Zentralblatt MATH

Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No:  030.29604
Autor:  Erdös, Pál
Title:  On the integers having exactly k prime factors. (In English)
Source:  Ann. Math., Princeton, II. Ser. 49, 53-66 (1948).
Review:  Es sei \pik (n) die Anzahl der ganzen Zahlen a(k) \leq n, welche genau k Primfaktoren haben (mehrfache Faktoren nur einfach gezählt), sonst nennen wir die Anzahl (\pik'). Dann wird folgendes wichtige Resultat bewiesen (das das frühere Ergebnis von Pillai und dem Verf. enthält): Ist x = [ log log n] und x-cx^ 1/2 < k < x+cx^ 1/2 , so ist

\pik(n) = (1+o(1)) {n \over log n} {xk-1 \over (k-1)!}.    (1)

Dies gilt auch für \pik'. Daraus folgt

\pik (n) = n(1+o(1))\sqrt {2\pi x},    (2)

ein Resultat von Hardy bereits vermutet. Weiter gilt für die Anzahl der quadratfreien a(k) ebenfalls (1) noch mit 6/\pi2 multipliziert. Mit Hilfe von (2) und einem Resultat von Behrend wird folgender Satz hergeleitet: Ist a1 < a2 < ... < an \leq n eine Folge von ganzen Zahlen, so beschaffen, daß keine die andere teilt, so ist

limsup sum {1\over ai} {\sqrt x \over log n} = {1 \over \sqrt {2\pi}},

(vgl. Zbl 012.05202). Zum Schluß bestimmt der Verf. für großes n jenes l0, für welches Al = sum 1/a(l) maximal ist (a(l) \leq n). Es ist dies für J oder J-1 der Fall, wo J = [ log log n+C] (-1 < C < 0). Weiter ist Ai für l < l0 monoton abnehmend, für l > l0 monoton zunehmend.
Reviewer:  Edmund Hlawka (Wien)
Classif.:  * 11N25 Distribution of integers with specified multiplicative constraints
                   11B83 Special sequences of integers and polynomials
Index Words:  Number theory

© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag

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