 9.24 Vierk. eenheden nagenoeg.
§ 1. De voorwerpen, welke onder het bereik onzer zinnen vallen, hebben eene meerdere of mindere uitgebreidheid, welke wij de ligchamelijke noemen.
§ 2. Een ligchaam is in alle rigtingen, in lengte, breedte en hoogte tot deszelfs grenzen uitgebreid.
§ 3. Alle ligchamen, welke door platte vlakken begrensd worden, heeten veelvlakkige ligchamen. De platte vlakken heeten de zijden en de lijnen, volgens welke zij aan elkander sluiten, de ribben van het ligchaam.
§ 4. De ruimte, welke een ligchaam inneemt, wordt deszelfs inhoud genoemd. Men gebruikt hiertoe ook het woord volume.
§ 5. De ligchamen, welke door een gelijk getal van gelijkvormige vlakken begrensd worden, zijn gelijkvormig.
§ 1. Een product van drie gelijke getallen wordt de kubus, de derde magt of teerling van dat getal genoemd; zoo zijn 3 * 3 * 3 = 27, 5 * 5 * 5 = 125, 9 * 9 * 9 = 729 kubus- of kubiek-getallen. Men verkrijgt ook de derde magt van eene grootheid, wanneer men het vierkant derzelve nog eens met haren wortel vermenigvuldigt.
§ 2. De kubiek-wortel uit een getal (343) te trekken, is het getal (7), hetwelk, tot de derde magt verheven zijnde, dit getal (343) weder voortbrengt, te bepalen.
§ 3. Het teeken ³√, voor een getal staande, geeft te kennen, dat er de kubiek-wortel uit getrokken moet worden.
§ 4. Om den kubiek-wortel van een getal te vinden volgt men dezen algemeenen regel:
1°. Verdeel het gegeven getal van de regterhand af in vakken van drie cijfers.
2°. Neem den naasten wortel uit het eerste of voorste vak; trek deszelfs kubus daarvan af, en voeg achter het verschil de cijfers van het tweede vak.
3°. Neem nu het vierkant des gevonden wortels, en plaats hier naast den wortel zelven; vermenigvuldig beiden met 3; onderzoek door deeling hoe veel maal het eerste dezer producten in de rest, altijd met weglating der twee achterste cijfers, begrepen zij, vermenigvuldig het verkregen quotient met den deeler en het daar naast staande product met het kwadraat van dit quotient, en plaats daar achter nog de derde magt van het quotient; plaats vervolgens onder dit laatste getal eerst het tweede en hier onder weder het eerste product, zoodanig dat elk één cijfer vooruitkome; tel deze getallen te zamen, en trek de som van de rest af.
4°. Plaats achter het verkregen verschil de cijfers van het derde vak, herhaal dezelfde bewerking, en handel op gelijke wijze om al de overige cijfers van den wortel te vinden.
Voorbeeld. Hoe veel is de kubiek-wortel uit 17576?