Département de Mathématiques - Informatique
Faculté des Sciences de Luminy, Case 901
163, Avenue de Luminy
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Jean MARION
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Corrigé (succint) de l'épreuve"FIABILITÉ"

Session normale 93-94	

EXERCICE 1. 
Il résulte des définitions que la fonction de défaillance F et la fiabilité R sont  données pour tout réel t _ 0 par :
F(t )  = =  Arctg t ,  et  R(t ) = 1 - F(t ) = 1 -   Arctg t  
de sorte que le taux instantané de défaillance l est donné par  l(t ) = -   soit :
 l(t ) =  .
Par ailleurs un calcul élémentaire donne pour le MTTF q : 
q =  =  = + _.
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EXERCICE 2.
 
1) Le calcul de R1 et R2 est immédiat ; on trouve :
 et  

2) L'analyse du système proposée par l'énoncé pour décrire la fiabilité du système Ln, n > 2, et qu'il est facile de justifier, conduit à l'obtention de la formule récursive :
Rn(t ) = {Rn-1(t ).(r(t ) + r(t ) - r(t ).r(t ))} + {r(t ).(1 - r(t )).} + {r(t ).r(t )n-1.(1 - r(t ))n-1}
3) Pour n = 3 avec r(t) = r(t) = e -lt, la formule établie en 2) conduit à :

Dans les "networks" du type étudié les MTTF des connexions sont très grands et donc l est petit (l < 10-4). A 10-3 près, pour 0 _ t _ 100,  1 _ k _ 3 et  on a donc : e-klt @ 1 - , et l'on trouve alors que :

.