% a plain Tex file for a 25-page document % title of the paper: Calcul basique des permutations sign\'ees, II % authors: Dominique Foata and Guo-Niu Han % accepted for publication in Electronic J. Combinatorics: Dec. 4, 1996 \magnification=1200 \hsize=12.67cm \vsize=19.08cm \hoffset=.2cm \frenchspacing \def\qed{\quad\raise -2pt\hbox{\vrule \vbox to 10pt{\hrule width 4pt \vfill\hrule}\vrule}} \def\ligne{\mathop{\rm ligne}\nolimits} \def\iligne{\mathop{\rm iligne}\nolimits} \def\iddes{\mathop{\rm iddes}\nolimits} \def\ddes{\mathop{\rm ddes}\nolimits} \def\had{\mathop{\hbox{\eightrm H}}\nolimits} \def\exc{\mathop{\rm exc}\nolimits} \def\sep{\,|\,} \def\des{\mathop{\rm des}\nolimits} \def\ides{\mathop{\rm ides}\nolimits} \def\icodes{\mathop{\rm icodes}\nolimits} \def\maj{\mathop{\rm maj}\nolimits} \def\comaj{\mathop{\rm comaj}\nolimits} \def\icomaj{\mathop{\rm icomaj}\nolimits} \def\codes{\mathop{\rm codes}\nolimits} \def\imaj{\mathop{\rm imaj}\nolimits} \def\inv{\mathop{\rm inv}\nolimits} \def\coinv{\mathop{\rm coinv}\nolimits} \def\card{\mathop{\rm card}\nolimits} \def\rise{\mathop{\rm rise}\nolimits} \catcode`\@=11 \def\matrice#1{\left(\null\vcenter {\normalbaselines \m@th \ialign {\hfil $##$\hfil &&\ \hfil $##$\hfil\crcr \mathstrut \crcr \noalign {\kern -\baselineskip } #1\crcr \mathstrut \crcr \noalign {\kern -\baselineskip }}}\right)} \def\petitematrice#1{\left(\null\vcenter {\normalbaselines \m@th \ialign {\hfil $##$\hfil &&\thinspace \hfil $##$\hfil\crcr \mathstrut \crcr \noalign {\kern -\baselineskip } #1\crcr \mathstrut \crcr \noalign {\kern -\baselineskip }}}\right)} \catcode`\@=12 \def\bfu{{\bf u}} \def\bfv{{\bf v}} \def\bfc{{\bf c}} \def\bfd{{\bf d}} \def\bfw{{\bf w}} \def\bbX{{\bboard X}} \def\bbY{{\bboard Y}} \def\bbN{{\bboard N}} \def\bfd{{\bf d}} \def\bfp{{\bf p}} \def\bfq{{\bf q}} \def\bfJ{{\bf J}} \def\bfi{{\bf i}} \def\bfb{{\bf b}} \def\bfB{{\bf B}} \def\bfQ{{\bf Q}} \def\bfP{{\bf P}} \def\bfK{{\bf K}} \def\bfk{{\bf k}} \def\bfM{{\bf M}} \def\bfm{{\bf m}} \def\bfR{{\bf R}} \def\bfr{{\bf r}} \def\bfS{{\bf S}} \def\bfs{{\bf s}} \def\bbX{{\rm X\kern-6pt X}} \def\bbY{{\rm Y\kern-6pt Y}} \def\bbN{{\rm N\kern-6pt N}} \def\bbQ{{\rm Q\kern-6pt Q}} \def\proof{{\smc Proof.\enspace }} \def\bfc{{\bf c}} \long\def\proclaim #1. #2\endproclaim{\medbreak {\bf #1.\enspace}{\sl#2}\par\medbreak} \font\eightrm=cmr8 \font\eighti=cmmi8 \font\eightsy=cmsy8 \font\eightbf=cmbx8 \font\eighttt=cmtt8 \font\eightit=cmti8 \font\eightsl=cmsl8 \font\sixrm=cmr6 \font\sixi=cmmi6 \font\sixsy=cmsy6 \font\sixbf=cmbx6 \skewchar\eighti='177 \skewchar\sixi='177 \skewchar\eightsy='60 \skewchar\sixsy='60 \catcode`\@=11 \def\eightpoint{% \textfont0=\eightrm \scriptfont0=\sixrm \scriptscriptfont0=\fiverm \def\rm{\fam\z@\eightrm}% \textfont1=\eighti \scriptfont1=\sixi \scriptscriptfont1=\fivei \def\oldstyle{\fam\@ne\eighti}% \textfont2=\eightsy \scriptfont2=\sixsy \scriptscriptfont2=\fivesy \textfont\itfam=\eightit \def\it{\fam\itfam\eightit}% \textfont\slfam=\eightsl \def\sl{\fam\slfam\eightsl}% \textfont\bffam=\eightbf \scriptfont\bffam=\sixbf \scriptscriptfont\bffam=\fivebf \def\bf{\fam\bffam\eightbf}% \textfont\ttfam=\eighttt \def\tt{\fam\ttfam\eighttt}% 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MMSC}} \def\MMSsix{\hbox{\sixrm MMS}} \def\MMSCsix{\hbox{\sixrm MMSC}} \def\PC{\hbox{\eightrm PC}} \def\MC{\mathop{\rm MD}\nolimits} \def\Mot{\mathop{\rm Mot}} \def\Multimot{\mathop{\rm Multimot}\nolimits} \def\decale#1|{\par\noindent\hskip 28pt\llap{#1}\kern 5pt} \catcode`\@=12 \font\smcp=cmcsc8 \headline={\ifnum\pageno>1 {\smcp the electronic journal of combinatorics 4 (2) (1997), \#R9\hfil\folio}\fi} \vglue1.2cm \centerline{\bf CALCUL BASIQUE DES PERMUTATIONS SIGN\'EES, II:} \vskip 5pt \centerline{{\bf ANALOGUES FINIS DES FONCTIONS DE BESSEL} \footnote{$(^*)$}{Avec le concours du programme des Communaut\'es Europ\'eennes en Combinatoire Alg\'ebrique, 1994-96.}} \bigskip \bigskip \centerline{\hbox{\vtop{\halign{\hfil#\hfil\cr {\it Dominique FOATA}\cr \noalign{\smallskip} D\'epartement de math\'ematique\cr Universit\'e Louis Pasteur\cr 7, rue Ren\'e-Descartes,\cr F-67084 Strasbourg, France\cr email: {\tt foata@math.u-strasbg.fr}\cr}}\qquad \vtop{\halign{\hfil#\hfil\cr {\it Guo-Niu HAN}\cr \noalign{\smallskip} {\eightrm I.R.M.A.}\cr Universit\'e Louis Pasteur et {\eightrm C.N.R.S.}\cr 7, rue Ren\'e-Descartes\cr F-67084 Strasbourg, France\cr email: {\tt guoniu@math.u-strasbg.fr}\cr}}}} \bigskip \centerline{Submitted: October 4, 1996; Accepted: December 4, 1996} \bigskip\bigskip {\eightpoint \centerline{\vbox{\halign{\sl \hfil#\hfil\cr To Herb Wilf, for his many-faceted accomplishments\cr in Mathematics, his successful guidance of doctoral students,\cr his scientific editorship, and last but not least,\cr his masterly contribution to Electronic Publishing.\cr}}} } \bigskip\bigskip {\narrower\narrower\eightpoint \noindent {\eightbf Abstract:} The traditional basic calculus on permutation statistic distributions is extended to the case of signed permutations. This provides with a combinatorial interpretation of the basic Bessel functions and their finite analogues. \medskip\noindent {\eightbf R\'esum\'e:} Le calcul basique classique sur les distributions des statistiques des permutations est prolong\'e au cas des permutations sign\'ees. Ce calcul permet ainsi de donner une interpr\'etation combinatoire aux fonctions basiques de Bessel et \`a leurs analogues finis. } \bigskip\medskip \centerline{\bf Sommaire} \medskip \long\def\somr #1|#2|{\noindent\hbox to 18pt{\hfil #1}{#2\hfil}\par} \somr1. |Introduction| \somr 2. |Les fonctions de Bessel \`a plusieurs bases| \somr 3. |Une image homomorphe de multi-mots sign\'es| \somr 4. |Un calcul \`a la Fedou-Rawlings| \somr 5. |Les multipermutations sign\'ees| \somr 6. |Une premi\`ere bijection| \somr 7. |La seconde bijection| \somr 8. |Le calcul de la premi\`ere fonction g\'en\'eratrice| \somr9. |Fonction g\'en\'eratrice de toutes les multi-permutations sign\'ees| \somr10. |L'interpr\'etation en termes de nombre d'inversions| \somr|Bibliographie| \vfill\eject \centerline{\bf 1. Introduction} \medskip Dans notre premier article sur le calcul basique des permutations sign\'ees\break [FoHa96], nous avons fait une \'etude combinatoire du d\'evelop\-pement en s\'erie en bases \bfQ\ et \bfq\ de la fraction $$\displaylines{(1.1)\quad {(1-t)\,\bfJ((1-t)X;\bfQ,\bfq) \over -t+\bfJ((1-t)X;\bfQ,\bfq)\,\bfJ((1-t)Y;\bfQ,\bfq)}\hfill\cr \hfill{} =\sum_{n\ge 0} {1\over (\bfQ;\bfQ)_n(\bfq;\bfq)_n}\, W_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq).\quad\cr} $$ Dans cette formule, nous utilisons les notations usuelles [An76, GaRa90] sur les $q$-factorielles montantes $$ \eqalign{(a;q)_n&=\cases{1,&si $n=0$ ;\cr (1-a)(1-aq)\,\ldots\,(1-aq^{n-1}),&si $n\ge 1$ ;\cr}\cr (a;q)_{\infty }&=\lim\nolimits_n(a;q)_n =\prod_{n\geq 0}(1-aq^n)\,;\cr} $$ puis, \'etant donn\'es deux entiers positifs $L$ et $l$ et \'etant donn\'ees les suites de variables $\bfQ=(Q_1,Q_2,\ldots,Q_L)$, $\bfq=(q_1,q_2,\ldots, q_l)$, nous posons $$\leqalignno{ \bfQ^{n\choose 2}&=Q_1^{n\choose 2}\ldots Q_L^{n\choose 2},\cr (\bfQ;\bfQ)_n&=(Q_1;Q_1)_n\ldots (Q_L;Q_L)_n,\cr (\bfq;\bfq)_n&=(q_1,q_1)_n\ldots(q_l;q_l)_n.\cr} $$ La {\it fonction de Bessel basique} est alors d\'efinie par $$ \bfJ(u;\bfQ,\bfq)=\sum_{n\ge 0} (-1)^n {\bfQ^{n\choose 2}\over (\bfQ,\bfQ)_n} {1\over (\bfq;\bfq)_n}u^n.\leqno(1.2) $$ Le but principal de notre premier article \'etait de montrer que le coefficient\break $W_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq)$ \'etait le polyn\^ome g\'en\'erateur d'objets combinatoires, \`a savoir les multipermutations sign\'ees $(\underline\Sigma, \underline \sigma ,\varepsilon )$ par une suite de statistiques not\'ee $$ (\ddes,\inv,\coinv)\leqno(1.3) $$ adapt\'ee aux permutations sign\'ees, prolongeant, de fa\c con naturelle, les r\'esultats classiques sur les permutations ordinaires. Nous avons regroup\'e, dans le paragraphe~5, les d\'efinitions de ces statistiques. Le but de ce second article est d'abord de faire une \'etude combinatoire sys\-t\'e\-ma\-tique de ce que nous appelons les {\it analogues finis} des fonctions de Bessel basiques $\bfJ_\bfk^\bfK(u;\bfQ,\bfq)$. Leur d\'efinition est donn\'ee dans le paragraphe~2; il faut noter qu'en plus des suites de bases \bfQ\ et \bfq, ces fonctions d\'ependent de deux suites de param\`etres \bfK\ et \bfk. Celles-ci ont d\'ej\`a \'et\'e introduites dans l'article de Fedou et Rawlings [FeRa94]. Pour ne pas alourdir les notations dans cette introduction, nous supposons d'abord que \bfQ, \bfq, \bfP, \bfp\ sont de simples bases~$Q$, $q$, $P$, $p$, d'autre part, que les param\`etres venant en exposant et en indice dans ces fonctions de Bessel sont des entiers positifs: $K$, $k$, $M$, $m$. Le second but du pr\'esent article est d'\'etudier l'extension du d\'eveloppement (1.1) sous la forme: $$\displaylines{(1.4)\quad \sum_{K,M,k,m} R^{K}S^{M}r^{k}s^{m} {(1-t)\,\bfJ^K_k((1-t)X;P,p) \over -t+\bfJ^K_k((1-t)X;P,p)\, \bfJ^M_m((1-t)Y;Q,q) } \hfill\cr \hfill{}= \sum_{\alpha \ge 0,\,\beta \ge 0} {1\over (R;P)_{\alpha+1}}\, {1\over (S;Q)_{\beta+1}}\, {1\over (r;p)_{\alpha+1}}\, {1\over (s;q)_{\beta+1}}\, X^\alpha Y^\beta W_{\alpha,\beta}.\cr} $$ Nous montrerons (Th\'eor\`eme 8.1) que le coefficient $W_{\alpha,\beta}$ est le polyn\^ome g\'en\'erateur des multipermutations sign\'ees d'ordre $(\alpha,\beta)$ ($\alpha+\beta=n$), dites compatibles, par une suite de statistiques $$ (\ddes,\ides_x,\ides_y,\imaj_x,\imaj_y, \icodes_x,\icodes_y,\icomaj_x,\icomaj_y).\leqno(1.5) $$ Le troisi\`eme but de l'article sera de montrer que l'identit\'e (1.4) se sp\'ecialise en l'identit\'e (1.1) en donnant une {\it nouvelle} interpr\'etation combinatoire au polyn\^ome\break $W_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq)$, qui appara\^\i tra alors comme la fonction g\'en\'eratrice des multipermutations sign\'ees par une {\it autre} suite de statistiques que la suite (1.3), \`a savoir $$(\ddes,\imaj,\icomaj),\leqno(1.6)$$ o\`u ``imaj" et ``icomaj" sont des statistiques sur les permutations sign\'ees, se r\'eduisant aux statistiques du m\^eme nom connues pour les permutations ordinaires. Pour retrouver le r\'esultat de notre article pr\'ec\'edent et donc montrer que le polyn\^ome $W_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq)$ est la fonction g\'en\'eratrice de ces multipermutations sign\'ees par la suite (1.3) au lieu de la suite (1.6), nous construirons une {\it bijection} de l'ensemble des multipermutations sign\'ees d'ordre~$n$ sur lui-m\^eme, qui enverra le vecteur (1.3) sur le vecteur (1.6). %\medskip L'organisation de l'article est la suivante. Le prochain paragraphe est consacr\'e \`a l'\'etude des fonctions de Bessel. On y introduit notamment les {\it analogues finis} $e_q^k(u)$ et $E_Q^K(u)$ des fonctions $q$-exponentielles et $Q$-exponentielles. En prenant le produit d'Hadamard de telles fonctions, on peut d\'efinir les {\it analogues finis des fonctions de Bessel \`a plusieurs bases}, en toute g\'en\'eralit\'e. Dans les paragraphes 3 et~4, nous montrons que la fraction apparaissant dans le membre de gauche de (1.4) est l'image homomorphe de la fonction g\'en\'eratrice de {\it tous} les multi-mots sign\'es par une certaine statistique appel\'ee ``rise." Le paragraphe~5 est consacr\'e \`a la description de toutes les statistiques utilis\'ees. Nous donnons ensuite dans les paragraphes~6 et~7, les correspondances entre mots sign\'es et permutations sign\'ees, permettant dans le paragraphe~8 de calculer la fonction g\'en\'eratrice des multipermutations sign\'ees par la statistique (1.5) dont les composantes auront \'et\'e pr\'ecis\'ees. Nous terminons l'article par un paragraphe~9, qui fait appara\^\i tre des sp\'ecialisations utiles et par un paragraphe~10 qui donne une nouvelle d\'emonstration du r\'esultat principal de notre premier article. Pour la commodit\'e du lecteur, nous avons construit une table de plusieurs sp\'ecialisations du Th\'eor\`eme~8.1, qui nous semblent les plus int\'eressantes. Cette table est accessible sur le r\'eseau WWW [FoHa96a]. On y retrouve, notamment, les r\'esultats ant\'erieurs d\^us \`a Carlitz, Stanley, Fedou et Rawlings\dots \goodbreak \bigskip \centerline {\bf 2. Les fonctions de Bessel \`a plusieurs bases} \medskip D'abord rappelons (voir, e.g., [An76, GaRa90]) le c\'el\`ebre th\'eor\`eme $q$-binomial $$\leqalignno{ \sum_{n\ge 0} (a;q)_n{u^n\over (q;q)_n} &={(au;q)_\infty\over (u;q)_\infty}\,;\cr \noalign{\hbox{ainsi que les d\'eveloppements des deux $q$-exponentielles}} e(u)=e_q(u)&=\sum_{n\ge 0} {u^n\over (q;q)_n} ={1\over (u;q)_\infty}\,;\cr E(u)=E_Q(u)&=\sum_{n\ge 0} {Q^{n\choose 2} u^n\over (Q;Q)_n}=(-u;Q)_\infty\,;\cr \noalign{\hbox{enfin, la notation pour le {\it coefficient $q$-binomial}}} {n\brack k}_q&={(q;q)_n\over (q;q)_k\,(q;q)_{n-k}}.\cr} $$ Les $q$-factorielles montantes et les coefficients $q$-binomiaux s'interpr\`e\-tent en termes de comptage de mot croissants. Les formules suivantes sont classiques et sont des cons\'equences faciles du th\'eor\`eme $q$-binomial. Les symboles \bfb\ et \bfB\ ci-dessous repr\'esentent des suites {\it croissantes} $b_1\le b_2\le \cdots \le b_n$ et {\it strictement croissantes} $B_1\Sigma_1(i+1)$, \dots~, $\Sigma_L(i)>\Sigma_L(i+1)$, ainsi que $\sigma_1(i)>\sigma_1(i+1)$, \dots~, $\sigma_l(i)>\sigma_l(i+1)$; } On note $\ddes(\underline \Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon)$ le {\it nombre de descentes} de $(\underline \Sigma,\underline\sigma ,\varepsilon )$. \medskip Les statistiques intervenant dans (1.5) autres que ``ddes" sont des statistiques sur les permutations sign\'ees $(\Sigma_i,\varepsilon)$ $(i=1,\ldots,L)$ et $(\sigma_i,\varepsilon)$ $(i=1,\ldots,l)$. Nous donnons leurs d\'efinitions ci-apr\`es. \medskip Le {\it nombre de descentes} ``$\des w$," l'{\it indice majeur} ``$\maj w$" et le {\it nombre d'in\-ver\-sions} ``$\inv w$" d'un mot $w=x_1x_2\ldots x_m$, dont les lettres appartiennent \`a un ensemble totalement ordonn\'e, sont traditionnellement d\'efinis par: $$ \eqalignno{\des w&=\sum_{1\le i\le m-1} \chi(x_i>x_{i+1})\,;\cr \maj w&=\sum_{1\le i\le m-1} i\,\chi(x_i>x_{i+1})\,;\cr \inv w&=\sum_{1\le i x_j).\cr } $$ Nous introduisons, en plus, le {\it nombre} de mont\'ees ou {\it de co-descentes} ``$\codes$," l'{\it indice co-majeur} ``$\comaj w$" et le {\it nombre de co-inversions} ``$\coinv w$" d\'efinis par: $$ \eqalign{ \codes w&=\sum_{1\le i\le m-1} \chi(x_i\sigma(j)\}. $$ Ces statistiques sur des sous-mots permettent de d\'efinir les statistiques suivantes sur les permutations sign\'ees $(\sigma ,\varepsilon )$: $$ \eqalign{ \ides \sigma _{\varepsilon |x}&=\des \sigma _{\varepsilon |x}^{-1}\,;\cr \ides \sigma _{\varepsilon |y}&=\des \sigma _{\varepsilon |y}^{-1}\,;\cr \imaj \sigma _{\varepsilon |x}&=\maj \sigma _{\varepsilon |x}^{-1}\,;\cr \imaj \sigma _{\varepsilon |y}&=\maj \sigma _{\varepsilon |y}^{-1}\,;\cr} \qquad \eqalign{ \icodes \sigma _{\varepsilon |x}&=\codes \sigma _{\varepsilon |x}^{-1}\,;\cr \icodes \sigma _{\varepsilon |y}&=\codes \sigma _{\varepsilon |y}^{-1}\,;\cr \icomaj \sigma _{\varepsilon |x}&=\comaj \sigma _{\varepsilon |x}^{-1}\,;\cr \icomaj \sigma _{\varepsilon |y}&=\comaj \sigma _{\varepsilon |y}^{-1}\,;\cr } $$ On introduit de plus $$\eqalign{ \imaj(\sigma,\varepsilon ) &=\imaj \sigma _{\varepsilon |x}+\imaj \sigma _{\varepsilon |y} +\inv(\sigma_{\varepsilon |y},\sigma_{\varepsilon |x}) \,;\cr \icomaj(\sigma,\varepsilon ) &=\icomaj \sigma _{\varepsilon |x}+\icomaj \sigma _{\varepsilon |y} +\inv(\sigma_{\varepsilon |y},\sigma_{\varepsilon |x})\,;\cr \inv(\sigma,\varepsilon ) &=\inv \sigma _{\varepsilon |x}+\inv \sigma _{\varepsilon |y}+\inv(\sigma_{\varepsilon |y},\sigma_{\varepsilon |x})\,;\cr \coinv(\sigma,\varepsilon ) &=\coinv \sigma _{\varepsilon |x}+\coinv \sigma _{\varepsilon |y}+\inv(\sigma_{\varepsilon |y},\sigma_{\varepsilon |x}).\cr } $$ \medskip {\it D\'efinition}. Supposons que $\varepsilon $ a $\alpha $ lettres \'egales \`a~$x$ et $\beta $ lettres \'egales \`a~$y$ $(\alpha +\beta =n)$. On dit que la permutation $\sigma $ est {\it compatible avec}~$\varepsilon $ (ou encore que la permutation sign\'ee $(\sigma ,\varepsilon )$ est {\it compatible\/}), si $$\inv(\sigma_{\varepsilon |y},\sigma_{\varepsilon |x})=0,$$ ou, de fa\c con \'equivalente, si le sous-mot $\sigma _{\varepsilon |y}$ est un r\'earrangement du mot $12\ldots \beta $ (et donc $\sigma _{\varepsilon |x}$ est un r\'earrangement de $(\beta +1)(\beta +2)\ldots n$). \medskip Cette notion sera fondamentale dans les sections suivantes. On note $\PC(\varepsilon )$ l'ensemble des permutations compatibles avec~$\varepsilon $. La permutation sign\'ee trait\'ee dans l'exemple ci-dessus est compatible. En particulier, $\inv(2431,67589)=0$. On a, de plus, $$\eqalign{ \imaj(\sigma ,\varepsilon )&=\maj 71289+\maj 6354+\inv(2431,67589)=5;\cr \icomaj(\sigma ,\varepsilon )&=\comaj 71289+\comaj 6354+\inv(2431,67589)=11;\cr \inv(\sigma ,\varepsilon )&=\inv 67589+\inv 2431+\inv(2431,67589)=6;\cr \coinv(\sigma ,\varepsilon )&=\coinv 67589+\coinv 2431+\inv(2431,67589)=10.\cr} $$ On dit que la multipermutation sign\'ee $(\underline\Sigma,\underline\sigma,\varepsilon)$ est {\it compatible}, si toutes les pemutations sign\'ees $(\Sigma_i,\varepsilon)$ et $(\sigma_i,\varepsilon)$ sont elles-m\^emes compatibles. \goodbreak \bigskip \centerline {\bf 6. Une premi\`ere bijection.} \medskip Notre prochain but est de montrer que la fonction g\'en\'eratrice $$ \sum_{{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}} \bfR^{\bfK}\bfS^{\bfM}\bfr^{\bfk}\bfs^{\bfm} \,F\textstyle{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}, $$ o\`u les $F{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}$ sont eux-m\^emes des fonctions g\'en\'eratrices de multimots sign\'es ({\it cf}. (4.2)), peut s'exprimer comme fonction g\'en\'eratrice de multipermutations sign\'ees. Ce r\'esultat repose sur un codage des mots sign\'es par des permutations sign\'ees, codage que nous d\'ecrivons dans ce paragraphe et le suivant. Si $\varepsilon $ est un mot-$xy$ fix\'e, notons $\Mot(\varepsilon ;k,m)$ l'ensemble de tous les mots~$b$, de m\^eme longueur que~$\varepsilon $, tels que les lettres de $b_{\varepsilon |x}$ (resp. de $b_{\varepsilon |y}$) sont des entiers positifs au plus \'egaux \`a~$k$ (resp. \`a~$m$). Enfin, d\'esignons par $\MC_\alpha (k')$ l'ensemble des mots croissants~$\lambda $, de longueur~$\alpha $, dont toutes les lettres sont au plus \'egales \`a~$k'$. Autrement dit, $\lambda \in \MC_\alpha (k')$ si et seulement si $\lambda =\lambda (1)\lambda (2)\ldots \lambda (\alpha )$ et $0\le \lambda (1)\le \cdots \le \lambda (\alpha )\le k'$. Il r\'esulte de (2.7) que l'on a $$ \sum_{k'\ge 0}r^{k'}\sum_{\lambda \in \MC_\alpha (k')} p^{\|\lambda \|} = e_p^\alpha (r) ={1\over (r;p)_{\alpha +1}}.\leqno(6.1) $$ \vskip-7pt \proclaim Proposition 6.1. Le mot $\varepsilon $ \'etant donn\'e, ainsi que les entiers positifs~$k$ et~$m$, il existe une bijection qui envoie tout mot $b\in \Mot(\varepsilon ;k,m)$ sur un quintuplet $(k',m',\sigma ,\lambda ,\theta )$ satisfaisant les relations: \decale{\rm (i)}|$\sigma \in \PC(\varepsilon );\quad k=k'+\icodes \sigma _{\varepsilon |x};\quad m=m'+\icodes \sigma _{\varepsilon |y};$ \decale{\rm (ii)}|$\lambda \in \MC_\alpha (k')$, $\theta \in \MC_\beta (m')$, o\`u $\alpha =\ell(\varepsilon |x)$ et $\beta =\ell(\varepsilon |\beta )$; \decale{\rm (iii)}|$\|b_{\varepsilon |x}\| =\icomaj \sigma _{\varepsilon |x}+\|\lambda \|;\quad \|b_{\varepsilon |y}\| =\icomaj \sigma _{\varepsilon |y}+\|\theta \|$. \decale{\rm (iv)}|$i$ est une $\varepsilon $-mont\'ee de~$b$ ssi $i$ est une $\varepsilon $-descente de~$\sigma $. \endproclaim La bijection repose sur une m\'ethode de r\'earrangement mise au point par MacMahon (voir [An76, chap.~3]), souvent appel\'ee {\it MacMahon Verfahren}, qu'il faut chaque fois adapter au probl\`eme sous-jacent (voir [Fo95], [ClFo95], [FoZe95], [FoKr95]). Une extension de cette m\'ethode, plus appropri\'ee pour l'\'etude des ensembles partiellement ordonn\'es (``posets"), a \'et\'e mise au point par Stanley et ses \'el\`eves (voir [St72], [Re93]) dans l'alg\`ebre des $P$-$\omega $-partitions. \medskip Nous d\'ecrivons la construction de cette bijection \`a l'aide d'un exemple. Dans celui-ci, on prend d'abord: $$ n=9;\quad k=9;\quad m=8; \quad \varepsilon =x\,x\,y\,y\,y\,y\,x\,x\,x, $$ de sorte que $\alpha =5$ et $\beta =4$. Soit, de plus, $b=9\,5\,4\,0\,0\,6\,9\,1\,0\in \Mot(\varepsilon ;9,8)$. \medskip {\it Premi\`ere \'etape}. Noter en gras (resp. en maigre) les lettres $b(i)$ de $b$ telles que $\varepsilon (i)=x$ (resp. telles que $\varepsilon (i)=y$). Num\'eroter ensuite~1 la plus grande lettre maigre de~$b$ situ\'ee la plus {\it \`a droite}, puis~2 la plus grande lettre maigre de~$b$ situ\'ee la plus \`a droite non encore num\'erot\'ee, \dots~, enfin~$\beta $ la derni\`ere lettre maigre non encore num\'erot\'ee (donc la plus petite lettre la plus \`a gauche). Continuer en num\'erotant $\beta +1$ la la plus grande lettre grasse la plus {\it \`a droite}, puis~$\beta +2$ la plus grande lettre grasse la plus \`a droite non encore num\'erot\'ee, \dots~, enfin $\beta +\alpha =n$ la derni\`ere lettre grasse non encore num\'erot\'ee (donc la plus petite lettre grasse la plus \`a gauche). On d\'efinit ainsi la permutation~$\sigma $ associ\'ee \`a~$b$, qui est forc\'ement compatible avec~$\varepsilon $. Dans l'exemple $$ \matrix{\cr \varepsilon ={}\cr b={}\cr \sigma ={}\cr} \matrice{\bf 1&\bf 2&3&4&5&6&\bf7&\bf 8&\bf 9\cr x&x&y&y&y&y&x&x&x\cr \bf 9&\bf 5&4&0&0&6&\bf 9&\bf 1&\bf 0\cr \bf 6&\bf 7&2&4&3&1&\bf 5&\bf 8&\bf 9\cr} $$ {\it Deuxi\`eme \'etape}. Le {\it icomaj-codage} $c$ pour $(\sigma ,\varepsilon )$ est ainsi d\'efini: sous la lettre (maigre)~$\beta $ de~$\sigma $ on \'ecrit (en maigre)~0 et on pose $c(\beta )=0$; sous la lettre $\beta -1$ on \'ecrit (en maigre)~$c(\beta-1)=c(\beta )=0$ ou $c(\beta )+1=1$, suivant que $\beta -1$ est \`a la gauche ou \`a la droite de~$\beta $; sous la lettre $\beta -2$ on \'ecrit (en maigre)~$c(\beta-2)=c(\beta -1)$ ou $c(\beta -1)+1$, suivant que $\beta -2$ est \`a la gauche ou \`a la droite de~$\beta -1$, etc. De m\^eme, sous la lettre (grasse)~$n$ de~$\sigma $ on \'ecrit (en gras)~0 et on pose $c(n)=0$; sous la lettre $n-1$ on \'ecrit (en gras)~$c(n-1)=c(n)=0$ ou $c(n)+1=1$, suivant que $n-1$ est \`a la gauche ou \`a la droite de~$n$; sous la lettre $n-2$ on \'ecrit (en gras)~$c(n-2)=c(n-1)$ ou $c(n-1)+1$, suivant que $n-2$ est \`a la gauche ou \`a la droite de~$n-1$, etc. Dans l'exemple, \'ecrivons $c(i)$ sous la {\it lettre \'egale \`a}~$i$ de~$\sigma $, de sorte que le mot effectivement \'ecrit est $c\circ \sigma =c(\sigma (1))c(\sigma (2))\ldots c(\sigma (n))$: $$ \matrix{\quad \sigma ={}\cr c\circ \sigma ={}\cr} \matrice{ \bf 6&\bf 7&2&4&3&1&\bf 5&\bf 8&\bf 9\cr \bf 3&\bf 2&1&0&0&1&\bf 3&\bf 1&\bf 0\cr}. $$ {\it Troisi\`eme \'etape}. Faire la diff\'erence $b-c\circ \sigma $ terme \`a terme, en notant maigre ou gras la diff\'erence $b(i)-c\circ \sigma (i)$ suivant que les deux termes sont eux-m\^emes maigres ou gras. On obtient: $$ \matrix{\kern 29pt b={}\cr \kern 14pt c\circ \sigma ={}\cr b-c\circ \sigma ={}\cr} \matrice{\bf 9&\bf 5&4&0&0&6&\bf 9&\bf 1&\bf 0\cr \bf 3&\bf 2&1&0&0&1&\bf 3&\bf 1&\bf 0\cr \bf 6&\bf 3&3&0&0&5&\bf 6&\bf 0&\bf 0\cr }. $$ Le mot croissant $\lambda $ (resp. $\theta$) est simplement d\'efini comme le r\'earrangement croissant des lettres grasses (resp. des lettres maigres) du mot $b-c\circ \sigma $. Ici $$ \lambda ={\bf 0\,0\,3\,6\,6}\qquad{\rm et}\qquad \theta=0\,0\,3\,5. $$ Enfin, on d\'efinit: $k'=k-\icodes \sigma _{\varepsilon |x}$, $m'=m-\icodes \sigma _{\varepsilon |y}$. Ici $$\displaylines{ \sigma _{\varepsilon |x}=\matrice{\bf 1&\bf 2&\bf7&\bf 8&\bf 9\cr \bf 6&\bf 7&\bf 5&\bf 8&\bf 9\cr},\quad \sigma _{\varepsilon |y} =\matrice{3&4&5&6\cr 2&4&3&1\cr},\cr \sigma _{\varepsilon |x}^{-1}=\matrice{\bf 5&\bf 6&\bf 7&\bf 8&\bf 9\cr \bf 7&\bf 1&\bf 2&\bf 8&\bf 9\cr},\quad \sigma ^{-1}_{\varepsilon |y}=\matrice{1&2&3&4\cr 6&3&5&4\cr},\cr} $$ de sorte que $\icodes \sigma _{\varepsilon |x}=3$, $\icomaj \sigma _{\varepsilon |x}=2+3+4=9$, $\icodes \sigma _{\varepsilon |y}=1$, $\icomaj \sigma _{\varepsilon |y}=2$. D'o\`u $$\eqalign{k'&=k-\icodes \sigma _{\varepsilon |x}=9-3=6,\cr m'&=m-\icodes \sigma _{\varepsilon |y}=8-1=7.\cr}$$ La bijection suivant la m\'ethode de MacMahon ayant \'et\'e adapt\'ee d\'ej\`a \`a plu\-sieurs occasions, nous pensons nous dispenser de d\'emontrer le carac\-t\`ere bijectif de l'appli\-ca\-tion juste construite et de devoir d\'emontrer les propri\'et\'es (i) -- (iv) de la Proposition~6.1. Nous voulons cependant v\'erifier les donn\'ees sur l'exemple courant et faire quelques commentaires. \decale {(i)}|$\icodes \sigma _{\varepsilon |x}={\bf 3}$ (resp. $\icodes \sigma _{\varepsilon |y}=1$) est {\it la plus grande lettre grasse} (resp. {\it la plus grande lettre maigre\/}) de~$c\circ \sigma $. \decale {(ii)}|Les mots $\lambda $ et $\theta $ ont leurs lettres au plus \'egales respectivement \`a $k'=6$ et \`a $m'=7$. \decale {(iii)}|$\icomaj \sigma _{\varepsilon |x}=9$ (resp. $\icomaj \sigma _{\varepsilon |y}=2$) est encore la {\it somme} des lettres grasses (resp. maigres) de $c\circ \sigma $. La propri\'et\'e (iii) de la Proposition~6.1 est donc \'evidente. \decale {(iv)}|R\'ecrivons $b$ et $\sigma $ l'un au-dessous de l'autre, comme dans la premi\`ere \'etape, en indiquant les $\varepsilon $-mont\'ees pour $b$ et les $\varepsilon $-descentes pour~$\sigma $ par le symbole ``$\bullet$": $$\matrix{\cr b={}\cr \sigma ={}\cr} \matrice{\bf 1&\bf 2&&3&4&&5&&6&\bf7&\bf 8&\bf 9&\cr \bf 9&\bf 5&\bullet&4&0&\bullet&0&\bullet&6&\bf 9&\bf 1&\bf 0&\bullet\cr \bf 6&\bf 7&\bullet&2&4&\bullet&3&\bullet&1&\bf 5&\bf 8&\bf 9&\bullet\cr }. $$ Il y a co\"\i ncidence compl\`ete. \goodbreak \medskip On rappelle que pour un mot $b\in \Mot(k,m)$ on a d\'efini en (3.3) $$\displaylines{ \varphi (b;\varepsilon ;p,q) =p^{\|b_{\varepsilon |x}\|}q^{\|b_{\varepsilon |y}\|}. \cr \noalign{\hbox{Pour une permutation~$\sigma $ posons}} \psi(\sigma ;\varepsilon ;r,s,p,q) =r^{\icodes \sigma_{\varepsilon |x} } s^{\icodes \sigma_{\varepsilon |y}} p^{\icomaj \sigma_{\varepsilon |x} } q^{\icomaj \sigma_{\varepsilon |y}}.\cr} $$ La correspondance $b\mapsto (k',m',\sigma ,\lambda ,\theta)$ de la Proposition~6.1 permet d'\'ecrire $$\displaylines{ \eqalign{ r^k s^m \varphi (b;\varepsilon ;p,q)&=r^k s^m p^{\|b_{\varepsilon |x}\|}q^{\|b_{\varepsilon |y}\|}\cr &=r^{k'+\icodes \sigma _{\varepsilon |x}} s^{m'+\icodes \sigma_{\varepsilon |y}}\cr &\qquad\qquad{}\times p^{\icomaj \sigma_{\varepsilon |x}+\|\lambda \|} q^{\icomaj \sigma_{\varepsilon |y}+\|\theta\|}\cr &=r^{k'}s^{m'} p^{\|\lambda \|} q^{\|\theta\|} \psi(\sigma ;\varepsilon ;r,s,p,q).\cr }\cr \noalign{\hbox{On en tire}} (6.2)\quad \sum_{k\ge 0,m\ge 0} r^ks^m\sum_{b\in \Mot(k,m)} \varphi (b;\varepsilon ;p,q)\hfill\cr \hfill\eqalign{&=\sum_{\scriptstyle k'\ge 0,\atop \scriptstyle m'\ge 0} r^{k'}s^{m'}\sum_{\scriptstyle \lambda \in \MC_\alpha (k'),\atop \scriptstyle \theta\in \MC_\beta (m')} p^{\|\lambda \|} q^{\|\theta\|} \sum_{\sigma \in \PC(\varepsilon )} \psi(\sigma ;\varepsilon ;r,s,p,q)\cr &=e_p^\alpha (r)\,e_q^\beta (s) \sum_{\sigma \in \PC(\varepsilon )} \psi(\sigma ;\varepsilon ;r,s,p,q),\cr }\cr} $$ \`a cause de (6.1). \bigskip \centerline {\bf 7. La seconde bijection.} \medskip Il y a juste quelques modifications \`a apporter \`a la description de la premi\`ere bijection pour obtenir la construction de la seconde. \proclaim Proposition 7.1. Le mot $\varepsilon $ \'etant donn\'e, ainsi que des entiers positifs~$K$ et~$M$, il existe une bijection qui envoie tout mot $B \in \Mot(\varepsilon ;K,M)$ sur un quintuplet $(K',M',\Sigma ,\Lambda ,\Theta)$ satisfaisant les propri\'et\'es suivantes: \decale{\rm (i)}|$\Sigma \in \PC(\varepsilon );\quad K=K'+\ides \Sigma _{\varepsilon |x};\quad M=M'+\ides \Sigma _{\varepsilon |y};$ \decale{\rm (ii)}|$\Lambda \in \MC_\alpha (K')$, $\Theta\in \MC_\beta (M')$, o\`u $\alpha =\ell(\varepsilon |x)$, $\beta =\ell(\varepsilon |y)$; \decale{\rm (iii)}|$\|B_{\varepsilon |x}\| =\imaj \Sigma _{\varepsilon |x}+\|\Lambda \|;\quad \|B_{\varepsilon |y}\|=\imaj \Sigma _{\varepsilon |y}+\|\Theta\|$. \decale{\rm (iv)}|$i$ est une $\varepsilon $-mont\'ee stricte de~$B$ ssi $i$ est une $\varepsilon $-descente de~$\Sigma $. \endproclaim De m\^eme, nous donnons la construction de cette bijection \`a l'aide d'un exemple. On prend le m\^eme mot~$\varepsilon $, puis $K=8$, $M=6$, $B={\bf 4\,7}\,1\,0\,4\,6\,{\bf 3\,3\,5}\in \Mot(\varepsilon ;8,6)$. Dans la {\it premi\`ere} et la {\it deuxi\`eme \'etape}, on d\'efinit $\Sigma$ et$~C$ comme $\sigma $ et $c$ dans la construction du paragraphe pr\'ec\'edent, mais on remplace partout ``\`a droite" par ``\`a gauche" et r\'eciproquement. La troisi\`eme \'etape est identique. On obtient $$ \matrix{\cr \kern36pt \varepsilon ={}\cr\kern35pt B={}\cr \kern35pt \Sigma ={}\cr \kern20pt C\circ\Sigma={}\cr B-C\circ\Sigma={}\cr} \matrice{\bf 1&&\bf 2&&3&4&&5&&6&\bf7&\bf 8&&\bf 9&\cr x&&x&&y&y&&y&&y&x&x&&x&\cr \bf 4&\bullet&\bf 7&\bullet&1&0&\bullet&4&\bullet&6&\bf 3&\bf 3&\bullet&\bf 5&\bullet\cr \bf 7&\bullet&\bf 5&\bullet&3&4&\bullet&2&\bullet&1&\bf 8&\bf 9&\bullet&\bf 6&\bullet\cr \bf 0&&\bf 1&&0&0&&1&&2&\bf 0&\bf 0&&\bf 1&\cr \bf 4&&\bf 6&&1&0&&3&&4&\bf 3&\bf 3&&\bf 4&\cr }, $$ o\`u l'on a indiqu\'e aussi les $\varepsilon $-mont\'ees {\it strictes} pour~$B$ et les $\varepsilon $-descentes pour $\Sigma$ par le symbole ``$\bullet$," celles-ci apparaissant aux m\^emes places. De m\^eme, les mots croissants $\Lambda$ et $\Theta$ sont d\'efinis comme les r\'ear\-ran\-ge\-ments croissants des lettres grasses (resp. des lettres maigres) du mot $B-C\circ\Sigma$. Ici $$ \Lambda={\bf 3\,3\,4\,4\,6}\qquad{\rm et}\qquad \Theta=0\,1\,3\,4. $$ Enfin, on d\'efinit: $K'=K-\ides \Sigma _{\varepsilon |x}$, $M'=M-\ides \Sigma _{\varepsilon |y}$. \medskip On v\'erifie les propri\'et\'es suivantes. \decale {(i)}|On a $\ides \Sigma _{\varepsilon |x} =\des \Sigma _{\varepsilon |x}^{-1}=1$ et $\ides \Sigma _{\varepsilon |y} =\des \Sigma _{\varepsilon |y}^{-1}=2$ et donc $K'=8-1=7$ et $M'=6-2=4$. \decale {(ii)}|Les mots croissants $\Lambda $ et $\Theta$ ont leurs lettres au plus \'egales respectivement \`a $K'=7$ et \`a $M'=4$. \decale {(iii)}|On a $\imaj \Sigma _{\varepsilon |x} =\maj \Sigma _{\varepsilon |x}^{-1}=2$ et $\imaj \Sigma _{\varepsilon |y} =\maj \Sigma _{\varepsilon |y}^{-1}=3$. Enfin, $\|B_{\varepsilon |x}\|=4+7+3+3+5=22 =2+(6+4+4+3+3)=\imaj \Sigma _{\varepsilon |x}+\|\Lambda \|$ et $\|B_{\varepsilon |y}\|=1+0+4+6=11 =3+(4+3+1+0)=\imaj \Sigma _{\varepsilon |y}+\|\Theta\|$. \medskip Pour chaque permutation $\Sigma$ posons maintenant: $$ \Psi(\Sigma;\varepsilon ;R,S,P,Q) =R^{\ides \Sigma_{\varepsilon |x} } S^{\ides \Sigma_{\varepsilon |y}} P^{\imaj \Sigma_{\varepsilon |x} } Q^{\imaj \Sigma_{\varepsilon |y}}. $$ Le m\^eme calcul que dans la section pr\'ec\'edente, utilisant cette fois la Proposition 7.1, conduit \`a $$\displaylines{ R^K S^M \varphi (B;\varepsilon ;P,Q)=R^{K'} S^{M'} P^{\|\Lambda\|}Q^{\|\Theta\|} \Psi(\Sigma;\varepsilon ;R,S,P,Q),\cr \noalign{\hbox{d'o\`u l'on tire:}} (7.1)\quad \sum_{K\ge 0,M\ge 0} R^K S^M \sum_{B\in \Mot(K,M)} \varphi (B;\varepsilon ;P,Q)\hfill\cr \noalign{\vskip-8pt} \hfill{}=e_P^\alpha (R)\,e_Q^\beta (S) \sum_{\Sigma\in \PC(\varepsilon )} \Psi(\Sigma;\varepsilon ;R,S,P,Q). \cr} $$ \medskip \centerline {\bf 8. Le calcul de la premi\`ere fonction g\'en\'eratrice.} \medskip Combinons maintenant le contenu des deux Propositions 6.1 et 7.1. On suppose donn\'es, d'abord le mot $\varepsilon $, contenant $\alpha $ lettres~$x$ et $\beta $ lettres~$y$, puis les suites d'entiers positifs $$\eqalign{ \bfK&=(K_1,K_2,\ldots, K_L),\cr \bfM&=(M_1,M_2,\ldots, M_L),\cr}\qquad \eqalign{ \bfk&=(k_1,k_2,\ldots, k_l),\cr \bfm&=(m_1,m_2,\ldots,m_l).\cr} $$ En outre, on d\'esigne par ${\rm Multimot}\bigl(\varepsilon ;{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}\bigr)$ l'ensemble des multimots $$\bfw=(B_1,\ldots,B_L,b_1,\ldots,b_l),$$ tels que tout $B_i$ est dans $\Mot(\varepsilon ;K_i,M_i)$ et tout $b_i$ est dans $\Mot(\varepsilon ;k_i,m_i)$. On peut donc appliquer \`a chaque $b_i$ la bijection de la Proposition~6.1 et \`a chaque $B_i$ celle de la Proposition~7.1. Notons $\sigma _i$ (resp. $\Sigma_i$) la permutation compatible avec~$\varepsilon $ correspondant \`a~$b_i$ (resp. \`a~$B_i$) par la premi\`ere (resp. la seconde) bijection et posons $$\displaylines{ \rlap{(8.1)}\hfill \underline \Sigma=(\Sigma_1,\ldots,\Sigma_L);\qquad \underline \sigma =(\sigma _1,\ldots,\sigma _l);\hfill\cr \quad \underline\Psi(\underline\Sigma,\underline\sigma ,\varepsilon ) =\Psi(\Sigma_1;\varepsilon ;R_1,S_1,P_1,Q_1) \ldots \Psi(\Sigma_L;\varepsilon ;R_L,S_L,P_L,Q_L)\hfill\cr \hfill{}\times \psi(\sigma _1;\varepsilon ;r_1,s_1,p_1,q_1)\ldots \psi(\sigma _l;\varepsilon ;r_l,s_l,p_l,q_l).\quad\cr} $$ Introduisons les huit statistiques multivari\'ees $\ides_x$, $\ides_y$, $\imaj_x$, $\imaj_x$, $\icodes_x$, $\icodes_y$, $\icomaj_x$, $\icomaj_y$ comme: $$\leqalignno{ \bfR^{\ides_x(\underline\Sigma,\varepsilon)} &=R_1^{\ides\Sigma_{1\,\varepsilon\,|\,x}}\ldots R_L^{\ides\Sigma_{L\,\varepsilon\,|\,x}}\cr \cdots&=\cdots\cr \bfq^{\icomaj_x(\underline\sigma,\varepsilon)} &=q_1^{\icomaj\sigma_{1\,\varepsilon\,|\,y}}\ldots q_l^{\icomaj\sigma_{l\,\varepsilon\,|\,y}}\cr} $$ On peut encore \'ecrire: $$\displaylines{(8.2)\quad \underline\Psi(\underline\Sigma,\underline\sigma ,\varepsilon ) =\bfR^{\ides_x(\underline\Sigma,\varepsilon)} \bfS^{\ides_y(\underline\Sigma,\varepsilon)} \bfP^{\imaj_x(\underline\Sigma,\varepsilon)} \bfQ^{\imaj_y(\underline\Sigma,\varepsilon)}\hfill\cr \hfill{}\times \bfr^{\icodes_x(\underline\sigma,\varepsilon)} \bfs^{\icodes_y(\underline\sigma,\varepsilon)} \bfp^{\icomaj_x(\underline\sigma,\varepsilon)} \bfq^{\icomaj_y(\underline\sigma,\varepsilon)}\cr} $$ D'autre part, les propri\'et\'es (iv) des deux Propositions 6.1 et 7.1 impliquent que $i$ est une $\varepsilon $-mont\'ee commune \`a chaque~$b_j$ et une $\varepsilon $-mont\'ee stricte commune \`a chaque~$B_j$, si et seulement si~$i$ est une $\varepsilon $-descente commune \`a chaque~$\sigma_j$ et \`a chaque $\Sigma_j$. Autrement dit, on a: $$ \rise(\bfw,\varepsilon ) =\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon ). \leqno(8.3) $$ D 'apr\`es (6.2) et (7.1) et les d\'efinitions de $\varphi $ et $\Phi$ donn\'ees en (3.3) et (3.4), on en d\'eduit $$\displaylines{(8.4) \quad \sum_{{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}} \bfR^{\bfK}\bfS^{\bfM}\bfr^{\bfk}\bfs^{\bfm} \sum_{\bfw\in \Multimot \bigl(\varepsilon ;{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}\bigr)} t^{\rise(\bfw,\varepsilon )} \Phi(\bfw,\varepsilon )\hfill\cr \hfill{}= e^\alpha _\bfP(\bfR)\,e^\beta _\bfQ(\bfS)\,e^\alpha _\bfp(\bfr)\, e^\beta _\bfq(\bfs)\sum_{(\underline\Sigma,\underline \sigma )} t^{\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )} X^{\ell(\varepsilon |x)}Y^{\ell(\varepsilon |y)} \underline\Psi(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon ),\quad\cr} $$ o\`u la derni\`ere sommation est sur toutes les suites de permutations (8.1), compatibles avec~$\varepsilon $. Maintenant on peut sommer d'abord par rapport \`a tous les~$\varepsilon $ tels que $\ell(\varepsilon |x)=\alpha $ et $\ell(\varepsilon |y)=\beta $, puis par rapport \`a~$\alpha \ge 0$ et \`a~$\beta \ge 0$. Le membre de gauche donne $$ \sum_{{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}} \bfR^{\bfK}\bfS^{\bfM}\bfr^{\bfk}\bfs^{\bfm} \sum_{(\bfw,\varepsilon )\in \MMS {\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}} t^{\rise(\bfw,\varepsilon )} \Phi(\bfw,\varepsilon ),\leqno(8.5) $$ o\`u la seconde sommation est sur {\it tous} les multimots sign\'es $(\bfw,\varepsilon )$ de $\MMS {\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}$. Le membre de droite de (8.4) devient $$\displaylines{ \sum_{\alpha \ge 0,\,\beta \ge 0} e^\alpha _\bfP(\bfR)\,e^\beta _\bfQ(\bfS)\, e^\alpha _\bfp(\bfr)\, e^\beta _\bfq(\bfs) X^\alpha Y^\beta W_{\alpha ,\beta },\cr \noalign{\hbox{o\`u}} W_{\alpha ,\beta } =W_{\alpha ,\beta }(t,\bfR,\bfS,\bfP,\bfQ,\bfr,\bfs,\bfp,\bfq) =\kern-13pt \sum_{\scriptstyle(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )\, {\rm (comp.)} \atop \scriptstyle \ell(\varepsilon |x)=\alpha ,\,\ell(\varepsilon |y)=\beta } t^{\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )} \underline\Psi(\underline\Sigma,\underline\sigma ,\varepsilon ),\cr} $$ la sommation \'etant sur toutes les multipermutations sign\'ees compatibles $(\underline\Sigma,\underline\sigma ,\varepsilon )$ telles que $\ell(\varepsilon |x)=\alpha $ et $\ell(\varepsilon |y)=\beta $. R\'ecrivons l'expression (8.5) \`a l'aide de la seconde identit\'e de la Proposition~4.1. On en d\'eduit le r\'esultat suivant. \proclaim Th\'eor\`eme 8.1. La fonction g\'en\'eratrice factorielle des multipermutations\break sign\'ees compatibles $(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )$ par la suite de statistiques $({\sl voir}\ (8.2))$ $$\displaylines{ (\ddes, \ides_x,\ides_y,\imaj_x, \imaj_y,\icodes_x,\icodes_y,\icomaj_x, \icomaj_y),\cr \noalign{\hbox{est donn\'ee par}} \quad \sum_{{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}} \bfR^{\bfK}\bfS^{\bfM}\bfr^{\bfk}\bfs^{\bfm} {(1-t)\,\bfJ^\bfK_\bfk((1-t)X;\bfP,\bfp) \over -t+\bfJ^\bfK_\bfk((1-t)X;\bfP,\bfp)\, \bfJ^\bfM_\bfm((1-t)Y;\bfQ,\bfq) } \hfill\cr \hfill{}=\kern-5pt \sum_{\alpha \ge 0,\,\beta \ge 0}\kern-5pt e^\alpha _\bfP(\bfR)\,e^\beta _\bfQ(\bfS)\,e^\alpha _\bfp(\bfr)\, e^\beta _\bfq(\bfs) X^\alpha Y^\beta \kern-18pt \sum_{\scriptstyle(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )\, {\rm (comp.)} \atop \scriptstyle \ell(\varepsilon |x)=\alpha ,\,\ell(\varepsilon |y)=\beta } \kern-18pt t^{\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )} \underline\Psi(\underline\Sigma,\underline\sigma ,\varepsilon ).\cr} $$ \endproclaim Si l'on fait $X=0$ dans la pr\'ec\'edente identit\'e, on obtient $$\displaylines{(8.6) \quad \sum_{{\bfM\choose \bfm}} \bfS^{\bfM}\bfs^{\bfm} {(1-t) \over -t+ \bfJ^\bfM_\bfm((1-t)Y;\bfQ,\bfq) } \hfill\cr \hfill{}= \sum_{\beta \ge 0} e^\beta _\bfQ(\bfS)\, e^\beta _\bfq(\bfs) Y^\beta \sum_{(\underline\Sigma,\underline \sigma )} t^{\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma )} \underline\Psi(\underline\Sigma,\underline\sigma ).\quad\cr} $$ La derni\`ere sommation se fait cette fois sur {\it toutes} les multipermutations $(\underline\Sigma,\underline \sigma )$ de longueur~$\beta $. La statistique $\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma )$ est le nombre de descentes communes \`a toutes les permutations $\Sigma_1,\ldots,\Sigma_L,\sigma _1,\ldots,\sigma _l$. Enfin, $$\displaylines{ \underline\Psi(\underline\Sigma,\underline \sigma ) =\bfS^{\ides\underline\Sigma}\, \bfs^{\icodes\underline\sigma}\, \bfQ^{\imaj\underline\Sigma}\, \bfq^{\icomaj\underline \sigma },\cr \noalign{\hbox{o\`u, naturellement,}} \eqalign{\bfS^{\ides\underline\Sigma}&=S_1^{\ides \Sigma_1}\ldots S_L^{\ides \Sigma_L},\cr \cdots&=\cdots\cr \bfq^{\icomaj\underline\Sigma}&=q_1^{\icomaj \sigma_1}\ldots q_l^{\icomaj \sigma_l}.\cr}\cr} $$ L'identit\'e (8.6) avec cette derni\`ere interpr\'etation globalise en une formule toutes les identit\'es obtenues par Fedou et Rawlings [FeRa94, FeRa95] dans leur calcul de la statistique ``ddes" sur les suites de permutations. \medskip L'identit\'e du Th\'eor\`eme 8.1 est l'{\it analogue fini} de la fonction g\'en\'e\-ra\-trice factorielle des multipermutations sign\'ees: ``analogue fini" voulant dire que les fonction de Bessel sous-jacentes sont toutes \`a param\`etres finis. Si les param\`etres ne sont plus finis, on ne peut plus consid\'erer une s\'erie en les param\`etres ${\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}$ comme dans l'identit\'e du Th\'eor\`eme~8.1. On part alors de cette identit\'e et on la multiplie successivement par $(1-R_1)$ et l'on fait $R=1$, \dots~, puis par $(1-R_L)$ et l'on fait $R_L=1$, jusqu'\`a multiplier par $(1-s_l)$ et faire $s_l=1$. On obtient l'identit\'e $$\displaylines{(8.7)\quad {(1-t)\,\bfJ((1-t)X;\bfP,\bfp) \over -t+\bfJ((1-t)X;\bfP,\bfp)\, \bfJ((1-t)Y;\bfQ,\bfq) } \hfill\cr \kern2cm{}= \sum_{\alpha \ge 0,\,\beta \ge 0} {1\over (\bfP;\bfP)_{\alpha }} {1\over (\bfQ;\bfQ)_{\beta }} {1\over (\bfp;\bfp)_{\alpha }} {1\over (\bfq;\bfq)_{\beta }} \hfill\cr \hfill{} {}\times X^\alpha Y^\beta \kern-10pt \sum_{\scriptstyle(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )\ {\rm (comp.)} \atop \scriptstyle \ell(\varepsilon |x)=\alpha ,\,\ell(\varepsilon |y)=\beta } \kern-10pt t^{\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )} \underline\Psi'(\underline\Sigma,\underline\sigma ,\varepsilon ),\qquad\cr} $$ o\`u le mon\^ome $\underline\Psi'(\underline\Sigma,\underline\sigma ,\varepsilon )$ est simplement la sp\'ecialisation de $\underline\Psi(\underline\Sigma,\underline\sigma ,\varepsilon )$ lorsque toutes les variables $R_i$, $S_i$, $r_i$, $s_i$ sont \'egales \`a~1. Autrement dit, avec les notations (8.2) $$ \underline\Psi'(\underline\Sigma,\underline\sigma ,\varepsilon ) =\bfP^{\imaj_x(\underline\Sigma,\varepsilon)} \bfQ^{\imaj_y(\underline\Sigma,\varepsilon)} \bfp^{\icomaj_x(\underline\sigma,\varepsilon)} \bfq^{\icomaj_y(\underline\sigma,\varepsilon)}. $$ Dans (8.7) la fonction g\'en\'eratrice sous-jacente est sur les seules multipermutations sign\'ees {\it compatibles}. On peut en d\'eduire une expression pour la fonction g\'en\'eratrice de {\it toutes} les multipermutations sign\'ees, en r\'edui\-sant le nombre des variables. Ceci fait l'objet du paragraphe suivant. \bigskip \centerline {\bf 9. Fonction g\'en\'eratrice de toutes les multipermutations sign\'ees} \medskip Partons de (8.7) et prenons $\bfP=\bfQ$, $\bfp=\bfq$, c'est-\`a-dire $P_1=Q_1$, \dots,~$P_L=Q_L$, $p_1=q_1$, \dots, $p_l=q_l$. Posons \'egalement pour chaque multipermutation sign\'ee compatible $(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )$ $$\leqalignno{\noalign{\vskip-5pt} \imaj(\underline\Sigma,\varepsilon)&= \imaj_x(\underline\Sigma,\varepsilon) +\imaj_y(\underline\Sigma,\varepsilon)\cr \icomaj(\underline\sigma,\varepsilon)&= \icomaj_x(\underline\sigma,\varepsilon) +\icomaj_y(\underline\sigma,\varepsilon),\cr} $$ soit encore $\imaj(\Sigma_i,\varepsilon)= \imaj\Sigma_{i\,\varepsilon |x}+\imaj\Sigma_{i\,\varepsilon |y}$ $(i=1,\ldots, L)$ et $\icomaj(\sigma_i,\varepsilon)= \icomaj\Sigma_{i\,\varepsilon |x}+\icomaj\Sigma_{i\,\varepsilon |y}$ $(i=1,\ldots,l)$, ce qui est conforme \`a la d\'efinition donn\'ee au paragraphe~5, puisque toutes les permutations sign\'ees $(\Sigma_i,\varepsilon)$ et $(\sigma_i,\varepsilon)$ consid\'er\'ees sont compatibles. Conservant les seules variables $Q_1,\ldots, Q_L,q_1,\ldots,q_l$, on voit que le nouveau mon\^ome $\underline\Psi'(\underline\Sigma,\underline \sigma , \varepsilon )$ est \'egal~\`a $$ \underline\Psi''(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon ) =\bfQ^{\imaj(\underline\Sigma,\varepsilon )} \bfq^{\icomaj(\underline\sigma,\varepsilon )}.\leqno(9.1) $$ Posons $$ W_{\alpha ,\beta }= \sum_{\scriptstyle(\underline\Sigma,\underline \sigma , \varepsilon )\ {\rm (comp.)} \atop \scriptstyle \ell(\varepsilon |x)=\alpha ,\, \ell(\varepsilon |y)=\beta } \kern-10pt t^{\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )} \bfQ^{\imaj(\underline\Sigma,\varepsilon )} \bfq^{\icomaj(\underline\sigma,\varepsilon )}. $$ Une manipulation banale sur les $q$-s\'eries permet alors de transformer le membre de droite de l'identit\'e (8.7) et d'\'ecrire cette identit\'e sous la forme $$\displaylines{(9.2)\quad {(1-t)\,\bfJ((1-t)X;\bfQ,\bfq) \over -t+\bfJ((1-t)X;\bfQ,\bfq)\, \bfJ((1-t)Y;\bfQ,\bfq) } \hfill\cr \kern2cm {}=\sum_{n\ge 0} {1\over (\bfQ;\bfQ)_{n}(\bfq;\bfq)_{n}} W_n'(X,Y,t,\bfQ,\bfq)\cr \noalign{\hbox{o\`u l'expression}} \rlap{(9.3)}\hfill W_n'(X,Y,t,\bfQ,\bfq)=\sum_{0\le \alpha \le n} X^\alpha Y^{n-\alpha } {n\brack \alpha }_\bfQ\,{n\brack \alpha }_\bfq\, W_{\alpha ,n-\alpha }\hfill\cr} $$ est un {\it polyn\^ome} \`a coefficients entiers positifs. On retrouve l'identit\'e (1.1) d\'emontr\'ee avec d'autres techniques dans notre premier article et pour une autre suite de statistiques. \proclaim Th\'eor\`eme 9.1. Le polyn\^ome $W'_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq)$ apparaissant dans $(9.2)$ est le polyn\^ome g\'en\'e\-rateur des multipermutations sign\'ees $(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )$ de longueur~$n$ par le $5$-vecteur $(\ell(\varepsilon |x),\ell(\varepsilon |y),\ddes,\imaj,\icomaj)$. En d'autres termes, $$ W'_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq) =\sum_{(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )} X^{\ell(\varepsilon |x)}Y^{\ell(\varepsilon |y)} t^{\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )} \bfQ^{\imaj(\underline\Sigma,\varepsilon )} \bfq^{\icomaj(\underline\sigma,\varepsilon )}, $$ o\`u la somme est sur toutes les multipermutations sign\'ees $(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )$ de longueur~$n$. \endproclaim Nous ne reproduisons pas la d\'emonstration. On peut la calquer de la d\'emons\-tra\-tion de la Proposition~2.1 de notre premier article. Posons $$ W_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq)= \sum_{(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )} X^{\ell(\varepsilon |x)}Y^{\ell(\varepsilon |y)} t^{\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )} \bfQ^{\inv(\underline\Sigma,\varepsilon )} \bfq^{\coinv(\underline\sigma,\varepsilon )}.\leqno(9.4) $$ Dans notre premier article nous avions d\'emontr\'e que l'identit\'e (9.2) \'etait encore vraie si l'on rempla\c cait le polyn\^ome $W'_n$ par $W_n$. Nous obtenions ainsi une autre interpr\'etation combinatoire du d\'eveloppement du rapport des fonctions de Bessel apparaissant dans le membre de gauche de~(9.2). Dans le dernier paragraphe de cet article, nous donnons une d\'emonstration ``bijective" de ce r\'esultat. \bigskip \centerline {\bf 10. L'interpr\'etation en termes de nombre d'inversions} \medskip Il s'agit de d\'emontrer que le polyn\^ome $W_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq)$ d\'efini dans (9.4) et le polyn\^ome $W'_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq)$ apparaissant dans l'\'enonc\'e du Th\'eo\-r\`eme~9.1 sont identiques. On pourrait partir de l'identit\'e de la Proposition~4.1, et d\'efinir des bijections analogues \`a celles qui ont \'et\'e construites dans les sections~6 et~7 et \'etablir que la fraction (9.2) est la fonction g\'en\'eratrice factorielle des polyn\^omes $W_n$. Nous pr\'ef\'erons \'etablir le r\'esultat \`a l'aide d'une bijection directe. \proclaim Proposition 10.1. Il existe une bijection $\Psi:(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )\mapsto (\underline\Sigma',\underline \sigma ',\varepsilon ')$ de l'en\-semble des multipermutations sign\'ees de longueur~$n$ sur elle-m\^eme, ayant les propri\'et\'es suivantes: \decale{\rm (i)}|$\ell(\varepsilon |x)=\ell(\varepsilon '|x)$; \decale{\rm (ii)}|$\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )= \ddes(\underline\Sigma',\underline \sigma ',\varepsilon ')$; \decale{\rm (iii)}|$\imaj(\underline\Sigma,\varepsilon ) =\inv(\underline\Sigma',\varepsilon ')$ et $\icomaj(\underline\sigma,\varepsilon ) =\coinv(\underline\sigma',\varepsilon ')$. \endproclaim {\it D\'emonstration.} L'ingr\'edient principal de cette bijection est la {\it seconde transformation fondamentale}. Nous ne rappelons pas sa construction, mais renvoyons le lecteur au chapitre~10 du livre de Lothaire [Lo83]. Notons $\Gamma $ cette transformation. Par ailleurs, pour tout mot $w=x_1x_2\ldots x_m$, o\`u les lettres appartiennent \`a un alphabet totalement ordonn\'e, la {\it ligne de route} ``$\ligne w$" de~$w$ est d\'efinie comme l'ensemble des entiers~$i$ tels que $1\le i\le m-1$ et $x_i>x_{i+1}$, de sorte que ``$\maj w$" est simplement la somme des \'el\'ements de cette ligne de route. Soit maintenant $\pi$ une bijection d'un ensemble fini~$I$ d'entiers sur un ensemble fini d'entiers. Posons $$ I=\{i_1