\documentclass[a4paper,12pt,leqno]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \begin{document} \thispagestyle{empty} \begin{center} \Large\bfseries Ein Beitrag zur Elektrodynamik.\\[12 pt] Bernhard Riemann\\[12 pt] [Annalen der Physik und Chemie. Bd.~131.]\\[24 pt] \large\mdseries Transcribed by D. R. Wilkins\\[12 pt] Preliminary Version: December 1998\\ Corrected: April 2000 \end{center} \newpage \setcounter{page}{1} \title{Ein Beitrag zur Elektrodynamik.} \author{Bernhard Riemann} \date{[Annalen der Physik und Chemie. Bd.~131.]} \maketitle Der K\"{o}niglichen Societ\"{a}t erlaube ich mir eine Bemerkung mitzutheilen, welche die Theorie der Elektricit\"{a}t und des Magnetismus mit der des Lichts und der strahlenden W\"{a}rme in einen nahen Zusammenhang bringt. Ich habe gefunden, dass die elektrodynamischen Wirkungen galvanischer Str\"{o}me sich erkl\"{a}ren lassen, wenn man annimmt, dass die Wirkung einer elektrischen Masse auf die \"{u}brigen nicht momentan geschieht, sondern sich mit einer constanten (der Lichtgeschwindigkeit innerhalb der Grenzen der Beobachtungsfehler gleichen) Geschwindigkeit zu ihnen fortpflanzt. Die Differentialgleichung f\"{u}r die Fortpflanzung der elektrischen Kraft wird bei dieser Annahme dieselbe, wie die f\"{u}r die Fortpflanzung des Lichts und der strahlenden W\"{a}rme. Es seien $S$ und $S'$ zwei von constanten galvanischen Str\"{o}men durchflossene und gegen einander nicht bewegte Leiter, $\varepsilon$ sei ein elektrisches Massentheilschen im Leiter~$S$, welches sich zur Zeit~$t$ im Punkte $(x,y,z)$ befinde, $\varepsilon'$ ein elektrisches Massentheilchen von $S'$ und befinde sich zur Zeit~$t$ im Punkte $(x', y', z')$. Ueber die Bewegung der elektrischen Massentheilchen, welche in jedem Leitertheilchen f\"{u}r die positiv und negativ elektrischen entgegengesetzt ist, mache ich die Voraussetzung, dass sie in jedem Augenblicke so vertheilt sind, dass die Summen \[ \sum \varepsilon f(x, y, z),\quad \sum \varepsilon' f(x', y', z'),\] \"{u}ber s\"{a}mmtliche Massentheilchen der Leiter ausgedehnt gegen dieselben Summen, wenn sie nur \"{u}ber die positiv elektrischen oder nur \"{u}ber die negativ elektrischen Massentheilchen ausgedehnt werden, vernachl\"{a}ssigt werden d\"{u}rfen, sobald die Function~$f$ und ihre Differentialquotienten stetig sind. Diese Voraussetzung kann auf sehr mannigfaltige Weise erf\"{u}llt werden. Nimmt man z.~B.\ an, dass die Leiter in den kleinsten Theilen krystallinisch sind, so dass sich dieselbe relative Vertheilung der Elektricit\"{a}ten in bestimmten gegen die Dimensionen der Leiter unendlich kleinen Abst\"{a}nden periodisch wiederholt, so sind, wenn $\beta$ die L\"{a}nge einer solchen Periode bezeichnet, jene Summen unendlich klein, wie $c \beta^n$, wenn $f$ und ihre Derivirten bis zur ${(n - 1)}$\-ten Ordnung stetig sind, und unendlich klein wie $e^{-\frac{c}{\beta}}$, wenn sie s\"{a}mmtlich stetig sind. \medbreak \centerline{\bfseries Erfahrungsm\"{a}ssiges Gesetz der elektrodynamischen Wirkungen.} \nobreak\medskip Sind die specifischen Stromintensit\"{a}ten nach mechanischem Mass zur Zeit~$t$ im Punkte $(x, y, z)$ parallel den drei Axen $u$,~$v$,~$w$, und im Punkte $(x', y', z')$ $u'$,~$v'$,~$w'$, und bezeichnet $r$ die Entfernung beider Punkte, $c$ die von \emph{Kohlrausch} und \emph{Weber} bestimmte Constante, so ist der Erfahrung nach das Potential der von $S$ auf $S'$ ausge\"{u}bten Kr\"{a}fte \[ - \frac{2}{cc} \int \!\!\! \int \frac{u u' + v v' + w w'}{r} \, dS \, dS',\] dieses Integral \"{u}ber s\"{a}mmtliche Elemente $dS$ und $dS'$ der Leiter $S$ und $S'$ ausgedehnt. F\"{u}hrt man statt der specifischen Stromintensit\"{a}ten die Producte aus den Geschwindigkeiten in die specifischen Dichtigkeiten und dann f\"{u}r die Producte aus diesen in die Volumelemente die in ihnen enthalten Massen ein, so geht dieser Ausdruck \"{u}ber in \[ \sum \sum \frac{\varepsilon \varepsilon'}{cc} \frac{1}{r} \frac{d d' (r^2)}{dt \, dt},\] wenn die Aenderung von $r^2$ w\"{a}hrend der Zeit $dt$, welche von der Bewegung von $\varepsilon$ herr\"{u}hrt, durch $d$, und die von der Bewegung von $\varepsilon'$ herr\"{u}hrende durch $d'$ bezeichnet wird. Dieser Ausdruck kann durch Hinwegnahme von \[ \frac{\displaystyle d \sum \sum \frac{\varepsilon \varepsilon'}{cc} \frac{1}{r} \frac{d' (r^2)}{dt}}{dt},\] welches durch die Summirung nach $\varepsilon$ verschwindet, in \[ - \sum \sum \frac{\varepsilon \varepsilon'}{cc} \frac{\displaystyle d \left( \frac{1}{r} \right)}{dt} \frac{d' (r^2)}{dt} \] und dieses wieder durch Addition von \[ \frac{\displaystyle d' \sum \sum \frac{\varepsilon \varepsilon'}{cc} rr \frac{\displaystyle d \left( \frac{1}{r} \right)}{dt}}{dt},\] welches durch die Summation nach $\varepsilon'$ Null wird, in \[ \sum \sum \varepsilon \varepsilon' \frac{rr}{cc} \frac{\displaystyle d d' \left( \frac{1}{r} \right)}{dt \, dt} \] verwandelt werden. \medbreak \centerline{\bfseries Ableitung dieses Gesetzes aus der neuen Theorie.} \nobreak\medskip Nach der bisherigen Annahme \"{u}ber die elektrostatische Wirkung wird die Potentialfunction~$U$ beliebig vertheilter elektrischer Massen, wenn $\varrho$ ihre Dichtigkeit im Punkte $(x, y, z)$ bezeichnet, durch die Bedingung \[ \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial z^2} - 4 \pi \varrho = 0,\] und durch die Bedingung, dass $U$ stetig und in unendlicher Entfernung von wirkenden Massen constant sei, bestimmt. Ein particulares Integral der Gleichung \[ \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial z^2} = 0,\] welches \"{u}berall ausser dem Punkte $(x', y', z')$ stetig bleibt, ist \[ \frac{f(t)}{r} \] und diese Function bildet die von Punkte $(x', y', z')$ aus erzeugte Potentialfunction, wenn sich in demselben zur Zeit~$t$ die Masse $- f(t)$ befindet. Statt dessen nehme ich nun an, dass die Potentialfunction~$U$ durch die Bedingung \[ \frac{\partial^2 U}{\partial t^2} - \alpha \alpha \left( \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial z^2} \right) + \alpha \alpha \, 4 \pi \varrho = 0 \] bestimmt wird, so dass die vom Punkte $(x', y', z')$ aus erzeugte Potentialfunction, wenn sich in demselben zur Zeit~$t$ die Masse $- f(t)$ befindet, \[ = \frac{\displaystyle f \left( t - \frac{r}{\alpha} \right)}{r} \] wird. Bezeichnet man die Coordinaten der Masse $\varepsilon$ zur Zeit~$t$ durch $x_t$,~$y_t$,~$z_t$, und die Masse $\varepsilon'$ zur Zeit $t'$ durch $x'_{t'}$,~$y'_{t'}$,~$z'_{t'}$, und setzt zur Abk\"{u}rzung \[ \left( (x_t - x'_{t'})^2 + (y_t - y'_{t'})^2 + (z_t - z'_{t'})^2 \right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{r(t,t')} = F(t, t'),\] so wird nach dieser Annahme das Potential von $\varepsilon$ auf $\varepsilon'$ zur Zeit~$t$ \[ = - \varepsilon \varepsilon' F \left( t - \frac{r}{\alpha}, t \right).\] Das Potential der von s\"{a}mmtlichen Massen $\varepsilon$ des Leiters~$S$ auf die Massen $\varepsilon'$ des Leiters $S'$ von der Zeit~$0$ bis zur Zeit~$t$ ausge\"{u}bten Kr\"{a}fte wird daher \[ P = - \int\limits_0^t \sum \sum \varepsilon \varepsilon' F \left( t - \frac{r}{\alpha}, \tau \right) \, d\tau,\] die Summen \"{u}ber s\"{a}mmtliche Massen beider Leiter ausgedehnt. Da die Bewegung f\"{u}r entgegengesetzt elektrische Massen in jedem Leitertheilchen entgegengesetzt ist, so erlangt die Function $F(t, t')$ durch die Derivation nach $t$ die Eigenschaft, mit $\varepsilon$, und durch die Derivation nach $t'$ die Eigenschaft, mit $\varepsilon'$ ihr Zeichen zu \"{a}ndern. Bei der vorausgesetzten Vertheilung der Elektricit\"{a}ten wird daher, wenn man die Derivationen nach $t$ durch obere und nach $t'$ durch untere Accente bezeichnet, $\sum \sum \varepsilon \varepsilon' F^{(n)}_{n'} (\tau, \tau)$, \"{u}ber s\"{a}mmtliche elektrische Massen ausgedehnt, nur dann nicht unendlich klein gegen die \"{u}ber die elektrischen Massen einer Art erstreckte Summe, wenn $n$ und $n'$ beide ungerade sind. Man nehme nun an, dass die elektrischen Massen w\"{a}hrend der Fortpflanzungszeit der Kraft von einem Leiter zum anderen nur einen sehr kleinen Weg zur\"{u}cklegen, und betrachte die Wirkung w\"{a}hrend eines Zeitraums, gegen welchen die Fortpflanzungszeit verschwindet. In dem Ausdrucke von $P$ kann man dann zun\"{a}chst \[ F \left( \tau - \frac{r}{\alpha}, \tau \right) \] durch \[ F \left( \tau - \frac{r}{\alpha}, \tau \right) - F( \tau, \tau) = - \int\limits_0^{\frac{r}{\alpha}} F'( \tau - \sigma, \tau) \, d\sigma \] ersetzen, da $\sum \sum \varepsilon \varepsilon' F (\tau, \tau)$ vernachl\"{a}ssigt werden darf. Man erh\"{a}lt dadurch \[ P = \int\limits_0^t d \tau \, \sum \sum \varepsilon \varepsilon' \int\limits_0^{\frac{r}{\alpha}} F'( \tau - \sigma, \tau) \, d\sigma,\] oder wenn man die Ordnung der Integration umkehrt und $\tau + \sigma$ f\"{u}r $\tau$ setzt, \[ P = \sum \sum \varepsilon \varepsilon' \int\limits_0^{\frac{r}{\alpha}} d \sigma \, \int\limits_{-\sigma}^{t - \sigma} d \tau \, F'( \tau, \tau + \sigma ).\] Verwandelt man die Grenzen des innern Integrals in $0$ und $t$, so wird dadurch an der obern Grenze der Ausdruck \[ H(t) = \sum \sum \varepsilon \varepsilon' \int\limits_0^{\frac{r}{\alpha}} d \sigma \, \int\limits_{-\sigma}^0 d \tau \, F'( t + \tau, t + \tau + \sigma ) \] hinzugef\"{u}gt, und an der untern Grenze der Werth dieses Ausdrucks f\"{u}r $t = 0$ hinweggenommen. Man hat also \[ P = \int\limits_0^t d\tau \, \sum \sum \varepsilon \varepsilon' \int\limits_0^{\frac{r}{\alpha}} d \sigma \, F'( \tau, \tau + \sigma ) - H(t) + H(0).\] In diesem Ausdruck kann man $F'(\tau, \tau + \sigma)$ durch $F'(\tau, \tau + \sigma) - F'(\tau, \tau)$ ersetzen, da \[ \sum \sum \varepsilon \varepsilon' \frac{r}{\alpha} F'(\tau, \tau) \] vernachl\"{a}ssigt werden darf. Man erh\"{a}lt dadurch als Factor von $\varepsilon \varepsilon'$ einen Ausdruck, der sowohl mit $\varepsilon$ als mit $\varepsilon'$ sein Zeichen \"{a}ndert, so dass sich bei den Summationen die Glieder nicht gegen einander aufheben, und unendlich kleine Bruchtheile der einzelnen Glieder vernachl\"{a}ssigt werden d\"{u}rfen. Es ergiebt sich daher, indem man \[ F'( \tau, \tau + \sigma ) - F'( \tau, \tau ) \mbox{ durch } \sigma \frac{\displaystyle d d' \left( \frac{1}{r} \right)}{d\tau \, d\tau} \] ersetzt und die Integration nach $\sigma$ ausf\"{u}hrt, bis auf einen zu vernachl\"{a}ssigenden Bruchteil \[ P = \int\limits_0^t \sum \sum \varepsilon \varepsilon' \frac{rr}{2 \alpha \alpha} \frac{\displaystyle d d' \left( \frac{1}{r} \right)}{d\tau \, d\tau} \, d \tau - H(t) + H(0).\] Es ist leicht zu sehen, dass $H(t)$ und $H(0)$ vernachl\"{a}ssigt werden d\"{u}rfen; denn es ist \[ F'(t + \tau, t + \tau + \sigma) = \frac{\displaystyle d \left( \frac{1}{r} \right)}{dt} + \frac{\displaystyle d^2 \left( \frac{1}{r} \right)}{dt^2} \tau + \frac{\displaystyle d d' \left( \frac{1}{r} \right)}{dt^2} (\tau + \sigma) + \cdots,\] folglich: \[ H(t) = \sum \sum \varepsilon \varepsilon' \left( \frac{rr}{2\alpha \alpha} \frac{\displaystyle d \left( \frac{1}{r} \right)}{dt} - \frac{r^3}{6\alpha^3} \frac{\displaystyle d^2 \left( \frac{1}{r} \right)}{dt^2} + \frac{r^3}{6\alpha^3} \frac{\displaystyle d d' \left( \frac{1}{r} \right)}{dt \, dt} + \cdots \right).\] Hierin aber ist nur das erste Glied des Factors von $\varepsilon \varepsilon'$ mit dem Factor in dem ersten Bestandtheile von $P$ von gleicher Ordnung, und dieses liefert wegen der Summation nach $\varepsilon'$ nur einen zu vernachl\"{a}ssigenden Bruchtheil desselben. Der Werth von $P$, welcher sich aus unserer Theorie ergiebt, stimmt mit dem erfahrungsm\"{a}ssigen \[ P = \int\limits_0^t \sum \sum \varepsilon \varepsilon' \frac{rr}{cc} \frac{\displaystyle d d' \left( \frac{1}{r} \right)}{d\tau \, d\tau} \, d\tau \] \"{u}berein, wenn man $\alpha \alpha = {\textstyle\frac{1}{2}} cc$ annimmt. Nach der Bestimmung von \emph{Weber} und \emph{Kohlrausch} ist \[ c = 439450 \cdot 10^6 \frac{\mathrm{Millimeter}}{\mathrm{Secunde}},\] woraus sich $\alpha$ zu 41949 geographischen Meilen in der Secunde ergiebt, w\"{a}hrend f\"{u}r die Lichtgeschwindigkeit von \emph{Busch} aus \emph{Bradley}'s Aberrationsbeobachtungen 41994 Meilen, und von \emph{Fizeau} durch directe Messung 41882 Meilen gefunden worden sind. \end{document} .