%%  This article has been submitted and accepted for publication in
%%  THE FOATA FESTSCHRIFT, 
%%  a special issue of THE ELECTRONIC JOURNAL OF COMBINATORICS
%%  dedicated to DOMINIQUE FOATA at the occasion of his 60th birthday.
%%
%%  Author(s):		DANIEL BARSKY ET MICHEL CARPENTIER
%%  Title:		POLYNOMES DE JACOBI GENERALISES ET INTEGRALES DE SELBERG
%%  Date of submission:	January 24, 1995
%%  TeX version:	LaTeX
%%  File size (approx):	87 kB
%%  Number of pages:	33
%%  Author's email:	barsky@math.univ-paris13.fr
%%
%%
\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{latexsym}
\title{
Polyn\^omes de Jacobi g\'en\'eralis\'es \hfill \\ et Int\'egrales
de Selberg}
\author{ \small Daniel Barsky \\
\small Universit\'e Paris 13\\
\small Institut Galil\'ee \\
\small LAGA, URA CNRS n$^\circ$742 \\
\small Av J.B. Cl\'ement \\
\small F-93430 VILLETANEUSE \\
\small e.mail: barsky@math.univ-paris13.fr 
\and 
\small Michel Carpentier \\
\small Universit\'e Paris 6 \\
\small Institut de Math\'ematiques\\
\small UMR CNRS n$^\circ$9994 \\ 
\small 4, place Jussieu \\
\small F-75252 PARIS CEDEX 05\\
\small e.mail: mic@ccr.jussieu.fr\\}
\date{Submitted: January 24, 1995; Accepted: January 24, 1995\\
\vspace{1cm}\normalsize \it  Ce travail est
dedie a Dominique
Foata pour son 60-i\`eme anniversaire}


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\def\refname{\centerline{Bibliographie}}
\def\abstractname{R\'esum\'e}
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\begin{document}
\pagestyle{myheadings} 
\markright{\sc the electronic journal of combinatorics 3 (2) (1996), \#R1\hfill} 
\thispagestyle{empty}
\maketitle 

\newtheorem{lemme}{Lemme}
\newtheorem{proposition}{Proposition}
\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{corollaire}{Corollaire}
\newtheorem{definition}{D\'efinition}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%
%R\'esum\'e%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%
\begin{abstract} G. Anderson a d\'evelopp\'e une m\'ethode nouvelle pour
calculer l'in\-t\'e\-gra\-le de Selberg. Nous montrons que cette m\'ethode
s'applique aussi pour
calculer une g\'en\'e\-ra\-li\-sation de l'int\'egrale de Selberg
\'etudi\'ee par J. Kaneko. 

Le r\'esultat s'exprime \`a l'aide des polyn\^omes de Jacobi sym\'etriques
\`a plusieurs variables. La
preuve utilise les op\'erateurs de mont\'ee et de descente qui leur sont
associ\'es.
\end{abstract}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%
%Introduction%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%
\section{Introduction} 
Selberg \cite{se1} a \'etudi\'e l'int\'egrale suivante: 
\begin{eqnarray}\displaystyle S_{n}^{(a,b,c)}& = & {1\over n!}\displaystyle
\int_{\lbrack 0
,1\rbrack^n}
\prod_{i=1}^n x_i^{a-1} (1-x_i)^{b-1} \prod_{1\leq i<j\leq n} |  x_i - x_j 
|^{2c} \
d\x  \label{**1}
\end{eqnarray}
Il a montr\'e que:
\begin{equation} S_{n}^{(a,b,c)}=\prod_{j=0}^{n-1} {\Gamma (a+jc) \
\Gamma (b+jc) \ \Gamma ((j+1)c) \over \Gamma (a+b+(n+j-1)c) \ \Gamma (c)}
\label{*22}
\end{equation} 
Ult\'erieurement ce r\'esultat a \'et\'e reli\'e aux conjectures de
Macdo\-nald, \cite{md1},
\cite{mo1} sur les syt\`emes de racines. En particulier il a permis de
d\'emontrer les identit\'es de
termes constants pour les syst\`emes de racines affines de type
$BC_n$ et
$A_n$, \cite{mo1}, \cite{kd1}, $G_2$ \cite{ha1}. Ces conjectures ont
\'et\'e d\'emontr\'ees par
G. J. Heckmann et E. M. Opdam \cite{ho1}, \cite{he1}, \cite{op1},
\cite{op2}, \cite{op3}.\medskip

On s'int\'eresse \`a la valeur des int\'e\-gra\-les du type:
\begin{equation}J_{n}^{(a,b,c)}(\X) \stackrel{d\acute{e}f}{ =} {1\over n!}
\int_{\lbrack 0,1 \rbrack^n} \X(\x) \prod_{i=1}^n
x_i^{a-1} (1-x_i)^{b-1}\! \! \prod_{1\leq i<j\leq n} |  x_i - x_j  |^{2c} \
d\x \label{*15}
\end{equation}
o\`u $\X(\x)=\X(x_1,\dots
,x_n)$ un polyn\^ome sym\'etrique en $(x_1,\dots
,x_n)$ . 

Dans \cite{ao1} Aomoto indique que pour des raisons cohomologiques le
rapport de la valeur de cette
int\'egrale \`a l'int\'egrale de Selberg est un nombre rationnel. Il a calcul\'e
l'int\'egrale (\ref{*15}) lorsque
$\X(\x)$ est l'une des fonctions sym\'etriques \'el\'ementaires:
$$\X(\x)=\left\{ \begin{array}{ccccc} e_1(\x) & = & e_1(x_1,\ldots, x_n) &
= & (-1)\sum_{i=1}^n x_i
\\ e_2(\x) & = & e_2(x_1,\ldots, x_n) & = & \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_ix_j \\
\vdots &  & \vdots & & \vdots \\
e_n(\x) & = & e_n(x_1,\ldots, x_n) & = & (-1)^n\prod_{i=1}^n x_i
\end{array}
\right.
$$ 
Il montre qu'elle est proportionnelle, avec un facteur de
proportionnalit\'e rationnel explicite, au
produit d'un coefficient convenable du polyn\^ome de Jacobi, $\displaystyle
\PP_n^{(\frac{a}{c}-1,\frac{b}{c}-1)}(1-2y)$, par l'int\'egrale de Selberg. 

Rappelons que les
polyn\^omes de Jacobi, $\PP_n^{(\alpha, \beta )} (x)$ ($ n \in \N$),  sont
les poly\-n\^omes orthogonaux
par rapport au produit scalaire sur l'espace, $\R\lbrack x \rbrack$ des
polyn\^omes \`a coefficients
r\'eels, 
$\displaystyle \langle f\, , \, g \rangle_{\alpha, \beta} =
\int_{-1}^{+1} (1-x)^{\alpha}
\ (1+x)^{\beta} f(x)\cdot g(x)
\ dx$, tels que $\PP_n^{(\alpha, \beta )} (x)$ soit de degr\'e $n$ et
normalis\'e par:
\begin{displaymath} \PP_{n}^{(\alpha,\beta)}(1)  = {(1+\alpha)(1+\alpha+1)
\cdots (\alpha +n) \over n!}={(1+\alpha)_n \over n!}
\end{displaymath}
Le r\'esultat d'Aomoto s'exprime en fait plus agr\'ea\-blement en utilisant des
polyn\^omes de Jacobi unitaires, not\'es
$\displaystyle P_n^{(\alpha,
\beta )} (x) $, cf. la formule (\ref{*17}). Ce sont les polyn\^omes
unitaires associ\'es aux polyn\^omes
de Jacobi. Ces polyn\^omes de Jacobi unitaires correspondent au cas d'une
variable des polyn\^omes de
Jacobi sym\'etriques introduits par Debiard, \cite{de1}. 
\bigskip

Le r\'esultat d'Aomoto, obtenu \`a l'aide de la formule de Stokes, est le
suivant\footnote{Notre
d\'efinition de l'int\'egrale d'Aomoto diff\`ere pour des raisons de
commodit\'e de calcul par le facteur
$\frac{(-1)^n}{n!}$ de la sienne.}. Soit:
\begin{displaymath} A_{n }^{(a,b,c)}(y)  \stackrel{d\acute{e}f}{ =}  {1\over n!}
\int_{\lbrack 0,1 \rbrack^n} \prod_{i=1}^n (y-x_i)\, \prod_{i=1}^n
x_i^{a-1} (1-x_i)^{b-1}\! \! \prod_{1\leq i<j\leq n} |  x_i - x_j  |^{2c}  d\x 
\end{displaymath}
Alors:
\begin{eqnarray} 
A_{n }^{(a,b,c)}(y) & = &\left\{ \begin{array}{l}   (-c)^n \, n! \Bigg(
\prod_{i=0}^{n-1}\frac{1}{(a+b+(n+i-1)c)}\Bigg) S_n^{(a,b,c)} \PP_{n}^{({a\over
c}-1,{b\over c}-1)}(1-2y)  \medskip  \\
(-2)^{-n} \, S_n^{(a,b,c)} P_{n}^{({a\over c}-1,{b\over
c}-1)}(1-2y) \label{*17}
\end{array} \right.
\end{eqnarray}
Ce r\'esultat permet par identification des coefficients de $y^i$ dans les
deux membres de calculer
les int\'egrales (\ref{*15}) lorsque $\X(\x)$ est une fonction sym\'etrique
\'el\'ementaire. \bigskip

J. Kaneko, \cite{kn1}, a g\'en\'eralis\'e le r\'esultat d'Aomoto. Il
exprime $J_{n}^{(a,b,c)}(\X)$ dans le
cas o\`u
$\displaystyle \X(\x)=\prod_{j=1}^m e_i(\x)^{n_i}$, \`a l'aide des
coefficients des polyn\^omes de Jacobi
g\'en\'eralis\'es sym\'etriques (cf. \cite{de1}) introduits par Debiard,
\cite{de1} et Koornwinder,
\cite{ko1}. 

Soit $\displaystyle P_{\hspace{-0,1 cm}{}_{\n}}^{(\alpha \, ,\beta \,
,\gamma)}(t_1,t_2,\cdots
,t_m)$ le polyn\^ome de Jacobi g\'en\'eralis\'e sym\'etrique \`a $m$
variables\footnote{La
normalisation des polyn\^omes de Jacobi ordinaires, \cite{ra1} n'est pas la
m\^eme que celle des
polyn\^omes de Jacobi g\'en\'eralis\'es sym\'etriques, \cite{de1},
lorsqu'on restreint le nombre de variables \`a
$1$, d'o\`u l'introduction des polyn\^omes de Jacobi unitaires.} associ\'e
\`a la partition
$\n=(n,n,\cdots,n)$ de $n\cdot m$ en $m$ parts \'egales \`a $n$, cf
\cite{de1}. 


Soit $\y =(y_1, y_2,\cdots ,y_m)$ et $\x =(x_1,
x_2,\cdots ,x_n)$ des variables ind\'e\-pen\-dantes. Soit $\displaystyle \chi_u
(\y,\x)=\prod_{j=1}^m
\prod_{i=1}^n (y_j-x_i)^u$ un polyn\^ome sym\'etrique en $\y $ et $\x $ si
$u \in
\N$ et plus g\'en\'eralement une fonction sym\'etrique en $\y $ et $\x $ si
$u \in
\R$. On posera $\chi_1 (\y,\x)=\chi (\y,\x)$. 

J. Kaneko, \cite{kn1}, calcule pour $u=1$ et $m$
quelconque, donc en fait aussi pour $u$ entier positif, et pour $u=-c$
l'int\'egrale
suivante\footnote{Notre d\'efinition de l'int\'egrale de Kaneko, pour $u$
entier, diff\`ere pour des
raisons de commodit\'e de calcul par le signe
$(-1)^{nmu}$ de la sienne.}:
\begin{equation}A_{n,\chi_u }^{(a,b,c)}(\y)\stackrel{d\acute{e}f}{ =}
{1\over n!}
\int_{\lbrack 0,1 \rbrack^n} \chi_u (\y,\x)\prod_{i=1}^n
x_i^{a-1} (1-x_i)^{b-1}\! \! \prod_{1\leq i<j\leq n} |  x_i - x_j  |^{2c} \
d\x \label{*1}\end{equation} o\`u $d\x=dx_1dx_2\cdots dx_n$ et o\`u $a$,
$b$, $c$ sont des r\'eels
suffisament grands pour que l'int\'egrale converge (par exemple $a,b,c
>0$). Il montre pour $u=1$
que:
\begin{eqnarray}
A_n^{(a,b,c)}(\y) & \stackrel{d\acute{e}f}{ =} & A_{n,\chi
}^{(a,b,c)}(\y)  \label{*16} \hfill \\
& = &\! \! \! \!  (-2)^{-mn}S_{n}^{(a,b,c)} P_{\hspace{-0,1
cm}{}_{\n}}^{({a\over c}-1,\,{b
\over c}-1 , \, {1 \over c}-{1\over 2})}(1-2 \, y_1, 1-2 \, y_2 , \cdots
,1-2 \, y_m) \nonumber
\end{eqnarray}
Pour $u=c$ le r\'esultat de J. Kaneko n\'ecessite la d\'efinition des
fonctions de Jack,
$\displaystyle {}_2F_1^{\alpha}(a,b;c;y_1,\ldots ,y_m)$.
\medskip
\par
Nous retrouvons les r\'esultats d'Aomoto et de Kaneko aux th\'eor\`emes
\ref{theoreme1a} et
\ref{theoreme2} en suivant la m\'ethode, tr\`es naturelle et
\'el\'ementaire dans son principe,
introduite par Anderson,
\cite{an1}, pour calculer l'int\'egrale de Selberg. Ces r\'esultats peuvent
aussi \^etre interpr\'et\'es comme des repr\'esentations
int\'egrales des po\-ly\-n\^o\-mes de Jacobi sym\'etriques, cf.
\cite{de2}.  
Nous donnons le r\'esultat de Kaneko seulement pour $u=1$, nous reviendrons
ult\'erieurement sur un cas
plus g\'en\'eral. Tous ces r\'esultats sont li\'es aux conjectures d'Evans,
cf. \cite{ev1} et
\cite{an2}, sur les identit\'es entre sommes de Gauss; nous esp\'erons
revenir sur cet
aspect.\bigskip 

Notre contribution principale tient dans
les propositions
\ref{proposition1a} \`a
\ref{proposition2} et sp\'e\-cia\-lement les propositions
\ref{proposition4} et \ref{proposition5}.

Notre d\'emonstration utilise la formule de Rodriguez pour les polyn\^omes
de Jacobi, cf. \cite{ra1},
dans le cas de l'int\'egrale d'Aomoto. Elle utilise les op\'erateurs de mont\'ee
$D_{+,\x}^{(\alpha,\beta,\gamma)}$, introduits par A. Debiard \cite {de1},
pour le cas \`a $m$
variables au lieu du Laplacien utilis\'e par Kaneko \cite{kn1}. Ces
op\'erateurs de mont\'ee donnent pour
les polyn\^omes de Jacobi g\'en\'eralis\'es sym\'etriques une
repr\'esentation analogue \`a la formule de
Rodriguez.

Un des points cl\'e de la d\'emonstration est l'identification de la
restriction \`a certains sous-espaces 
de ces op\'erateurs de mont\'ee avec l'op\'erateur $\Phi$ que nous
introduisons sur les
polyn\^omes \`a $m$ variables. Cet op\'erateur $\Phi$ est une transform\'ee
de Mellin formelle sur
l'espace des polyn\^omes.  
\bigskip

Au paragraphe {\ref{sub3} nous indiquons comment on peut traiter le cas
$\displaystyle \chi_u (\y,\x)=\prod_{j=1}^m
\prod_{i=1}^n (y_j-x_i)^{n_j}$, $n_j \in \N$. Ce cas peut aussi \^etre
obtenu par la m\'ethode de
J. Kaneko \`a condition d'exprimer ses op\'erateurs diff\'erentiels en
variables sym\'etriques. 

En fait la r\'eponse apport\'ee au calcul de l'int\'egrale (\ref{*15}) par
les formules (\ref{*17}) et
(\ref{*16}) n'est pas totalement satisfaisante car bien que les
coefficients des polyn\^omes de Jacobi
g\'en\'eralis\'es sym\'etriques soient calculables, au moins
th\'eoriquement, pour chaque partition
$\n=(n_1,\ldots ,n_p)$, on ne conna\^{\i}t de formule g\'en\'erale que dans
des cas tr\`es particuliers,
\cite{de2}, \cite{dg1}, \cite{dg2}. \medskip
\par

Remerciements: A. Debiard nous a signal\'e l'article de J. Kaneko et nous a
expliqu\'e
la th\'eorie des polyn\^omes de Jacobi sym\'etriques et de leurs op\'erateurs de mont\'ee et de
descente. L. Habsieger a lu attentivement une premi\`ere version et nous a
permis
ainsi de rectifier plusieurs erreurs. Nous remercions les r\'ef\'er\'es qui
ont pris la peine de
relire avec grand soin le texte et qui nous ont permis grace a leurs
remarques de corriger de
nombreuses erreurs.
\vfill \eject
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Expression en variables sym\'etriques%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Expression en varia\-bles sy\-m\'e\-triques}
En suivant la m\'ethode d'Anderson, \cite{an1}, nous allons donner une
expression de
$J_{n,\chi }^{(a,b,c)}(\y)$ \`a l'aide des fonc\-tions sym\'e\-triques
\'el\'e\-men\-taires en les z\'eros du
polyn\^ome $\displaystyle F(t)=\prod_{i=1}^n (t-x_i )$.

Cette m\'ethode consiste \`a exprimer les
fonctions sym\'etriques qui apparaissent dans la d\'efinition de
l'int\'egrale de Selberg et ses
g\'en\'eralisations \`a l'aide des fonctions sym\'etriques \'el\'ementaires
et \`a utiliser la formule
d'interpolation de Lagrange pour faire le changement de variables. Le lemme
1 est tir\'e
de~\cite{an1}.
%%%%%%%%%%%%%
%definition1%
%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}\label{definition1} Soit $\P_n(t)$ l'ensemble des
polyn\^omes $F(t) \in \R\lbrack t
\rbrack$, unitaires de degr\'e $n$, dont toutes les racines sont r\'eelles,
distinctes, et comprises
entre
$0$ et $1$.
\end{definition}
%%%%%%%%
%lemme1%
%%%%%%%%
\begin{lemme} \label{lemme1}
Soit $ F(t)=F_0 +F_1 t +\cdots +F_{n-1} t^{n-1} +t^n= \prod_{i=1}^n
(t-x_i)$. Soit $\chi(\y,\x)=
\prod_{j=1}^m
\prod_{i=1}^n (y_j-x_i)$. Soit
$\Delta (F)$ le discri\-minant de
$F(t)$. Soit $d\f=dF_0 \, dF_1 \cdots dF_{n-1}$. Alors 
\begin{displaymath} J_{n,\chi }^{(a,b,c)}(\y)=\int_{F \in
{\mbox {\P}_{n}}(t)} \
\bigg( \prod_{j=1}^m  F(y_j) \bigg)  | F(0) |^{a-1}  |  F(1) |^{b-1} |
\Delta (F)  |^{c-{1 \over 2}} d\f 
\end{displaymath}
\end{lemme}
$\Box$ On a, en effet, un diff\'eomorphisme entre $\{ \x =(x_1 ,x_2,\cdots
,x_n) \in \lbrack
0,1 \rbrack^n ; \\ 0\leq x_1<x_2<
\cdots <x_n \leq 1\}$ et l'ensemble des polyn\^omes $F(t) \in \P_n(t)$,
donn\'e par
\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \left\{ \ \x=(x_1 ,x_2,\cdots ,x_n)\, ; \ 0
\leq x_1 < x_2,
\cdots < x_n \leq 1 \ \right\}  \leadsto } \hspace{6cm}  \\
&  & \leadsto  \left\{ F(t) \in \P_n(t)\, ; \ F(t)=\prod_{i=1}^n(t-x_i) \right\}
\end{eqnarray*}
dont le Jacobien vaut $ \left| \, \Delta (F) \, \right|^{1/2}$
\hspace{\fill} $\Box$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%La m\'ethode d'Anderson le cas m=1%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{La m\'ethode d'Anderson, le cas $m=1$ \label{sec3}}
Pour faciliter la lecture de la d\'emonstration du th\'eor\`eme principal
(th\'eo\-r\`eme~\ref{theoreme2}) qui occupe la section suivante, nous
allons appliquer tout d'abord
la m\'ethode d'Anderson pour retrouver le r\'esultat d'Aomoto
\cite{ao1}:
\begin{eqnarray*} A_{n}^{(a,b,c)}(y) & = & {1\over n!}
\int_{\lbrack 0,1 \rbrack^n} \!  \left( \prod_{i=1}^n (y-x_i) \,
x_i^{a-1} \, (1-x_i)^{b-1} \right) \prod_{1\leq i<j\leq n} | x_i - x_j  |^{2c} 
d\x  \\ 
 & = & (-c)^{n}\, n!\Bigg(\prod_{i=1}^n {1 \over
(a+b+(n+i)c)}\Bigg) \ S_n^{(a,b,c)}\PP_{n}^{({a\over c}-1,{b\over
c}-1)}(1-2y)  \\
& = & (-2)^{-n} S_n^{(a,b,c)} P_{n}^{({a\over c}-1,{b\over
c}-1)}(1-2y)
\end{eqnarray*}
o\`u les $\displaystyle \PP_{n}^{({a\over c},{b\over
c})}(x)$ sont les polyn\^omes de Jacobi classiques, \cite{ra1}, et les
$\displaystyle
P_{n}^{({a\over c},{b\over c})}(x)$ sont les polyn\^omes de Jacobi unitaires.
Le principe g\'en\'eral de la m\'ethode suivie dans ce paragraphe, comme
dans le suivant, est d\^{u}
\`a Anderson
\cite{an1}, la d\'emonstration du th\'eor\`eme \ref{theoreme1a} est,
semble-t-il, nouvelle.
%%%%%%%%%%%%%
%definition2%
%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition} \label{definition01} Soit $\zeta_1 < \zeta_2 < \cdots <
\zeta_{n+1}$ des r\'eels, et soit $Z(t)= \prod\limits_{i=1}^{n+1}
(t-\zeta_i)$. On d\'efinit $\D_n(Z)$
de la mani\`ere suivante: \vspace{7pt}

$\displaystyle \D_n(Z)$ est l'ensemble des poly\-n\^o\-mes $P(t) \in \R
\lbrack t \rbrack$, de degr\'e
$n$, dont les racines
$\displaystyle (x_1, \cdots ,x_n)$ sont {\em enlac\'ees} par la suite $\displaystyle {
\zzeta}=(\zeta_1, \zeta_2, \cdots  \zeta_{n+1})$.
 C'est
\`a dire 
$$ \zeta_1 < x_1 < \zeta_2 < x_2 < \ldots < \zeta_{n}< x_n <
\zeta_{n+1}$$.
\end{definition}
%%%%%%%%
%lemme2%
%%%%%%%%
\begin{lemme}\label{lemme1a} Soit $\displaystyle G(t)=\prod_{i=1}^n
(t-\gamma_i)$ o\`u les $\gamma_i
\in
\R$ et soit $\displaystyle Z(t)=\prod_{i=1}^{n+1} (t-\zeta_i)$ tels que la
suite $\big( \zeta_i
\big)_{1
\leq i
\leq n+1}$ enlace la suite $\big( \gamma_i \big)_{1 \leq i \leq n}$,
autrement dit $\displaystyle 
G\in
\D_n(Z)$. Alors on peut \'ecrire de mani\`ere unique:
\begin{eqnarray*} G(t)=\left\{ \sum_{i=1}^{n+1} \frac{\rho_i}{t-\zeta_i}
\right\}Z(t)
\end{eqnarray*}
avec $ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle
\rho_i=\frac{G(\zeta_i)}{Z'(\zeta_i)} \\
 \displaystyle \rho_i >0; \ 1\leq i\leq n+1\\
\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} \rho_i= 1 \end{array} \right.$. 
\end{lemme}
$\Box$ On effectue la d\'ecomposition en \'el\'ements simples de
$\displaystyle \frac{G(t)}{Z(t)}$,
ou de mani\`ere \'equivalente on utilise la formule d'interpolation de
Lagrange. \hspace{\fill}
$\Box$

On veut \'evaluer l'int\'egrale 
\begin{eqnarray*}\displaystyle \I_n(s_1,\ldots ,
s_{n+1};y) & \stackrel{d\acute{e}f}{=} &
\int_{G
\in
\D_n(Z)} G(y)
\prod_{i=1}^{n+1}
|G(\zeta_i)|^{s_i-1} d\g
\end{eqnarray*} 
o\`u $G(y)=G_0+G_1\, y +G_2\, y^2 +\cdots +G_{n-1}\,
y^{n-1}+y^n$, $d\g=dG_0dG_1\cdots dG_{n-1}$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%lemme3 \label{lemme2a}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemme}\label{lemme2a} Soit 
$$\U_n=\left\{\rrho= (\rho_1,\ldots , \rho_{n+1}) \in
\R^{n+1};\ \big(\rho_i >0\big)_{1\leq i \leq n+1}, \  \sum_{i=1}^{n+1}
\rho_i =1\right\}$$
Alors: $\displaystyle \D_n(Z)\simeq \U_n$
\end{lemme}
$\Box$ Ce lemme sera d\'emontr\'e dans le cours de la preuve du lemme
\ref{lemme2} $\Box$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%lemme4 \label{lemme3a}%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemme} \label{lemme3a} Soit $\U_n$ comme au lemme \ref{lemme2a}, et soit
\begin{eqnarray*}\I_n(s_1,\ldots , s_{n+1};y) & \stackrel{d\acute{e}f}{=} &
\int_{G \in \D_n(Z)} G(y) \prod_{i=1}^{n+1} | G(\zeta_i)|^{s_i-1} d\g \\
\widetilde{\I}_i(\s)=\widetilde{\I}_i(s_1,\ldots ,s_{n+1}) &
\stackrel{d\acute{e}f}{=} &
\int_{\rrho \in \U_n} \rho_i^{s_i} \prod_{\scriptstyle j=1 \atop j\not
=i}^{n+1} \rho_j^{s_j-1}
d\rrho
\end{eqnarray*}
o\`u $s_i \in \R$ et $s_i >1$.
Alors:
\begin{eqnarray}
 \I_n(s_1,\ldots , s_{n+1};y)  & = & -\sum_{i=1}^{n+1} 
\frac{Z(y)}{\zeta_i-y}
\bigg(
\prod_{j=1}^{n+1}|Z'(\zeta_j)|^{s_j-\frac{1}{2}} \bigg) \widetilde{\I}_i(s)
 \label{***1} \medskip \\
 \lim_{|y| \to \infty} \frac{\I_n(s_1,\ldots , s_{n+1};y)}{y^n} & = &
\left(\prod_{j=1}^{n+1} |Z'(\zeta_j)|^{s_j-\frac{1}{2}}\right)
\frac{\prod_{j=1}^{n+1}
\Gamma(s_j)}{\Gamma(\sum_{j=1}^{n+1}s_j)}   \label{***2} \medskip \\ 
 \widetilde{\I}_i(\s) & =  & \frac{
s_i\prod_{j=1}^{n+1} \Gamma(s_j)}{
\Gamma\Big(1+\sum_{j=1}^{n+1} s_j\Big)}  \label{***3}
\end{eqnarray}
\end{lemme}
$\Box$ Pour la preuve de (\ref{***1}) et de (\ref{***3}) voir les lemmes
\ref{lemme2}
et \ref{lemme3}. D\'emontrons (\ref{***2}) qui n'est autre qu'un des lemmes
d'Anderson,
\cite{an1}: 
\begin{eqnarray*}\lefteqn{ \lim_{|y| \to \infty} \frac{\I_n(s_1,\ldots ,
s_{n+1};y)}{y^n} =
\int_{G
\in
\D_n(Z)} \prod_{i=1}^{n+1} |G(\zeta_i)|^{s_i-1} d\g} \\
 & &= -\sum_{i=1}^{n+1} \lim_{|y| \to \infty}
\frac{Z(y)}{y^n(\zeta_i-y)}\left( \prod_{j=1}^{n+1}
|Z'(\zeta_j)|^{s_j-\frac{1}{2}}\right)
\frac{\Gamma(1+s_i)\prod_{j=1 \atop j \not = i}^{n+1}
\Gamma(s_j)}{\Gamma(1+\sum_{j=1}^{n+1}s_j)} \\
&  & =\left( \prod_{j=1}^{n+1} |Z'(\zeta_j)|^{s_j-\frac{1}{2}}\right) 
\frac{\prod_{j=1}^{n+1}
\Gamma(s_j)}{\Gamma(1+\sum_{j=1}^{n+1}s_j)} \left(
\sum_{j=1}^{n+1} s_j
\right) \\
&  & = \left(\prod_{j=1}^{n+1} |Z'(\zeta_j)|^{s_j-\frac{1}{2}}\right)
\frac{\prod_{j=1}^{n+1}
\Gamma(s_j)}{\Gamma(\sum_{j=1}^{n+1}s_j)} \hspace{\fill} \Box
\end{eqnarray*}
Soit:
\begin{eqnarray*} \lefteqn{ E_{n+1}  \stackrel{d\acute{e}f}{=} \Big\{ (F,G)
\in \P_n \times \P_{n+1}
\, ;\, F(t)=\prod_{i=1}^n (t-\varphi_i)\, , \ G(t)=
\prod_{i=1}^{n+1} (t- \gamma_i)\, ,} \hspace{5cm} \\
& & 0 \leq \gamma_1 < \varphi_1 < \gamma_2 < \ldots < \varphi_n <
\gamma_{n+1} \leq 1 \Big\}
\end{eqnarray*}
Le lemme suivant est au coeur de la m\'ethode d'Anderson \cite{an1}, en
parti\-cu\-lier l'introduction
de l'int\'egrale $I_n^{(a,b,c)}(y)$ et son calcul par deux m\'ethodes
diff\'erentes. Nous n'avons fait que
l'adapter \`a notre situation.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%
%lemme5 \label{lemme5a}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemme}\label{lemme5a} Soit $F,G \in \R\lbrack y\rbrack$, $F \in
\P_n$, $G \in \P_{n+1}$. Soit
$R(F,G)$ le r\'esultant de
$F$ et $G$, $R(F,G)|=\prod_{i=1}^n
|G(\varphi_i)|=\prod_{j=1}^{n+1}|F(\gamma_j)|$, o\`u les
$(\gamma_j)_{1 \leq j \leq n+1}$ sont les racines de $G$ et les
$(\varphi_i)_{1 \leq i \leq n}$ celles
de
$F$. Soit
$d\f=dF_0\cdots dF_{n-1}$ et
$d\g=dG_0\cdots dG_n$. Soit
$$ I_n^{(a,b,c)}(y)= \int_{(F,G) \in E_{n+1}} G(y) \cdot|G(0)|^{a-1} \cdot
|G(1) |^{b-1} \cdot
|R(F,G)|^{c-1} d\f d\g
$$
Alors:
\begin{eqnarray*}I_n^{(a,b,c)}(y) & = & y(y-1) \frac{\Gamma(a) \Gamma(b)
\Gamma(c)^n}{\Gamma(1+a+b+nc)}
\int_{F \in \P_n} F(y)\times \\
& &\hspace{-2cm} \times \left\{\frac{a}{y}+\frac{b}{y-1}-c\sum_{i=1}^n
\frac{1}{\varphi_i
-y}\right\} |F(0)|^{a+c-1} \cdot |F(1)|^{b+c-1} \cdot |\Delta(F)|^{c-
\frac{1}{2}} d\f 
\end{eqnarray*}
\end{lemme}
$\Box$ Int\'egrons par rapport \`a $G$ puis par rapport \`a $F$. Dans le
lemme suivant nous
int\'egrerons dans l'ordre inverse.

Posons pour $(F,G) \in E_{n+1}$, $Z(y)=y(y-1)F(y)$. Les racines de $Z$
enlacent celles de $G$,
autrement dit $(G,Z) \in E_{n+2}$, ou encore $G \in \D_{n+1}(Z)$. Il vient: 
\begin{eqnarray*}\lefteqn{I_n^{(a,b,c)}(y)=} \\
& &= \int_{F \in \P_n} \left\{ \int_{G \in \D_{n+1}(Z)} 
G(y) \cdot |G(0)|^{a-1} \cdot |G(1)|^{b-1} 
\prod_{i=1}^n |G(\varphi_i)|^{c-1}  d\g
\right\} d\f
\end{eqnarray*}
Notons $(\zeta_i)_{1 \leq i \leq n+2}$ les racines de $Z$ ordonn\'ees de la
mani\`ere suivante:
$\zeta_1=0$, $ \zeta_i=\varphi_{i-1}$ pour $2 \leq i \leq n+1$,
$\zeta_{n+2}=1$. Posons aussi $s_1=a$,
$s_i=c$ pour $2 \leq i \leq n+1$, $s_{n+2}=b$. Alors:
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\int_{G \in \D_{n+1}(Z)} 
G(y) \, |G(0)|^{a-1}\, |G(1)|^{b-1}
\prod_{i=1}^n |G(\varphi_i)|^{c-1}  d\g  = } \hspace{5cm}\\
& & =\int_{G \in \D_{n+1}(Z)} G(y) \prod_{i=1}^{n+2} |G(\zeta_i)|^{s_i-1}
d\g
\end{eqnarray*}
Il est imm\'ediat que:
\begin{eqnarray*} Z'(0)=-F(0)\, , & Z'(1)=F(1) \, ,& \Big\{
Z'(\varphi_j)=\varphi_j(\varphi_j-1)F'(\varphi_j)\Big\}_{1
\leq j \leq n}
\end{eqnarray*} Donc d'apr\`es le lemme
\ref{lemme3a}:
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\int_{G \in \D_{n+1}(Z)} G(y) \prod_{i=1}^{n+2} |G(\zeta_i)|^{s_i-1}
d\g=}\hspace{2cm}\\
& & =-\sum_{i=1}^{n+2} \frac{Z(y)}{\zeta_i-y}\left(\prod_{j=1}^{n+2}
|Z'(\zeta_j)|^{s_j-\frac{1}{2}}\right)
\frac{s_i\prod_{j=1}^{n+2}
\Gamma(s_j)}{\Gamma(1+\sum_{j=1}^{n+2} s_j)} 
\end{eqnarray*}
Il suffit alors de revenir aux d\'efinitions de $Z$, des $\zeta_i$ et des
$s_j$.\hspace{\fill} $\Box$
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%lemme6  \label{lemme6a}%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemme} \label{lemme6a} On a:
\begin{eqnarray*}
I_n^{(a,b,c)}(y) =  \frac{\Gamma(c)^{n+1} }{\Gamma((n+1)c)}\int_{G \in
\P_{n+1}} G(y) \,
|G(0)|^{a-1} \, |G(1)|^{b-1} |\Delta(G)|^{c-\frac{1}{2}} d\g
\end{eqnarray*}
\end{lemme}
$\Box$ On calcule $I_n^{(a,b,c)}(y)$ en int\'egrant d'abord en $F$ puis en
$G$, puis on
utilise la formule \ref{***3} du lemme \ref{lemme3a}.\hspace{\fill}
$\Box$\medskip

Nous pouvons comparer les deux expressions de $I_n^{(a,b,c)}(y)$, le but
\'etant de calculer par
r\'ecurrence l'int\'egrale d'Aomoto $A_{n}^{(a,b,c)}(y) $ et de la comparer
\`a l'int\'egrale de
Selberg $S_{n}^{(a,b,c)}$. \medskip

Soit l'op\'erateur $\displaystyle D_y^{(\frac{a}{c}-1,\frac{b}{c}-1)}=
y^{1-\frac{a}{c}}(1-y)^{1-\frac{b}{c}}\,
\frac{d}{dy}\, y^{\frac{a}{c}}(1-y)^{\frac{b}{c}}$, c'est la version \`a
une variable de l'op\'erateur,
$\displaystyle D_{+,\y}^{(\alpha,\beta,\gamma)}$, d\'efini dans \cite{de1}
et rappel\'e au lemme
\ref{lemme13}
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%%%%%%%%%%%%%%%%
%proposition1 \label{proposition1a}%
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%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{proposition} \label{proposition1a} Soit:
\begin{eqnarray*} A_{n}^{(a,b,c)}(y) & = & {1\over n!}
\int_{\lbrack 0,1 \rbrack^n} \!  \left( \prod_{i=1}^n (y-x_i) \,
x_i^{a-1} \, (1-x_i)^{b-1} \right) \prod_{1\leq i<j\leq n} | x_i - x_j  |^{2c} 
d\x \smallskip \\
& = &  \int_{F \in \P_n} \! F(y) \, |F(0)|^{a-1}\, |F(1)|^{b-1} \,
|\Delta(F)|^{c-\frac{1}{2}} d\f
\end{eqnarray*}
Alors on a la relation de r\'ecurrence entre $A_{n+1}^{(a,b,c)}(y)$ et
$A_{n}^{(a+c,b+c,c)}(y)$:
\begin{eqnarray*}
\frac{\Gamma(c)}{\Gamma((n+1)c)}\,
A_{n+1}^{(a,b,c)}(y)=-c\,
\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(1+a+b+nc)}D_y^{(\frac{a}{c}-1,\frac{b}{c}-1
)} A_{n}^{(a+c,b+c,c)}(y)
\end{eqnarray*}
\end{proposition}
$\Box$ D'apr\`es le lemme \ref{lemme6a} on a:
\begin{eqnarray*}
I_n^{(a,b,c)}(y) & = & \frac{\Gamma(c)^{n+1} }{\Gamma((n+1)c)}\int_{G \in
\P_{n+1}}
G(y)\, |G(0)|^{a-1} |G(1)|^{b-1} |\Delta(G)|^{c-\frac{1}{2}} d\g \\
& = & \frac{\Gamma(c)^{n+1} }{\Gamma((n+1)c)} A_{n+1}^{(a,b,c)}(y)
\end{eqnarray*} 
D'apr\`es le lemme \ref{lemme5a}:
\begin{eqnarray*}I_n^{(a,b,c)}(y) & = & y(y-1) \frac{\Gamma(a) \Gamma(b)
\Gamma(c)^n}{\Gamma(1+a+b+nc)}
\int_{F \in \P_n} F(y)\times \\
& &\hspace{-2cm} \times \left\{\frac{a}{y}+\frac{b}{y-1}-c\sum_{i=1}^n
\frac{1}{\gamma_i
-y}\right\} |F(0)|^{a+c-1} \, |F(1)|^{b+c-1} \, |\Delta(F)|^{c-
\frac{1}{2}} d\f 
\end{eqnarray*}
Par d\'efinition:
\begin{eqnarray*} \int_{F \in \P_n} F(y) \, |F(0)|^{a+c-1} \,
|F(1)|^{b+c-1} \, |\Delta(F)|^{c- \frac{1}{2}} d\f & = & 
A_{n}^{(a+c,b+c,c)}(y) 
\end{eqnarray*}
D'autre part $\displaystyle F(y) \sum_{i=1}^n \frac{1}{\gamma_i-
y}=-\frac{d}{dy}F(y)$. En utilisant
l'op\'erateur $D_y^{(\frac{a}{c}-1,\frac{b}{c}-1)}$ on peut alors \'ecrire:
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{ \left\{ (a(y-1)+by)
A_{n}^{(a+c,b+c,c)}(y) + cy(y-1) \frac{d}{dy}A_{n}^{(a+c,b+c,c)}(y)
\right\}= }\hspace{6cm} \\
& &= - c D_y^{(\frac{a}{c}-1,\frac{b}{c}-1)} \Big( A_{n}^{(a+c,b+c,c)}(y)
\Big) \hspace{\fill} \Box
\end{eqnarray*}
Rappelons la  formule de
 {\em Rodriguez} pour les
polyn\^omes de Jacobi unitaires, apr\`es changement de variable
$\displaystyle y=\frac{1-x}{2}$:
\begin{eqnarray*} P_{n}^{(\alpha, \beta)}(1-2y) = \frac{2^n}{(\alpha +
\beta +n +1)_n} \,
y^{-\alpha}(1-y)^{-\beta}\frac{d^n}{dy^n} \Big( y^{\alpha+n}(1-y)^{\beta+n}
\Big)
\end{eqnarray*}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%theoreme1 \label{theoreme1a}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theoreme} \label{theoreme1a} L'int\'egrale d'Aomoto,
$A_{n+1}^{(a,b,c)}(y)$,  s'exprime \`a l'aide
des poly\-n\^o\-mes de Jacobi ou de Jacobi
unitaires de la facon suivante:
\begin{eqnarray*}
A_{n+1}^{(a,b,c)}(y) & = &(-2)^{-(n+1)} S_{n+1}^{(a,b,c)}P_{n+1}^{({a\over
c}-1,{b\over
c}-1)}(1-2y)
\end{eqnarray*} 
\end{theoreme}
$\Box$ En revenant \`a
la d\'efinition des op\'erateurs \hfill \\ $\displaystyle D_y^{(\alpha,\beta)}
\stackrel{d\acute{e} f}{= }  y^{-\alpha}(1-y)^{-\beta}\,
\frac{d}{dy}\, y^{\alpha +1}(1-y)^{\beta +1}$, on remarque que:
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{ D_y^{(\frac{a}{c}-1,\frac{b}{c}-1)} \circ
D_y^{(\frac{a}{c},\frac{b}{c})} \circ \cdots
\circ D_y^{(\frac{a}{c}+n-2,\frac{b}{c}+n-2)} \circ
D_y^{(\frac{a}{c}+n-1,\frac{b}{c}+n-1)} = }
\hspace{4.5cm}
\\ & & = y^{1-\frac{a}{c}}(1-y)^{1-\frac{b}{c}}\left(
\frac{d}{dy}\right)^{n+1} 
\Big( y^{n+\frac{a}{c}}(1-y)^{n+\frac{b}{c}} \Big)  
\end{eqnarray*}
Il est clair que $A_{0}^{(a+(n+1)c,b+(n+1)c,c)}(y)=1$, 
et donc en it\'erant la proposition~\ref{proposition1a}:
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{A_{n+1}^{(a,b,c)}(y) = } \\
& & (-c)^{n+1} \bigg( \prod_{j=0}^n \frac{\Gamma\big( (n-j+1)c \big)
\Gamma(a+jc)
\Gamma(b+jc)}{\Gamma(c)
\Gamma(1+a+b+(n+j)c)} \bigg) \times \\
& &\hspace{4cm}\times
y^{1-\frac{a}{c}}(1-y)^{1-\frac{b}{c}}\left(
\frac{d}{dy}\right)^{n+1} 
\Big( y^{n+\frac{a}{c}}(1-y)^{n+\frac{b}{c}} \Big)  
\end{eqnarray*}
En utilisant la relation de contiguit\'e pour la fonction $\Gamma$, la
formule de Rodriguez et la
valeur de l'int\'egrale de Selberg donn\'ee \`a la formule (\ref{*22}) il vient:
\begin{eqnarray*} A_{n+1}^{(a,b,c)}(y) &  = & (-2)^{-(n+1}
S_{n+1)}^{(a,b,c)} P_{n+1}^{({a\over
c}-1,{b\over c}-1)}(1-2y) \hspace{\fill}
\end{eqnarray*}
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%Remarque1%
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\subsubsection{Remarque 1 \label{sub1}}Ce th\'eor\`eme fournit en fait
aussi une d\'emonstration de la
formule (\ref{*22}) donnant la valeur de l'int\'egrale de Selberg (cf.
\cite{an1}).  Ce
th\'eor\`eme est le cas \`a une variable du th\'eor\`eme \ref{theoreme2},
infra.\medskip

On a immediatement le corollaire suivant:
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%Corollaire1%
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\begin{corollaire} \label{corollaire1} Soit \begin{math}
e_{n,k}(\x)=\sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \ldots
<i_k
\leq n} x_{i_1} x_{i_2} \cdots x_{i_k} \end{math} la $k$-i\`eme fonction
sym\'etrique \'el\'ementaire
en les variables $x_1,x_2,\ldots , x_n$. Soit, pour $\ell \in \N$,
$(x)_{\ell}=x(x+1)\cdots
(x+\ell-1)$. Alors:
\begin{eqnarray*}
\displaystyle \A_{n}^{(a,b,c)}(e_{n,k}) & \stackrel{d\acute{e}f}{ =} &
{1\over n!}\displaystyle
\int_{\lbrack 0 ,1\rbrack^n} e_{n,k}(\x)
\prod_{i=1}^n x_i^{a-1} (1-x_i)^{b-1} \prod_{1\leq i<j\leq n} |  x_i - x_j 
|^{2c} \
d\x \\
& = & 2^n \left( {n \atop k}  \right) \frac{\Big(\frac{\scriptstyle
a}{\scriptstyle c}+n-k\Big)_{k}
\Big(\frac{\scriptstyle a}{\scriptstyle c}+\frac{\scriptstyle
b}{\scriptstyle c}+n-1\Big)_{n-k}}{\Big(\frac{\scriptstyle a}{\scriptstyle
c}+\frac{\scriptstyle b}{\scriptstyle c}+n-1\Big)_n}
\ S_n^{(a,b,c)}
\end{eqnarray*}
\end{corollaire}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%
%La m\'ethode d'Anderson le cas m>1%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{La m\'ethode d'Anderson, le cas $m \geq 1$ \label{sec4}}
Ce paragraphe est consacr\'e \`a l'extension \`a plusieurs variables du
r\'esultat pr\'ec\'edent.
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%Introduction de l'op\'erateur $\Phi$%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Introduction de l'op\'erateur $\Phi$ \label{introductionphi}}
La m\'ethode du lemme \ref{lemme2} est imit\'ee d'Anderson \cite{an1}.
On utilisera dans la suite la convention suivante: si $\s=(s_1,\ldots
,s_n)$ est un multi-indice et
si $\x=(x_1, \ldots , x_n)$ est un ensemble de variables on posera
$\x^{\s}=\prod_{i=1}^n
x_i^{s_i}$. On notera aussi $\s-1=(s_1-1,s_2-1,\ldots , s_n-1)$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%lemme7=\label{lemme2}%
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\begin{lemme}\label{lemme2} Soit $\displaystyle \zzeta=( \zeta_1, \zeta_2, 
\ldots , \zeta_{n+1})$ une suite strictement croissante de r\'eels. Soit
$\displaystyle s_1,\cdots
,s_{n+1}$ des nombres complexes de parties r\'eelles suffisamment
gran\-des. Soit $\displaystyle Z(t)=
\prod_{i=1}^{n+1}\, (t-\zeta_{i})$. Soit 
$$\displaystyle \U_n =\left\{\rrho =
(\rho_1,
\cdots , \rho_n ) \in \R^n ; \rho_i > 0,   1 \leq i \leq n \, ,  \sum_{i=1}^n
\rho_i < 1
\right\}$$
On pose $\displaystyle \rho_{n+1}= 1-\sum_{i=1}^n
\rho_i$ et on note $\displaystyle d\rrho=d\rho_1 \cdots d\rho_n$.

Alors si $\y=(y_1, \cdots , y_m )$ et si $G(t) = G_0 + G_1 \, t \cdots + \,
G_{n-1} \, t^{n-1} \, +
t^n$
\begin{eqnarray*} \lefteqn{J_{n+1}^m(\underline{s},\underline{y})
\stackrel{d\acute{e}f}{=}\int_{G
\in
\D_n(Z)} \bigg(\prod_{j=1}^m
\, G(y_j) \bigg)
\prod_{i=1}^{n+1} \,| G(\zeta_i)|^{s_i -1} \, dG_0 \, dG_1 \cdots dG_{n-1}} \\
& & = \bigg( \prod_{j=1}^m  Z(y_j) \bigg) \bigg( \prod_{i=1}^{n+1} 
|Z'(\zeta_i)|^{s_i -{1\over 2}}
\bigg) \int_{\rrho \in \U_n} \Bigg( \prod_{k=1}^m  \left( \sum_{l=1}^{n+1} 
{\rho_{l} \over
y_{k}  -\zeta_{l} } \right) \Bigg) \prod_{l=1}^{n+1} \, \rho_l^{s_{l}-1} \,
d\rrho 
\end{eqnarray*}
\end{lemme}
$\Box$ Le passage de la premi\`ere expression de $\displaystyle
J_{n+1}^m(\s,\y)$ \`a la deuxi\`eme se fait en utilisant la formule
d'interpolation de Lagrange. Posons $\displaystyle Z_{i}(t)= \prod_{j=1
\atop j \not = i}^{n+1} \,
(t-\zeta_{j})$. \medskip
On a alors: $\displaystyle G(t)
\, = \, \sum_{i=1}^{n+1} \, \rho_i \, Z_{i}(t)$ avec $\displaystyle \rho_i = 
{G(\zeta_{i}) \over Z'(\zeta_{i})}$ et $\displaystyle
\sum_{i=1}^{n+1} \,
\rho_i \, = \, 1$

La condition ${G \in \D_n(Z)}$, autrement dit le fait que les racines, 
$\gamma_1$,
$\gamma_2$,\ldots, $\gamma_n$ de $G(t)$ soient enlac\'ees par celles de
$Z(t)$, implique  que $ \rho_i
> 0$ pour $1 \leq i \leq n+1$.

La formule d'interpolation de Lagrange donne donc une bi\-jec\-tion en\-tre
 \\ $\displaystyle
\D_n(Z)$ et
$\displaystyle
\U_n =\left\{
\rrho = (\rho_1,
\cdots , \rho_n ) \in \R^n ; \big(\rho_i  > 0\big)_{1 \leq i \leq n} \, , 
\sum_{i=1}^n
\rho_i < 1 \right\}$. \medskip

On consid\`ere donc que l'on a $n$ variables ind\'ependantes $(\rho_1$, \ldots ,
$\rho_n )$ et que $\rho_{n+1}=1- \sum_{i=1}^n \, \rho_i $. En fait cette
bijection est un diff\'eomorphisme dont le Jacobien vaut:
$$ \left| {D(\rho_1 ,\cdots , \rho_n) \over D(G_0, \cdots , G_{n-1})}
\right| \stackrel{d\acute{e}f}{=} \left| \, \left\| \left({\partial \rho_i
\over \partial G_j}
\right)_{\! {1 \leq i \leq n \atop {\atop 0 \leq j \leq n-1}}} \right\| \,
\right| = \prod_{i=1}^{n+1} \big|\, Z'(\zeta_i) \, \big|^{-{1 \over 2}}=
|\Delta (Z)|^{-\frac{1}{2}}
$$
o\`u $\Delta (Z)$ est le discriminant du polyn\^ome $Z$. On en d\'eduit le
r\'esultat. \hspace{\fill}
$\Box$ \medskip

On introduit un op\'erateur $\Phi$ tr\`es li\'e \`a la transformation de
Mellin, cf. \cite{ls1}.
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%definition3=\label{definition6}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition} \label{definition6} Soit $\Phi
$ l'application
$\R$-lin\'eaire
de
$\R\left\lbrack s_1,s_2,\cdots ,s_{n+1}
\right\rbrack$ dans lui m\^eme d\'efinie de la mani\`ere suivante. Soit
$\a=(a_1, \ldots ,a_{n+1}) \in
\N^{n+1}$. On pose
$(s)_a = s  (s+1)
\cdots (s+a-1)$, et  $(s)_0=1$. On d\'efinit alors:
$$\Phi\left( s_{1}^{a_{1}} s_{2}^{a_{2}}\cdots s_{n+1}^{a_{n+1}}
\right)=(s_1)_{a_{1}} \,
(s_2)_{a_{2}}
\, \cdots (s_{n+1})_{a_{n+1}}$$
\end{definition}
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%Lemme8=\label{lemme3}%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemme}\label{lemme3} Soient $i_1,\ldots ,i_m \in \{1, 2, \ldots
,n+1\}$ (non
n\'ecessairement distincts) et soient $s_1, \ldots , s_{n+1}$ des r\'eels
positifs. Soit:
$$
A_{i_1, \ldots ,i_m} \stackrel{d\acute{e}f}{=} \int_{ \rrho \in \U_n}
\rho_{i_1} \rho_{i_2} \cdots
\rho_{i_m} \left( \prod_{\ell=1}^{n+1} \rho_{\ell}^{s_{\ell}-1} \right) d\rrho 
$$
Alors :
\begin{equation}
A_{i_1, \ldots ,i_m}= \frac{\prod_{i=1}^{n+1} \, \Gamma (s_i)}{
\Gamma(\sum_{i=1}^{n+1} s_i +m )} \,
\Phi \bigg(\prod_{j=1}^m s_{i_j} \bigg)
\end{equation}
\end{lemme}

$\Box$ Consid\'erons le diff\'eomorphisme de $\R_{+}\times \U_n$ sur $\lbrack 0,\infty
\rbrack^{n+1}$ d\'efini par 
\begin{eqnarray*}
(\lambda, \rho_1,\ldots , \rho_n) \longrightarrow (\lambda \rho_1,\lambda
\rho_2,
\ldots , \lambda
\rho_n,\lambda \rho_{n+1}) \\
\mbox{avec} \quad \sum_{i=1}^{n+1} \rho_i = 1 \quad \mbox{et} \quad \rho_i
>0
\ \mbox{pour} \  1
\leq i \leq n+1  
\end{eqnarray*}

L'application r\'eciproque qui va de $\lbrack 0,\infty \rbrack^{n+1}$ sur
$\R_{+}\times \U_n$ est
donn\'ee par
\begin{eqnarray*}
(x_1,x_2, \ldots , x_{n+1}) \longrightarrow \Big(\, \sum_{i=1}^{n+1} x_i \ ,\
{x_1
\over
\sum_{i=1}^{n+1} x_i}\ ,\ {x_2 \over \sum_{i=1}^{n+1} x_i}\ ,\ \ldots {x_n \over
\sum_{i=1}^{n+1} x_i}\, \Big)
\end{eqnarray*}

et le Jacobien de la transformation est $\displaystyle \left| {D(x_1,x_2,
\ldots ,
x_{n+1} )
\over D(\lambda , \rho_1 , \ldots ,
\rho _n) } \right| = \lambda^n$. \medskip
En utilisant ce changement de variable il vient:
\begin{eqnarray*} 
\lefteqn{A_{i_{1},i_{2},\ldots , i_{n}}  \Gamma \Big( \sum_{i=1}^{n+1} s_i
+m \Big)  = } \\
& & =\int_{\rrho
\in \U_n} \rho_{i_1} \ldots \rho_{i_m} \rrho^{\s-1} d\rrho \int_0^{+\infty}
e^{-\lambda}
\lambda^{^{\big( \sum_{i=1}^{n+1} s_i +m -1\big)}} d\lambda \medskip\\
&  & = \int_{\x \in \lbrack0,\infty\rbrack^{n+1}} e^{\big(-\sum_{i=1}^{n+1}
x_i \big)}
\ x_{i_{1}} x_{i_{2}} \cdots x_{i_{m}}\, \x^{\s -1} \ d\x
\end{eqnarray*}
Pour chaque $i \in \{ 1, \ldots , n+1\}$ notons $a_i =\# \{j ; 1 \leq j
\leq m \, , \ i_j =i\}$:
\begin{eqnarray*}
A_{i_{1},i_{2},\ldots , i_{m}} \Gamma \Big(\sum_{i=1}^{n+1} s_i +m \Big) &
= & \prod_{i=1}^{n+1}
\int_0^{+\infty} e^{- x_i} x_i^{s_i + a_i -1}dx_i \\
& = & \left( \prod_{i=1}^{n+1} \Gamma(s_i) \right)
\Phi\Big(\prod_{i=1}^{n+1} s_i^{a_i} \Big)
\hspace{\fill}
\Box
\end{eqnarray*}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%proposition2=\label{proposition7}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{proposition} \label{proposition7}
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{J_{n+1}^m(\s,\y)= \bigg( \prod_{j=1}^m Z(y_j) \bigg) \bigg(
\prod_{i=1}^{n+1}
\big| Z'(\zeta_i)\big|^{s_i-\frac{1}{2}} \bigg)
\frac{\prod_{i=1}^{n+1}\Gamma(s_i)}{\Gamma(\sum_{i=1}^{n+1} s_i+m)} \times} \\
& & \hspace{5.5cm} \times  \sum_{1\leq i_1,
\ldots  ,i_m
\leq n+1} \bigg( \prod_{j=1}^m \frac{1}{y_j-\zeta_{i_j}}\bigg) \Phi \Big(
\prod_{j=1}^m s_{i_j} \Big)
\end{eqnarray*}
\end{proposition} 
$\Box$ C'est une cons\'equence imm\'ediate des lemmes \ref{lemme2} et
\ref{lemme3}. \hspace{\fill}
$\Box$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Expression de l'op\'erateur $\Phi$ \`a l'aide d'un op\'e\-rateur
diff\'erentiel%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Expression de l'op\'erateur $\Phi$ \`a l'aide d'un op\'e\-rateur
diff\'erentiel\label{Phi}} Soit $S_m=S=\{1,2,\ldots ,m\}$ et soit $y_1$,
$y_2$, \ldots, $y_m$,
$y_{m+1}$ des variables. Si $j\in S$ on notera $\displaystyle
\partial_j=\frac{\partial}{\partial
y_j}$.

Si $T \subset S_m$ on notera: 
\begin{displaymath} T' = T\cup \{m+1\}\, , \ V_T =\prod_{i,j \in T \atop
i<j} (y_i-y_j) \, ,
\ \partial^{(T)}= \prod_{ j \in T} \partial_j \, , \quad D_T=\frac{1}{V_T}
\partial^{(T)} V_T 
\end{displaymath}
$V_T$ est le Vandermonde des variables $(y_j)_{j \in T}$. Si $T=\emptyset$
on utilise la convention
standard: soit $\bf I$ l'application identique de $\CC^m$, on pose
$D_{\emptyset}=\bf I$ et
$V_{\emptyset}= 1$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%proposition3=\label{proposition4}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{proposition} \label{proposition4} Soient $f$ et $g$ deux fonctions
de classe $\CC^m$ en les
variables
$y_1$,
$y_2$, \ldots, $y_m$ alors:
\begin{displaymath} D_S(fg)=\sum_{T \subset S} D_T(f) \cdot D_{S-T}(g)
\end{displaymath} 
\end{proposition}
$\Box$ La d\'emonstration se fait laborieusement par r\'ecurrence sur $m$,
cf \cite{bc1}.\hspace{\fill}
$\Box$
\medskip Soit $s_1$, $s_2$, \ldots ,$s_n$ des r\'eels, avec les notations
pr\'ec\'edentes posons:
\begin{eqnarray*} 
f_n(y_j) = \sum_{i=1}^n {s_i \over y_j - \zeta_i} \ & ; & \ \F_n (\y) =
\prod_{j=1}^m
f_n(y_j)
\\ g_n(y_j) = \prod_{i=1}^n (y_j -\zeta_i)^{s_i} \ & ; & \ \G_n (\y)
=\prod_{j=1}^m
g_n(y_j) 
\end{eqnarray*}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%lemme9=\label{lemme4}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemme}\label{lemme4} $\displaystyle \frac{1}{\G_n(\y)}D_S \big(
\G_n(\y) \big)$ est un
polyn\^ome en
$\s=(s_1, s_2,
\ldots , s_n)$ \`a coefficients dans $\Z(\y - \zzeta)$, o\`u
$\y-\zzeta=\left\{ (y_j-\zeta_i)_{1 \leq i
\leq n \atop 1 \leq j \leq m} \right\}$.
\end{lemme}
$\Box$ En effet \begin{math}
\displaystyle \frac{1}{V(\y)\G(\y)}\, \frac{\partial^m}{\partial y_1
\partial y_2 \cdots \partial
y_m}\, V(\y) \G(\y) \end{math} est une d\'eriv\'ee logarithmique par
rapport aux variables \begin{math}
y_1,y_2,\ldots , y_m \end{math} et donc les exposants des \( y_j-\zeta_i \)
apparaissent
polynomialement. $\Box$\smallskip

La proposition suivante est fondamentale.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%proposition4=\label{proposition5} %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{proposition}\label{proposition5} 
On a: $\displaystyle \frac{1}{\G_n(\y)}D_S \big( \G_n(\y)
\big)=
\Phi \big( \F_n(\y) \big)$
\end{proposition}
$\Box$ On proc\`ede par r\'ecurrence sur $n$.

Pour $n=1$ \'ecrivons $\zeta=\zeta_1$ et $s=s_1$. Il nous faut d\'emontrer:
\begin{equation} \frac{1}{\prod_{j=1}^m (y_j - \zeta)^{s-1}} D_S \bigg(
\prod_{j=1}^m
(y_j-\zeta)^s \bigg) =(s)_m \label{*18}
\end{equation}
Il est clair que le membre de gauche est un polyn\^ome en $s$ unitaire de
degr\'e $m$. Il suffit donc
de montrer que pour, $s=0$, $s=1$, \ldots ,$s=m-1$ on a $\displaystyle
\partial^{(S)} \bigg( V_S
\prod_{j \in S} (y_j - \zeta )^{-s} \bigg)=0$. Or $\displaystyle V_S
\prod_{j \in S} (y_j - \zeta )^{-s}$ est \'egal au d\'eterminant de la
matrice carr\'ee d'ordre
$m$, $\displaystyle A=A(s)=
\Big(A_{i,j}\Big)_{1 \leq i,j \leq m}$, o\`u $\displaystyle A_{i,j}=
\frac{y_j^{i-1}}{(y_j- \zeta)^s}$.

On obtient $\partial^{(S)}(\| A\|)$ en d\'erivant chacune des lignes de $A$
par rapport \`a la
variable $y_j$ correspondante, $\partial^{(S)}(\| A\|)$ est donc \'egal au
d\'eterminant de la
matrice $\displaystyle B(s)= \frac{-1}{\prod_{j \in S}(y_j-
\zeta)^{s+1}}\times C$ o\`u $C$ est la
matrice $\displaystyle C=\Big( C_{i,j} \Big)_{1 \leq i,j \leq m}$ avec
$C_{i,j}= (s-i+1)y_j^{i-1}
+(i-1)\, \zeta\, y_j^{i-2}$. Notons $\vec{C}_{\ell}$ la $\ell$-i\`eme ligne
de $C$. Pour $s=0,1,
\ldots , m-1$, on a $\displaystyle \sum_{k=0}^s (-1)^k { s \choose k}
\vec{C}_{s-k+1} \zeta^k =
\vec{0}$, et donc $\|B(s)\|=0$, pour $s=0,1,\ldots , m-1$.

Supposons maintenant la propri\'et\'e vraie \`a l'ordre $n-1$. Posons $S=\{
1,2, \ldots , m\}$

On peut \'ecrire:
\begin{displaymath} \F_n(\y) = \sum_{k=0}^m \alpha_k s_n^k \quad
\mbox{avec} \quad \alpha_k=\sum_{
T \subset S \atop |T|=k} \frac{\F_{n-1}(\y)}{\prod_{j \in T}(y_j - \zeta_n)
f_{n-1}(y_j)}
\end{displaymath}
D'apr\`es l'hypoth\`ese de r\'ecurrence:
\begin{displaymath} \Phi \left( \frac{\F_{n-1}(\y)}{\prod_{j \in T}
f_{n-1}(y_j)} \right) =
\frac{1}{\G_{n-1}(\y)}D_{S-T} \big( \G_{n-1}(\y) \big)
\end{displaymath}
de sorte que 
\begin{displaymath} \begin{array}{l}   \Phi \big(\F_n(\y) \big) =
\sum_{k=0}^m \beta_k \cdot (s_n)_k 
\\
\\
\mbox{avec} \quad   \displaystyle \beta_k = \frac{1}{\G_{n-1}(\y)} \sum_{ T
\subset S \atop
|T|=k} \frac{1}{\prod_{i \in T} (y_i-\zeta_n)} D_{S-T} \big( \G_{n-1}(\y) \big) 
\end{array}
\end{displaymath}
et donc 
\begin{equation} \Phi\big( \F_n(y) \big) = \frac{1}{\G_{n-1}(\y)}\sum_{T
\subset S}
\frac{(s_n)_{|T|}}{\prod_{j \in T}(y_j-\zeta_n)} D_{S-T} \big( \G_{n-1}(\y)
\big)  \label{*19}
\end{equation}
D'autre part d'apr\`es la proposition \ref{proposition4} et la formule (\ref{*18})
\begin{eqnarray*} D_S\big( \G_n(\y) \big) & = & D_S \bigg( \prod_{j=1}^m
(y_j -\zeta_n)^{s_n}
\G_{n-1}(\y) \bigg) \\
& = & \sum_{T \subset S} D_T \bigg( \prod_{j=1}^m (y_j- \zeta_n)^{s_n}
\bigg)\cdot D_{S-T} \Big(
\G_{n-1}(\y) \Big) \\
& = & \sum_{T \subset S}\left( \prod_{j \in S}(y_j-\zeta_n)^{s_n}
\right)\frac{(s_n)_{|T|}
}{\prod_{j
\in T} (y_j-\zeta_n)} D_{S-T} \Big( \G_{n-1} (\y) \Big)  \\
\end{eqnarray*}

D'apr\`es la formule (\ref{*19}) on a $\displaystyle D_S\Big( \G_n(\y)
\Big) = \Phi(\F_n(y)) \cdot
\G_{n-1}(\y)
 \prod_{j \in S} (y_j-\zeta_n)^{s_n}$ et $\displaystyle \G_{n-1}(\y)
\prod_{j \in S}
(y_j-\zeta_n)^{s_n} = \G_n(\y)$. La proposition est d\'emontr\'ee $\Box$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%R\'ecurrence entre $A_{n+1}^{(a,b,c)}(\y)$ et $A_{n}^{(a+c,b+c,c)}(\y)$}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{R\'ecurrence entre $A_{n+1}^{(a,b,c)}(\y)$ et
$A_{n}^{(a+c,b+c,c)}(\y)$ \label{recurrence}}
Rappelons que l'on a pose, cf. la formule (\ref{*1}) et (\ref{*16}):
\begin{eqnarray*}\lefteqn{A_n^{(a,b,c)}(\y) \stackrel{d\acute{e}f}{ =} }\\
& & {1\over n!}
\int_{\lbrack 0,1 \rbrack^n}
\Big(\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^m(y_j-x_i)\Big)\prod_{i=1}^n
x_i^{a-1} (1-x_i)^{b-1}\! \! \prod_{1\leq i<j\leq n} |  x_i - x_j  |^{2c} \
d\x \end{eqnarray*}
Soit $\displaystyle \P_n = \left\{ F(t)= \prod_{i=1}^n
(t-\varphi_i) \in \R\lbrack t \rbrack ; \ \varphi_i \in \R\, ; \ 0 \leq
\varphi_i \leq 1, \, 1 \leq i \leq n
\right\}$. Soit:
\begin{eqnarray*}\lefteqn{E_{n+1} = \Big\{ (F,G) \in \P_n \times \P_{n+1} \,
;\, F(t)=\prod_{i=1}^n (t-\varphi_i)\, , \  G(t)=
\prod_{i=1}^{n+1} (t-
\gamma_i)\, ;}\hspace{5cm} \\
& & 0 \leq \gamma_1 < \varphi_1 < \gamma_2 < \ldots < \varphi_n <
\gamma_{n+1} \leq 1 \Big\}
\end{eqnarray*}
Si $G(t)=
\prod_{i=1}^{n+1} (t-
\gamma_i) \in \P_{n+1}$, notons:
\begin{displaymath}\D_{n}(G)=\Big\{ F\in \P_n    
;\, F(t)=\prod_{i=1}^n (t-\varphi_i) ; \,   \gamma_1 < \varphi_1 < \gamma_2
< \ldots < \varphi_n <
\gamma_{n+1} \Big\}
\end{displaymath}
Posons, si $F\in \P_n$, $F(t)= t^n +\sum_{i=0}^{n-1} F_i\, t^i $ et $d\f =
\prod_{i=0}^{n-1} dF_i$. 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%
%lemme10=\label{lemme8} %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemme}\label{lemme8} 
Posons pour
$a,b,c
\in
\R_{+}^{*}$:
\begin{eqnarray*} I_{m,n}^{(a,b,c)}(\y)  \stackrel{d\acute{e}f}{=} 
\int_{(F,G) \in E_{n+1}}
\bigg( \prod_{j=1}^m G(y_j) \bigg)
| G(0)|^{a-1} | G(1)|^{b-1}
 | R(F,G) |^{c-1}  d{\f} d{\g}  
\end{eqnarray*}
Alors:
$$I_{m,n}^{(a,b,c)}(\y)=\frac{\Gamma (c)^{(n+1)}}{\Gamma((n+1)c)}\,
A_{n+1}^{(a,b,c)}(\y)$$
\end{lemme}
$\Box$ Soit $F(t)=\prod_{i=1}^n (t-\varphi_i) \in \P_n$. Soit
$Z(t)=t(t-1)F(t)$ et soit:
\begin{eqnarray*}\lefteqn{\D_{n+1}(Z)=  \Big\{ G \in \P_{n+1} \, 
;\, G(t)=
\prod_{i=1}^{n+1} (t-
\gamma_i)\, ,  } \hspace{3cm} \\
& & \mbox{avec} \  0 \leq \gamma_1 < \varphi_1 < \gamma_2 < \ldots < \varphi_n <
\gamma_{n+1} \leq 1 \Big\}
\end{eqnarray*}
Int\'egrons $I_{m,n}^{(a,b,c)}(\y)$ d'abord en $F\in \P_{n}$ puis en $G\in
\P_{n+1}$:
\begin{eqnarray*} \lefteqn{ I_{m,n}^{(a,b,c)}(\y)  =  } \\
& &=\int_{G \in \P_{n+1}} \int_{F \in
\D_{n}(G)}
\Bigg( \prod_{j=1}^m G(y_j)\Bigg)
| G(0)|^{a-1} | G(1)|^{b-1} \prod_{i=1}^{n+1}| F(\gamma_i) |^{c-1} \, d{\f}
d{\g}  
\end{eqnarray*}
Appliquons le lemme \ref{lemme2}, avec $m=0$, c'est \`a dire avec
$\prod_{j=1}^m G(y_j)=1$. Soit
$\displaystyle G'=\frac{d}{dt}G$:
\begin{eqnarray*} \int_{F \in \D_{n}(G)} \prod_{i=1}^{n+1}|
F(\gamma_i)|^{c-1}d\f= \prod_{i=1}^{n+1}
| G'(\gamma_i) |^{c-1/2} \, \int_{\lambda \in \U_n} \,
\prod_{\ell=1}^{n+1}\lambda_\ell^{c-1}d\lambda  
\end{eqnarray*}
D'apr\`es le lemme \ref{lemme3} avec $m=0$:
$\displaystyle \int_{\lambda \in \U_n} 
\prod_{\ell=1}^{n+1}\lambda_\ell^{c-1}d\lambda = \frac{\Gamma
(c)^{n+1}}{\Gamma((n+1)c)}$. Donc:
\begin{eqnarray*} \lefteqn{I_{m,n}^{(a,b,c)}(\y)  = }\\
& & = \frac{\Gamma (c)^{n+1}}{\Gamma((n+1)c)} \int_{G \in
\P_{n+1}} 
\Bigg( \prod_{j=1}^m G(y_j) \Bigg)
| G(0)|^{a-1} | G(1)|^{b-1} | \Delta (G) |^{c-1/2} \, d{\g} 
\end{eqnarray*}
D'o\`u le r\'esultat. \hspace{\fill} $\Box$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%
%lemme11=\label{lemme9}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemme}\label{lemme9} Soit $F(t) \in \P_n$ et  $Z(t)=t(t-1)F(t)$. Notons
$\zzeta=(\zeta_1,\ldots , \zeta_{n+2})$ les z\'eros de
$Z(t)$,  avec $\zeta_1=0 < \zeta_2 < \ldots < \zeta_{n+1} < \zeta_{n+2}
=1$. Soit $\s=(s_1, s_2, 
\ldots , s_{n+1}, s_{n+2})$, soit $\displaystyle \F(\y,\zzeta, \s) =
\prod_{j=1}^m
\bigg( \sum_{\ell =1}^{n+2} \frac{s_{\ell}}{y_j - \zeta_{\ell}}\bigg)$.
\renewcommand{\arraystretch}{0.5} Posons si
$s_1 =a$,
$s_2=s_3=\ldots =s_{n+1} =c$, $s_{n+2}=b$ $$\H^{(a,b,c)}(\y,\zzeta)=
\Phi(\,\F(\y,\zzeta,\s\,))\begin{array}[t]{|l} \\  {\scriptstyle s_1=a }\\
{\scriptstyle s_2=\ldots=s_{n+1}=c }\\
{\scriptstyle s_{n+2}=b}
\end{array} $$  Alors:
\begin{eqnarray*} \lefteqn{I_{m,n}^{(a,b,c)}(\y)  =  }\\
&  & = \frac{\Gamma(a) \Gamma (b) \Gamma (c)^n}{\Gamma(m+a+b+nc)}\int_{F
\in \P_n}\, |F(0)|^{a+c-1}
\cdot |F(1)|^{b+c-1} \cdot |\Delta (F)|^{c-1/2} \times \\
& &\hspace{5cm}\times \left( \prod_{j=1}^m (y_j(1-y_j)F(y_j) \right)
\H^{(a,b,c)}(\y,\zzeta)d\f
\end{eqnarray*}
\end{lemme}
$\Box$ Int\'egrons d'abord en G puis en F dans la d\'efinition de
$I_{m,n}^{(a,b,c)}(\y)$. Il vient:
\begin{eqnarray*} \lefteqn{I_{m,n}^{(a,b,c)}(\y) =} \\
&  & = \int_{F \in \P_n}\int_{G \in \D_{n+1}(Z)}
\Bigg( \prod_{j=1}^m G(y_j) \Bigg)
|G(0)|^{a-1} |G(1)|^{b-1}|R(F,G)|^{c-1} d{\f} d{\g} 
\end{eqnarray*}
Notons $\varphi_1=\zeta_2, \ldots , \varphi_n=\zeta_{n+1}$ les z\'eros de $F$. 

On a $Z'(\zeta_{i+1})=\varphi_i(\varphi_i-1)F'(\varphi_i)$ pour $1 \leq i
\leq n$. De m\^eme on a $Z'(0)=-
F(0)$ et
$Z'(1)=F(1)$, d'o\`u $\left|\prod_{i=2}^{n+1} Z'(\zeta_i) \right| = |F(0)|
\, |F(1)| \,
|\Delta(F)|$. On applique la proposition \ref{proposition7} et le lemme
\ref{lemme3}.\hspace{\fill}
$\Box$

Lorsqu'il sera n\'ecessaire de pr\'eciser les variables on notera
$\partial^{(T)}_{\y}$ au lieu de
$\partial^{(T)}$. On notera egalement $V(\y)$ au lieu de $V_S(\y)$ le
Vandermonde en les variables
$\y=(y_1,\ldots,y_m)$. Si
$U\subset S$,
$|U|$ est le cardinal de $U$. 

On montre facilement le lemme suivant.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%
%lemme12=\label{lemme10}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemme}\label{lemme10} Soit $\DD=\DD_{\y}^{(a,b,c)}$ l'op\'erateur
diff\'erentiel sur $ \R
\lbrack \y \rbrack= \R
\lbrack y_1,\ldots,y_m \rbrack $ d\'efini de la mani\`ere suivante:
\begin{eqnarray*} \lefteqn{\DD_{\y}^{(a,b,c)} \Big(\Psi(\y)\Big) =} \\
& & = \frac{1}{\Psi(\y)^{c-1}}\prod_{j=1}^m
\frac{1}{y_j^{a-1} (y_j-1)^{b-1}}\cdot D_{{}_S} \bigg( \Big(\prod_{j=1}^m
y_j^{a} (y_j-1)^{b}\Big)
\Psi(\y)^{c} \bigg)
\end{eqnarray*}
Soit $ \displaystyle P(\y)= V(\y) \prod_{j=1}^m y_j^{a-1}(y_j-1)^{b-1}$, $
\displaystyle Q(\y)= V(\y)
\prod_{j=1}^m y_j^{a} (y_j-1)^{b}$ et soit $\displaystyle
\eta_{_T}(\y)=\frac{c^{|S-T|}}{P(\y)}\partial^{(T)} \Big( Q(\y) \Big)$. 

Si $ \displaystyle \Psi(\y)=\psi_1(y_1)\psi_2(y_2)\cdots \psi_m(y_m)$ o\`u
$\psi_i(y_i) \in \R\lbrack
y_i \rbrack$, alors
\begin{eqnarray*} \DD_{\y}^{(a,b,c)} \Big( \Psi(\y) \Big) = \sum_{T \subset S}
\eta_{_{S-T}} (\y) \partial^{(T)}\Big(\Psi(\y)  \Big)
\end{eqnarray*}
\end{lemme}
 Remarquons que les $\eta_{_T} (\y)$ ne d\'ependent pas de $\Psi$. \medskip

Ce lemme montre que
la restriction de l'op\'erateur non lin\'eaire
$\DD_{\y}^{(a,b,c)}$ aux polyn\^omes qui sont des produits de polyn\^omes
\`a une variable
co\"{\i}ncide avec un op\'erateur diff\'erentiel lin\'eaire \`a
coefficients dans
$\Q (y_1,\ldots , y_m)$. \medskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%proposition5=\label{proposition1}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{proposition} \label{proposition1}  On a:
\begin{eqnarray*} A_{n+1}^{(a,b,c)}(\y) = \frac{\Gamma (a) \Gamma (b) \Gamma
((n+1)c)}{\Gamma(m+a+b+nc) \Gamma (c)}\sum_{T
\subset S}
\eta_{_{S-T}} (\y) \partial^{(T)} \Big( A_n^{(a+c,b+c,c)}(\y) \Big)
\end{eqnarray*}
\end{proposition}
$\Box$ Soit $F$ un polyn\^ome \`a une variable $F
\in \R \lbrack y \rbrack$, de degr\'e $n$. Soit $Z(t)=y(y-1)F(y)$ et soient
$\zeta_1=0$, $\zeta_2$,
\ldots , $\zeta_{n+1}$, $\zeta_{n+2}=1$ les racines de $Z(y)$, donc
$\prod_{i=1}^{n+2}
(y-\zeta_i)=y(y-1)F(y)$. Posons: $\displaystyle h(y)=\sum_{i=1}^{n+2}
\frac{s_i}{y-\zeta_i}$ et
$\F(\y,\zzeta,\s)=\prod_{j=1}^m h(y_j)$. Montrons alors que:
\begin{equation} \left( \prod_{j=1}^m y_j (y_j -1) F(y_j) \right)
\H^{(a,b,c)}(\y,\zzeta)=
\DD_{\y}^{(a,b,c)}
\left(
\prod_{j=1}^m F(y_j) \right) \label{*20}
\end{equation}
o\`u $\H^{(a,b,c)}(\y,\zzeta)$ a \'et\'e d\'efini au lemme \ref{lemme9}.
On a vu en effet \`a la proposition \ref{proposition5} que:
$$\Phi(\F (\y,\zzeta,\s))= \frac{1}{V(\y)}\prod_{i=1}^{n+2} \prod_{j=1}^m
\frac{1}{(y_j
-\zeta_i)^{s_i}}
\partial^{(S)} \left( V(\y) \prod_{i=1}^{n+2} \prod_{j=1}^m (y_j
-\zeta_i)^{s_i} \right)$$
Comme  $s_1=a$, $s_2=s_3=\ldots =s_{n+1}=c$, $s_{n+2}=b$, il vient:
\begin{eqnarray*}\lefteqn{ \H^{(a,b,c)}(\y,\zzeta) = } \\
& & = \frac{1}{V(\y)}\left( \prod_{j=1}^m
\frac{1}{y_j^a (y_j-1)^b F(y_j)^c}\right)
\partial_{\y}^{(S)}\left( V(\y)\prod_{j=1}^m y_j^a(y_j-1)^b F(y_j)^c \right)
\end{eqnarray*}
D'o\`u le r\'esultat (\ref{*20}).

On a alors: 
\begin{eqnarray}\lefteqn{ \int_{F \in \P_n } |F(0)|^{a+c-1} |F(1)|^{b+c-1}
|\Delta(F)|^{c-1/2}
  \left( \prod_{j=1}^m y_j (y_j-1)F(y_j) \right)\times } \nonumber \\
& &\hspace{7cm} \times \H^{(a,b,c)}(\y,\zzeta) d\f  = \nonumber \\
& = &\sum_{T \subset S} \eta_{_{S-T}} (\y) \partial^{(T)} \big(
A_n^{(a+c,b+c,c)}(\y)
\big) \label{*21}
\end{eqnarray}

 En effet d'apr\`es la formule (\ref{*20}), on a: 
\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int_{F \in \P_n } |F(0)|^{a+c-1} |F(1)|^{b+c-1}
|\Delta(F)|^{c-1/2}
\left( \prod_{j=1}^m y_j (y_j-1)F(y_j) \right)\times} \\
&  &\hspace{7cm} \times \H^{(a,b,c)}(\y,\zzeta) d\f = \\
& = &\int_{F \in \P_n } |F(0)|^{a+c-1} |F(1)|^{b+c-1} |\Delta(F)|^{c-1/2}
\times \\
& &\hspace{5cm}\times \DD_{\y}^{(a,b,c)}\Big( \prod_{j=1}^m F(y_j) \Big) d\f
\end{eqnarray*}
D'apr\`es le lemme \ref{lemme10} on a:
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\int_{F \in \P_n } |F(0)|^{a+c-1} |F(1)|^{b+c-1}
|\Delta(F)|^{c-1/2} \times} \\
& & \hspace{4cm}\times \DD_{\y}^{(a,b,c)} \Big( \prod_{j=1}^m F(y_j) \Big)
d\f \\
& = & \hspace{-0.5cm}\int_{F \in \P_n } |F(0)|^{a+c-1} |F(1)|^{b+c-1}
|\Delta(F)|^{c-1/2} \times \\
& & \hspace{4cm} \times\left\{
\sum_{T
\subset S}
\eta_{_{S-T}} (\y)  \partial^{(T)}\Big( \prod_{j=1}^m F(y_j) \Big)  \right\}
d\f \\ 
& = & \hspace{-0.5cm} \sum_{T \subset S}
\eta_{_{S-T}} (\y) \partial^{(T)}\left( \int_{F \in \P_n } |F(0)|^{a+c-1}
|F(1)|^{b+c-1}
|\Delta(F)|^{c-1/2}
\prod_{j=1}^m F(y_j) d\f \right)
\end{eqnarray*}
Par d\'efinition le dernier membre est \'egal \`a:
\begin{eqnarray*}\sum_{T \subset S}
\eta_{_{S-T}} (\y) \partial^{(T)} \Big( A_n^{(a+c,b+c,c)}(\y) \Big) 
\end{eqnarray*}
Les lemmes \ref{lemme8} et \ref {lemme9}  et la formule (\ref{*21})
entra\^{\i}nent le r\'esultat.
\hspace{\fill} $\Box$ \medskip

En utilisant les notations de \cite{de1} on obtient le lemme suivant:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%lemme13=\label{lemme13}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemme}\label{lemme13} Soit $\displaystyle
f(\y)=2^m\prod_{i=1}^m y_i$,
$\displaystyle g(\y)=(-2)^m\prod_{i=1}^m (y_i-1)$. Soit, pour
$S=S_m=\{1,2,\ldots,m\}$ (cf.
\cite{de1})
\begin{eqnarray*} D_{-,\y}^{\gamma}& \stackrel{d\acute{e}f}{=}
&\frac{1}{V_S(\y)}\sum_{k=0}^m
\big(\gamma +\frac{1}{2}\big)^{k}
\sum_{|T|=k
\atop T\subset S} \Big(
\partial_{\y}^{(T)}V_S(\y) \Big) \partial_{\y}^{(S-T)} \\
D_{+,\y}^{(\alpha,\beta,\gamma)} & \stackrel{d\acute{e}f}{=} & \frac{1}{f^{\alpha}g^{\beta}}\circ
D_{-,\y}^{\gamma}
\circ f^{\alpha +1}g^{\beta +1}
\end{eqnarray*} 
Il existe
alors des fonctions rationnelles
$\displaystyle
\rho_{_{U}}^{(\alpha,\beta,\gamma)}(\y)$ d\'efinies pour $U \subset S_m$
telles que: 
$$D_{+,\y}^{(\alpha,\beta,\gamma)}=\sum_{U \subset S}
\rho_{_{U}}^{(\alpha,\beta,\gamma)}(\y)
\partial_{\y}^{(U)} $$
En posant $\delta=\gamma+\frac{1}{2}$, on a:
\begin{eqnarray*}\rho_{_U}^{(\alpha,\beta,\gamma)}(\y) & = &
\frac{(-4)^m}{V_S(\y) \prod_{i=1}^m
y_i^{\alpha} (y_i-1)^{\beta}} \times \\ \nopagebreak
& &\times \sum_{T
\subset S-U}
\delta^{|T|}\Big(\partial_{\y}^{(T)} V_S(\y)\Big) \cdot \Big(
\partial_{\y}^{(S-T-U)} \prod_{i=1}^m
y_i^{\alpha +1} (y_i-1)^{\beta +1} \Big)
\end{eqnarray*}
de plus $V_S(\y)\rho_{_{U}}^{(\alpha,\beta,\gamma)}(\y) $ est un polyn\^ome
antisym\'etrique en les
$y_i$.
\end{lemme}
$\Box$ Voir \cite{de1} chapitre II, pour les d\'efinitions et les
propri\'et\'es des op\'erateurs
$D_{-,\y}^{\gamma}$ et $D_{+,\y}^{(\alpha,\beta,\gamma)}$. La
d\'emonstration du lemme est
\'el\'ementaire en remarquant que l'on a la relation suivante: $\displaystyle
D^{\gamma}_{-,\y}=(-2)^m D^{\gamma}_{-,\x}$. 
\hspace{\fill}
$\Box$ \medskip

Posons: 
\begin{equation} \alpha=\frac{a}{c} -1,\ \beta= \frac{b}{c} -1,\
\mbox{et}\ \gamma=\frac{1}{c} - \frac{1}{2}  \Longleftrightarrow  \delta =
\frac{1}{c}
\label{**11}
\end{equation} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%lemme14=\label{lemme14}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemme} \label{lemme14} Si $W \subset S$ et si $(\alpha,\beta ,
\gamma)$ sont reli\'ees \`a
$(a,b,c)$ par les formules {\em (\ref{**11})} on a:
\begin{eqnarray*}\lefteqn{ \frac{1}{\prod_{i=1}^m
y_i^{\alpha}(y_i-1)^{\beta}} \partial_{\y}^{(W)}\bigg( \prod_{i=1}^m
y_i^{\alpha +1}(y_i-1)^{\beta +1} \bigg)  = } \\
 & & \hspace{2cm} = c^{-|W|} \frac{1}{\prod_{i=1}^m
y_i^{a-1}(y_i-1)^{b-1}}\partial_{\y}^{(W)} \bigg( \prod_{i=1}^m
y_i^{a}(y_i-1)^{b} \bigg)
\end{eqnarray*}
\end{lemme}
$\Box$ En effet:
\begin{eqnarray*} \lefteqn{\frac{1}{\prod_{i=1}^m
y_i^{\alpha}(y_i-1)^{\beta}} \partial_{\y}^{(W)}\bigg( \prod_{i=1}^m
y_i^{\alpha +1}(y_i-1)^{\beta +1} \bigg) =}\hspace{2cm} \\
& & \hspace{1cm} = \prod_{i \in W} \Big((\alpha +1) y_i +(\beta +1)(y_i-1)
\Big)\\
&  &\hspace{1cm} =  c^{-|W|} \frac{1}{\prod_{i=1}^m
y_i^{a-1}(y_i-1)^{b-1}} \partial_{\y}^{(W)}\bigg( \prod_{i=1}^m
y_i^{a}(y_i-1)^{b} \bigg) \hspace{\fill} \Box
\end{eqnarray*}
Rappelons que si $U \subset S$, alors:
\begin{displaymath} \eta_{_U}(\y)=\eta_{U}^{(a,b,c)}(\y)=
\frac{c^{|S-U|}}{V_S(\y)\prod_{i=1}^m
y_i^{a-1} (y_i-1)^{b-1}} \partial_{\y}^{(U)}\bigg( \prod_{i=1}^m y_i^{a}
(y_i-1)^{b}\, V_S(\y) \bigg) \end{displaymath}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%lemme15=\label{lemme15}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemme} \label{lemme15}  Soit
$\displaystyle \rho_{_U}^{(\frac{a}{c}-1 , \frac{b}{c}-1
,\frac{1}{c}-\frac{1}{2})}(\y)$
d\'efini au {\em lemme \ref{lemme13}} et $\displaystyle
\eta_{U}^{(a,b,c)}(\y)$ d\'efini au { \em
lemme \ref{lemme10}}, alors:
$$ \rho_{_U}^{(\frac{a}{c}-1 , \frac{b}{c}-1
,\frac{1}{c}-\frac{1}{2})}(\y)=\left(- \frac{4}{c} \right)^{|S|}
\eta_{_{S-U}}^{(a,b,c)}(\y)$$
\end{lemme}
$\Box$ D'apr\`es le lemme \ref{lemme14}, avec $\delta =\frac{1}{c}$,
$|S|=m$ et $\alpha$, $\beta$,
$\gamma$ comme \`a la formule (\ref{**11}):
\begin{eqnarray*}\lefteqn{\rho_U^{(\alpha,\beta, \gamma)} (\y)
\stackrel{d\acute{e}f}{  =} 
\frac{(-4)^m}{V_S(\y)
\prod_{i=1}^m y_i^{\alpha} (y_i-1)^{\beta}}\sum_{T
\subset S-U}
\delta^{|T|}\Big(\partial_{\y}^{(T)} V_S(\y)\Big) \times} \hspace{1cm}\\
& & \hspace{5cm}\times \bigg( \partial_{\y}^{(S-T-U)}
\prod_{i=1}^m y_i^{\alpha +1} (y_i-1)^{\beta +1} \bigg) \\
& &= \frac{(-4)^m}{V_S(\y) \prod_{i=1}^m
y_i^{a-1} (y_i-1)^{b-1}}\sum_{T
\subset S-U}
\delta^{|T|} c^{-|S-T-U|}\Big(\partial_{\y}^{(T)} V_S(\y)\Big) \times \\
& & \hspace{5cm} \times \bigg(
\partial_{\y}^{(S-T-U)}
\prod_{i=1}^m y_i^{a} (y_i-1)^{b} \bigg) \\
& & =\left( - \frac{4}{c} \right)^m \frac{c^{|U|}}{V_S(\y) \prod_{i=1}^m
y_i^{a-1} (y_i-1)^{b-1}} \partial_{\y}^{(S-U)}\Big(\prod_{i=1}^m
y_i^{a} (y_i-1)^{b}  V_S(\y)\Big) \\
& & =\left(- \frac{4}{c} \right)^m \eta_{_{S-U}}^{(a,b,c)}(\y) \hfill \Box
\end{eqnarray*}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%proposition6=\label{proposition2}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{proposition} \label{proposition2} Avec les notations ci-dessus on a:
\begin{eqnarray*} \lefteqn{ A_{n+1}^{(a,b,c)}(\y)=}\nonumber \\
& &= \frac{\Gamma(a) \, \Gamma(b) \,
\Gamma((n+1)c)}{\Gamma(m+a+b+n c)\, \Gamma(c)} \left( - \frac{c}{4} \right)^m
D_{+,\y}^{(\frac{a}{c} -1,\frac{b}{c} -1, \frac{1}{c} -\frac{1}{2})}\big(
A_n^{(a+c,b+c,c)}(\y)
\Big)
\end{eqnarray*}
\end{proposition}
$\Box$ On applique la proposition \ref{proposition1} et les lemmes
\ref{lemme13} et
\ref{lemme15} \hfill
$\Box$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%expression de A comme polyn\^ome de Jacobi%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Expression de $A_n^{(a,b,c)}(\y)$ \`a l'aide des polyn\^omes de
Jacobi g\'en\'eralis\'es.
\label{JcommeJacobi}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%
%lemme16=\label{lemme16}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemme}\label{lemme16} Soit $\displaystyle \alpha=\frac{a}{c}-1$,
$\displaystyle
\beta=\frac{b}{c}-1$, $\displaystyle \gamma=\frac{1}{c}-\frac{1}{2}$. Soit
$\displaystyle
f(\y)=2^m\prod_{i=1}^m y_i$,
$\displaystyle g(\y)=(-2)^m\prod_{i=1}^m (y_i-1)$ et soit, pour
$S=\{1,2,\ldots,m\}$,
$D_{-,\y}^{\gamma}$ et $\displaystyle
D_{+,\y}^{(\alpha,\beta,\gamma)}$ comme au lemme \ref{lemme13}. Alors:
\begin{eqnarray*} \lefteqn{
A_{n+1}^{(a,b,c)}(\y)=A_{n+1}^{(a,b,c)}(y_1,\ldots ,y_m) =} \\
& &\hspace{-0.5cm}=\Bigg\{\prod_{j=0}^n
\Big( -\frac{c}{4}\Big)^m \, \frac{\Gamma(a+jc) \Gamma(b+jc)
\Gamma((n+1-j)c)}{\Gamma(m+a+b+(n+j)c)
\Gamma(c)}\Bigg\} \times   \\ 
& & \times\Bigg\{ D_{+,\y}^{(\alpha,\beta,\gamma)}
\circ D_{+,\y}^{(\alpha +1,\beta +1,\gamma)} \circ \cdots \circ
D_{+,\y}^{(\alpha +n,\beta
+n,\gamma)}\Bigg\}\Big( A_{0}^{(a+(n+1)c,b+(n+1)c,c)}(\y) \Big)
\end{eqnarray*}
\end{lemme}
$\Box$ Il suffit d'it\'erer la proposition \ref{proposition2}. \hfill
$\Box$\medskip

Soit $\r=(r_1,r_2,\dots ,r_p)$ une partition, avec $r_1 \geq r_2 \geq
\cdots \geq r_p$. Soit
$\x=(x_1,\ldots ,x_p)$. Posons
$P_{\r}(\x)=\sum\nolimits^{'}_{\sigma
\in
\S_p} x_1^{r_{\sigma(1)}}x_2^{r_{\sigma(2)}}\cdots
x_p^{r_{\sigma(p)}}$, o\`u
$\sum'$ d\'esigne une sommation sur les $\sigma
\in \S_p$ qui induisent des permutations distinctes sur la partition $\r$.
\medskip

Soit $P(\x)$ un polyn\^ome
sym\'etrique en les variables
$(x_1,\ldots , x_p)$, cf. \cite{md2}. On sait qu'il existe une unique
partition $\n$,
appel\'ee le {\em degr\'e sym\'etrique de $P$}, telle que $\displaystyle
P(\x)=\sum_{\r \leq \n}
c_{\r}P_{\r}(\x)$ o\`u la somme porte sur toutes les partitions, $\r$, plus
petites que la partition
$\n$ pour l'ordre lexicographique naturel sur les partitions, cf. \cite{md2}. 

Le terme
$P_{\n}(\x)$ dans la d\'ecomposition pr\'ec\'edente de $P(\x)$ s'appelle le
{\em symbole
principal},  c'est \`a dire le terme de plus haut degr\'e pour l'ordre
lexicographique
mis sur les partitions.\medskip 

Soit 
$$\X(\x)=\left\{ \begin{array}{ccccc} e_1(\x) & = & e_1(x_1,\ldots, x_p) &
= & (-1)\sum_{i=1}^p
x_i
\\ e_2(\x) & = & e_2(x_1,\ldots, x_p) & = & \sum_{1 \leq i < j \leq p} x_ix_j \\
\vdots &  & \vdots & & \vdots \\
e_p(\x) & = & e_p(x_1,\ldots, x_p) & = & (-1)^p\prod_{i=1}^p x_i
\end{array}
\right.
$$
les fonctions sym\'etriques \'el\'ementaires en les variables
$\x=(x_1,\ldots ,x_p)$. On sait, \cite{md2},
que tout polyn\^ome sym\'etrique $P(\x)=P(x_1,\dots ,x_p)$ peut s'\'ecrire de mani\`ere unique comme un
polyn\^ome en les fonctions sym\'etriques \'el\'emen\-taires que l'on
appelle les {\em variables
sym\'etriques}. De plus on a
$P_{\r}(\x)=e_1^{r_1-r_2}e_2^{r_2-r_3}\cdots
e_{p-1}^{r_{p-1}-r_p}e_p^{r_p}$.\bigskip   

Soit
$\n=(n,n,\dots ,n)=n^m$ la partition compos\'ee de $m$ parts \'egales \`a
$n$. Soit
$\n-\underline{1}=(n-1,n-1, \ldots ,n-1)=\{n-1\}^m$.  Rappelons tout
d'abord la d\'efinition de
l'\'el\'ement de volume invariant, $dV_{\x}^{(\alpha,\beta,\gamma)}$, en
coordonn\'ees alg\'ebriques attach\'e
au syst\`eme de racines de type $BC_p$ avec multiplicit\'e $(\alpha, \beta,
\gamma)$ (cf. \cite{de1}
Chapitre 1):
\begin{equation} dV_{\x}^{(\alpha,\beta,\gamma)}=\prod_{i=1}^p
(1-x_i)^\alpha (1+x_i)^\beta \prod_{1\leq i < j \leq p}
(x_i-x_j)^{2\gamma+1} \prod_{i=1}^p dx_i
\end{equation}
On rappelle maintenant la
d\'efinition des {\em polynomes de Jacobi g\'en\'eralis\'es} \`a $m$
variables introduits par Debiard
\cite{de1}.\medskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%d\'efinition5=\label{definition3}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}\label{definition3} Le polyn\^ome de Jacobi sym\'etrique
$\displaystyle
P_{\n}^{(\alpha,\beta,
\gamma)} (\x)= P_{\n}^{(\alpha,\beta,
\gamma)} (\e)$ associ\'e \`a la partition $\n =(n_1\geq n_2
\geq \ldots \geq n_p)$ est l'unique polyn\^ome tel que:
\begin{enumerate}
\item son symbole principal est en variables sym\'etriques $(e_1,\ldots ,
e_p)$: 
$$ \widetilde{\Pi}_{\n}^{(\alpha,\beta,
\gamma)}(\e)  =  e_1^{n_1-n_2}e_2^{n_2-n_3}\cdots
e_{p-1}^{n_{p-1}-n_p}e_p^{n_p} $$
ou en variables $(x_1,\dots , x_p)$:
$$\Pi_{\n}^{(\alpha,\beta,
\gamma)}(\x)  =  \sum\nolimits^{'}_{\sigma
\in
\S_p} x_1^{n_{\sigma(1)}}x_2^{n_{\sigma(2)}}\cdots
x_p^{n_{\sigma(p)}}
$$
($\sum'$ d\'esigne une sommation sur les $\sigma
\in \S_p$ qui induisent des permutations distinctes sur $\n$).
\item pour tout polyn\^ome sym\'etrique $Q(\x)$ de
degr\'e sym\'etrique $< \n$, $$\displaystyle \int_{C_x} P_{\n}^{(\alpha,\beta,
\gamma)} (\x) Q(\x) dV_p^{(\alpha,\beta,\gamma)}(\x) =0$$
\end{enumerate}
\end{definition}
Ces deux conditions suffisent \`a d\'efinir $\displaystyle 
P_{\n}^{(\alpha,\beta,
\gamma)} (\x)$. \medskip
Soit
$\displaystyle
\tilde{P}_{\n}^{(\alpha,\beta,\gamma)}(\y)$ le polyn\^ome de Jacobi
g\'en\'eralis\'e \`a $m$ variables
introduit \`a la {\em d\'efinition \ref{definition3} } exprim\'e dans les
variables
$\displaystyle \y=\frac{1-\x}{2}$. C'est \`a dire que:
\begin{displaymath}
\tilde{P}_{\n}^{(\alpha,\beta,\gamma)}(\y)=
P_{\n}^{(\alpha,\beta,\gamma)}(1-2\y)=P_{\n}^{(\alpha,\beta,\gamma)}(1-2y_1,
\ldots , 1-2y_m)
\end{displaymath} 
On sait, cf. Debiard  \cite{de1} proposition 2.8 et
th\'eor\`eme 2.10, qu'il existe des constante $\displaystyle
d_{\n}^{(\alpha, \beta, \gamma)}$ telles
que:
\begin{eqnarray*} D_{+,\x}^{(\alpha,\beta,\gamma)}P_{\n-1}^{(\alpha +1,\beta
+1,\gamma)}(\x)= d_{\n}^{(\alpha, \beta,
\gamma)}P_{\n}^{(\alpha,\beta,\gamma)}(\x)
\end{eqnarray*} 
Dans les nouvelles variables $\y$, cette relation devient:
\begin{eqnarray} D_{+,\y}^{(\alpha,\beta,\gamma)} \Big(
\tilde{P}_{\n-1}^{(\alpha +1,\beta
+1,\gamma)}(\y) \Big) & = & (-2)^m d_{\n}^{(\alpha, \beta,
\gamma)}\tilde{P}_{\n}^{(\alpha,\beta,\gamma)}(\y) \nonumber \\
& = & (-2)^m d_{\n}^{(\alpha, \beta,
\gamma)}P_{\n}^{(\alpha,\beta,\gamma)}(1-2\y) \label{*23}
\end{eqnarray}  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%lemme17=\label{lemme19}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemme} \label{lemme19}Soit $\n-\underline{j}+\underline{1}$ la
partition compos\'ee de $m$
parts \'egales de taille $n-j+1$. Il existe une constante $\displaystyle
K_n(a,b,c)\stackrel{d\acute{e}f}{=} \prod_{j=0}^n c^m
d_{\n-\underline{j}+\underline{1}}^{(\frac{a}{c}+j, \frac{b}{c}+j,
\frac{1}{c}-\frac{1}{2})}$ telle que:
\begin{eqnarray*}\lefteqn{A_{n+1}^{(a,b,c)}(\y)  =  A_{n+1}^{(a,b,c)}(y_1,\ldots ,y_m)
=(-2)^{m(n+1)} K_n(a,b,c) \times } \hspace{2cm}\\ 
&  &\times\bigg(
\prod_{j=0}^n
 \frac{\Gamma(a+jc) \Gamma(b+jc) \Gamma((n+1-j)c)}{\Gamma(m+a+b+(n+j)c)
\Gamma(c)}
\bigg) \tilde{P}_{_{n+1,
\ldots , n+1}}^{(\frac{a}{c}-1,\frac{b}{c}-1,\frac{1}{c}-\frac{1}{2})}(\y)
\label{**16}
\end{eqnarray*}
\end{lemme}
$\Box$  Par d\'efinition:
\begin{eqnarray*}A_n^{(a,b,c)}(\y) &= &\int_{F \in \P_n(t)} \left(
\prod_{j=1}^m F(y_j)\right)
\left| F(0)\right|^{a-1} \left| F(1)\right|^{b-1} \left| \Delta
(F)\right|^{c-\frac{1}{2}} d\f
\end{eqnarray*}
Si $n=0$ alors $\P_0(t)=\big\{1\big\}$ et donc $A_0^{(a,b,c)}(\y)=1$. Par
cons\'equent:
\begin{eqnarray*} A_0^{(a+(n+1)c, b+(n+1)c,c)}(\y)=1=\tilde{P}_{_{0,0,\ldots
,0}}^{(\frac{a}{c}+n,\frac{b}{c}+n,\frac{1}{c}-\frac{1}{2})}(\y)
\end{eqnarray*} 
Le r\'esultat d\'ecoule du lemme \ref{lemme16} et de la formule
(\ref{*23}). \hfill $\Box$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%theoreme2=\label{theoreme2}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theoreme} \label{theoreme2} Soit $\displaystyle  S_{n+1}^{(a,b,c)}$
l'int\'egrale de Selberg
(cf. \cite{se1} ou la formule (\ref{*22})). On a:
\begin{eqnarray*}\lefteqn{A_{n+1}^{(a,b,c)}(\y) = (-2)^{-m(n+1)}
S_{n+1}^{(a,b,c)} \cdot P_{_{n+1,
\ldots ,
n+1}}^{(\frac{a}{c}-1,\frac{b}{c}-1,\frac{1}{c}-\frac{1}{2})}(1-2\y) } \\
& & \hspace{-1cm} =(-2)^{-m(n+1)} \left( \prod_{j=0}^{n} {\Gamma (a+jc) \
\Gamma (b+jc) \ \Gamma ((j+1)c) \over \Gamma (a+b+(n+j)c) \ \Gamma
(c)}\right) P_{_{n+1, \ldots ,
n+1}}^{(\frac{a}{c}-1,\frac{b}{c}-1,\frac{1}{c}-\frac{1}{2})}(1-2\y)
\end{eqnarray*} 
\end{theoreme}
$\Box$  Pour passer du lemme \ref{lemme19} au th\'eor\`eme il faut calculer la
valeur de la constante $K_n(a,b,c)$. On le fait de la mani\`ere suivante,
cf. aussi la remarque
\ref{sub2}. 

Par d\'efinition les polyn\^omes de Jacobi g\'en\'eralis\'es
sym\'etriques,
$P_{\n}^{(\alpha,
\beta,\gamma)}(\x)$ sont unitaires et leur
terme de degr\'e sym\'etrique maximal est $e_m(\x)^n$ (cf. la d\'efinition
\ref{definition3}). Or le
coefficient du terme de plus haut degr\'e sym\'etrique de
$A_{n+1}^{(a,b,c)}(\y)$ est $\displaystyle
\frac{1}{(n+1)!}\int_{ \x \in \lbrack 0, 1 \rbrack^{n+1}} \left(
\prod_{i=1}^{n+1} x_i^{a-1}
(1-x_i)^{b-1}
\right) |V_{n+1}(\x)|^{2c} d\x $ qui n'est autre que l'int\'egrale de
Selberg classique (\ref{**1})
dont la valeur est connue. En tenant compte du fait que nous sommes en
variables $\y$ il vient:
\begin{eqnarray*} \lefteqn{(-2)^{-m(n+1)} S_{n+1}^{(a,b,c)}=}\\
& & = (-2)^{-m(n+1)}K_n(a,b,c)
\prod_{i=0}^n 
\frac{\Gamma(a+ic) \Gamma(b+ic) \Gamma((n+1-i)c)}{\Gamma(m+a+b+(n+i)c)
\Gamma(c)}
\end{eqnarray*}
On tire de l\`a facilement \`a partir de la formule (\ref{*23}) que 
$$ A_{n+1}^{(a,b,c)}(\y) = (-2)^{m(n+1)} S_{n+1}^{(a,b,c)}\,
P_{\n+1}^{(\frac{a}{c}-1,
\frac{b}{c}-1,\frac{1}{c}-\frac{1}{2})}(1-2\y) $$. \hfill $\Box$ 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Remarques%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Remarque 2 \label{sub2}} On peut retrouver le th\'eor\`eme
\ref{theoreme2} en
utilisant les valeurs donn\'ees par Debiard pour les constantes
$\displaystyle d_{\n}^{(\alpha,
\beta,
\gamma)}$. En effet on a (cf. \cite{de1} lemme 3.5):  \hfill \break
$\displaystyle d_{\n}^{(\alpha,
\beta,
\gamma)} =(-1)^m
\prod_{j=1}^m \Big( n+\alpha + \beta+1 +(m-j)\frac{2 \gamma+1}{2} \Big)$ et
donc:
\begin{eqnarray*} d_{\n-\underline{j}+\underline{1}}^{(\frac{a}{c}+j,
\frac{b}{c}+j,
\frac{1}{c}-\frac{1}{2})}
=(-1)^m\prod_{j=1}^m\Big(n+j+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{m-j}{c}\Big)
\end{eqnarray*} 
De l\`a on tire :
$$ \Gamma(m+a+b+(n+j)c)\,
d_{\n-\underline{j}+\underline{1}}^{(\frac{a}{c}+j,
\frac{b}{c}+j,
\frac{1}{c}-\frac{1}{2})}
= (-c)^m \Gamma(a+b+(n+j-1)c)
$$
Le th\'eor\`eme est alors imm\'ediat.

\subsubsection{Remarque 3 \label{sub3}} Ici la normalisation utilis\'ee
dans \cite{de1} est donc plus
agr\'eable que la normalisation ordinaire, cf.
\cite{ra1}, pour les polyn\^omes de Jacobi.
\subsubsection{Remarque 4 \label{sub4}} Dans le th\'eor\`eme
\ref{theoreme2} on peut \'egaler certaines
des variables
$y_i$. Ce th\'eor\`eme nous permet donc de calculer au moins
th\'eoriquement des int\'egrales du type:
\begin{equation} \int_{\lbrack 0,1 \rbrack^n} \prod_{j=1}^m
\prod_{i=1}^n (y_j-x_i)^{n_j}\prod_{i=1}^n
x_i^{a-1} (1-x_i)^{b-1} \prod_{1\leq i<j\leq n} |  x_i - x_j  |^{2c} \
d\x 
\end{equation} 
o\`u les $n_j$ sont des entiers positifs.

Nous reviendrons sur ce probl\`eme ult\'erieurement.
\subsubsection{Remarque 5 \label{sub5}}
M\^eme dans le cas o\`u $\X(\x)$ est un produit de fonctions sym\'etriques
\'el\'e\-men\-taires, le th\'eor\`eme
\ref{theoreme2} ainsi que la remarque \ref{sub4} ne donnent pas une
r\'eponse totalement satisfaisante
au probl\`eme du calcul de l'int\'egrale  
$$ {1\over n!}
\int_{\lbrack 0,1 \rbrack^n} \X(\x) \prod_{i=1}^n
x_i^{a-1} (1-x_i)^{b-1}\! \! \prod_{1\leq i<j\leq n} |  x_i - x_j  |^{2c} \
d\x$$ 
 En effet les
coefficients des polyn\^omes de Jacobi g\'en\'eralis\'es sym\'etriques
$P_{\n}^{(\alpha,\beta,\gamma)}(1-2y_1,\ldots , 1-2y_m)$ ne sont connus
explicitement que pour
quelques valeurs particuli\`eres de $n$ et $m$, \cite{de2}. Nous
reviendrons sur ce probl\`eme
ult\'erieurement.
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\end{document}
\relax 
\citation{se1}
\@writefile{toc}{\string\contentsline\space
{section}{\string\numberline\space {1}Introduction}{1}}
\newlabel{**1}{{1}{1}}
\citation{md1}
\citation{mo1}
\citation{mo1}
\citation{kd1}
\citation{ha1}
\citation{ho1}
\citation{he1}
\citation{op1}
\citation{op2}
\citation{op3}
\citation{ao1}
\citation{de1}
\newlabel{*22}{{2}{2}}
\newlabel{*15}{{3}{2}}
\citation{kn1}
\citation{de1}
\citation{de1}
\citation{ko1}
\citation{ra1}
\citation{de1}
\citation{de1}
\newlabel{*17}{{4}{3}}
\citation{kn1}
\citation{an1}
\citation{de2}
\citation{ev1}
\citation{an2}
\citation{ra1}
\citation{de1}
\citation{kn1}
\newlabel{*1}{{5}{4}}
\newlabel{*16}{{6}{4}}
\citation{de2}
\citation{dg1}
\citation{dg2}
\citation{an1}
\citation{an1}
\citation{ao1}
\@writefile{toc}{\string\contentsline\space
{section}{\string\numberline\space {2}Expression en varia\discretionary
{-}{}{}bles sy\discretionary {-}{}{}m{\accent 19 e}\discretionary
{-}{}{}triques}{6}}
\newlabel{definition1}{{1}{6}}
\newlabel{lemme1}{{1}{6}}
\newlabel{sec3}{{3}{6}}
\@writefile{toc}{\string\contentsline\space
{section}{\string\numberline\space {3}La m{\accent 19 e}thode d'Anderson,
le cas $m=1$ }{6}}
\citation{ra1}
\citation{an1}
\newlabel{definition01}{{2}{7}}
\newlabel{lemme1a}{{2}{7}}
\citation{an1}
\newlabel{lemme2a}{{3}{8}}
\newlabel{lemme3a}{{4}{8}}
\newlabel{***1}{{7}{8}}
\newlabel{***2}{{8}{8}}
\newlabel{***3}{{9}{8}}
\citation{an1}
\newlabel{lemme5a}{{5}{9}}
\citation{de1}
\newlabel{lemme6a}{{6}{10}}
\newlabel{proposition1a}{{1}{11}}
\citation{an1}
\newlabel{theoreme1a}{{1}{12}}
\citation{an1}
\newlabel{sub1}{{3.0.1}{13}}
\@writefile{toc}{\string\contentsline\space
{subsubsection}{\string\numberline\space {3.0.1}Remarque 1 }{13}}
\newlabel{corollaire1}{{1}{13}}
\newlabel{sec4}{{4}{13}}
\@writefile{toc}{\string\contentsline\space
{section}{\string\numberline\space {4}La m{\accent 19 e}thode d'Anderson,
le cas $m \geq 1$ }{13}}
\newlabel{introductionphi}{{4.1}{13}}
\@writefile{toc}{\string\contentsline\space
{subsection}{\string\numberline\space {4.1}Introduction de l'op{\accent 19
e}rateur $\Phi $ }{13}}
\newlabel{lemme2}{{7}{13}}
\citation{ls1}
\newlabel{definition6}{{3}{14}}
\newlabel{lemme3}{{8}{15}}
\citation{bc1}
\newlabel{proposition7}{{2}{16}}
\newlabel{Phi}{{4.2}{16}}
\@writefile{toc}{\string\contentsline\space
{subsection}{\string\numberline\space {4.2}Expression de l'op{\accent 19
e}rateur $\Phi $ {\accent 18 a} l'aide d'un op{\accent 19 e}\discretionary
{-}{}{}rateur diff{\accent 19 e}rentiel}{16}}
\newlabel{proposition4}{{3}{16}}
\newlabel{lemme4}{{9}{17}}
\newlabel{proposition5}{{4}{17}}
\newlabel{*18}{{11}{17}}
\newlabel{*19}{{12}{18}}
\newlabel{recurrence}{{4.3}{18}}
\@writefile{toc}{\string\contentsline\space
{subsection}{\string\numberline\space {4.3}R{\accent 19 e}currence entre
$A_{n+1}^{(a,b,c)}(\relax $\@@underline {\hbox {y}}\mathsurround =\z@
$\relax )$ et $A_{n}^{(a+c,b+c,c)}(\relax $\@@underline {\hbox
{y}}\mathsurround =\z@ $\relax )$ }{18}}
\newlabel{lemme8}{{10}{19}}
\newlabel{lemme9}{{11}{20}}
\newlabel{lemme10}{{12}{21}}
\newlabel{proposition1}{{5}{21}}
\newlabel{*20}{{13}{21}}
\newlabel{*21}{{14}{22}}
\citation{de1}
\citation{de1}
\citation{de1}
\newlabel{lemme13}{{13}{23}}
\newlabel{**11}{{15}{24}}
\newlabel{lemme14}{{14}{24}}
\newlabel{lemme15}{{15}{24}}
\newlabel{proposition2}{{6}{25}}
\newlabel{JcommeJacobi}{{4.4}{25}}
\@writefile{toc}{\string\contentsline\space
{subsection}{\string\numberline\space {4.4}Expression de
$A_n^{(a,b,c)}(\relax $\@@underline {\hbox {y}}\mathsurround =\z@ $\relax
)$ {\accent 18 a} l'aide des polyn{\accent 94 o}mes de Jacobi g{\accent 19
e}n{\accent 19 e}ralis{\accent 19 e}s. }{25}}
\newlabel{lemme16}{{16}{25}}
\citation{md2}
\citation{md2}
\citation{md2}
\citation{de1}
\citation{de1}
\citation{de1}
\newlabel{definition3}{{4}{27}}
\newlabel{*23}{{17}{27}}
\citation{se1}
\newlabel{lemme19}{{17}{28}}
\newlabel{**16}{{18}{28}}
\newlabel{theoreme2}{{2}{28}}
\citation{de1}
\citation{de1}
\citation{ra1}
\newlabel{sub2}{{4.4.1}{29}}
\@writefile{toc}{\string\contentsline\space {subsubsection}{\string\numberline\space {4.4.1}Remarque 2 }{29}}
\newlabel{sub3}{{4.4.2}{29}}
\@writefile{toc}{\string\contentsline\space
{subsubsection}{\string\numberline\space {4.4.2}Remarque 3 }{29}}
\newlabel{sub4}{{4.4.3}{29}}
\@writefile{toc}{\string\contentsline\space
{subsubsection}{\string\numberline\space {4.4.3}Remarque 4 }{29}}
\citation{de2}
\bibcite{an1}{1}
\bibcite{an2}{2}
\bibcite{ao1}{3}
\bibcite{ao2}{4}
\bibcite{bc1}{5}
\bibcite{bo1}{6}
\bibcite{de1}{7}
\newlabel{sub5}{{4.4.4}{30}}
\@writefile{toc}{\string\contentsline\space
{subsubsection}{\string\numberline\space {4.4.4}Remarque 5 }{30}}
\bibcite{de2}{8}
\bibcite{dg1}{9}
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\bibcite{ev1}{11}
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\bibcite{ha1}{13}
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\bibcite{he1}{15}
\bibcite{kd1}{16}
\bibcite{kn1}{17}
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\bibcite{md1}{22}
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